二项分布(课件)高二数学课件(人教A版2019选择性必修第三册)

如果把p看成b ，1-p看成a ，则 C nk p k (1 p)n k 就是二项式定理
[(1-p)+p]n的展开式的第k＋1项，由此才称为二项分布.
k k
n k
P
(
X

k
)

C
p
(1

p
)
服从二项分布的事件A恰好发生k次的概率
n
正好是二项式定理 [(1 p) p]n 展开式的第k＋1项，故有
Cnn p n (1 p )0
当n=1时，可以得到两点分
布的分布列如右表：
X
0
1
P
1 p
p
两点分布是一种特殊的二项分布，即是n=1的二项分布；
二项分布可以看做两点分布的一般形式.
典例解析
例1 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求:
(1) 恰好出现5次正面朝上的概率；
(2) 正面朝上出现的频率在[0.4, 0.6]内的概率.
猜对答案的题目数X服从二项分布，即X~B(3, 0.6).
(2) 错误. 理由如下：
每次抽到次品的概率为0.1，但由于是不放回抽样，所以每次是否抽到
次品不独立，不满足二项分布的条件.
典例解析
例2 如图是一块高尔顿板的示意图. 在一块木板上钉着若干排相互平行但相互
错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻
课本77页
3. 判断下列表述正确与否，并说明理由:
(1) 12道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数X~B(12, 0.25)；
(2) 100 件产品中包含10件次品，不放回地随机抽取6件，其中的次品数
Y~B(6, 0.1).
解：(1) 正确. 理由如下：
每道题猜对答案与否是独立的，且每道题猜对答案的概率为0.25，故
(3) 每次试验出现的结果只有两个，即某事件要么发生，要么不发生.
只有这三个条件均满足时才能说明随机变量X服从二项分布，其事
件A在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率可用下面公式计算.
P ( X k ) C nk p k (1 p )n k ,k 0,1,2, ,n
巩固练习
阴性；阳性
只包含两个结果
我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
概念生成
伯努利试验
在实际问题中，有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的特征，它
们只包含两个可能结果. 例如，检验一件产品结果为合格或不合格，飞
碟射击时中靶或脱靶，医学检验结果为阳性或阴性等.
我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验(Bernoulli trials).
0
0.8
0.8 A2
0.2
A1
0.2 A
2
X的值 则X的概率分布列为:
0.2
0.8
0.2
两互斥，每个
你能求出剩下的
结果都是由3
概率吗？
个相互独立事
件的积.
新知探究
问题3 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8. 连续3次射击，中靶次数X
的概率分布列是怎样的?
用Ai表示“第i次射击中靶”(i＝1, 2, 3)， 则X的概率分布列为:
落的过程中共碰撞小木钉10次，所以X～B(10, 0.5).
于是，X的分布列为
P ( X k ) C10k 0.510 ,k 0,1,2,,10
0.30
0.25
0.20
0.15
X的概率分布图如右图所示：
0.10
0.05
0.00
0
1
2பைடு நூலகம்
3
4
5
6
7
8
9
10
典例解析
例3 甲、乙两选手进行象棋比赛, 如果每局比赛甲获胜的概率为0.6, 乙
特别地： 当A与B相互独立时，P(AB) = P(A)·P(B)
那么求概率还有什么模型呢？
本节将研究两类重要的概率模型---二项分布和超几何分布.
新知探究
问题1 下列一次随机试验的共同点是什么？
试验
1、掷一枚硬币
2、检验一件产品
出现的结果
共同点
正面朝上；反面朝上
合格；不合格
3、飞碟射击
中靶；脱靶
4、医学检验
强者越有利.
典例解析
例3 甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙
获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利?
解2：若采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，
则X~B(3, 0.6)，所以甲最终获胜的概率为
p1 P ( X 2) P ( X 3) C 32 0.62 0.4 0.63 0.648
事件A发生的概率
事件 A发生的概率
P ( X k ) C nk p k (1 p )n k ,k 0,1,2, ,n.
事件A发生的次数
试验总次数
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从
二项分布， 记作X ~ B(n, p).
概念辨析
问题5 对比二项分布与二项式定理，你能看出它们之间的联系吗?
（还记得我们之前的0-1分布吗？
）
概念生成
n重伯努利试验
我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n
重伯努利试验.
n重伯努利试验具有如下共同特征:
“重复”意味着各
次试验的概率相同
(1)每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生；
(2)每次试验是在同样条件下进行的；
(3)各次试验中的事件是相互独立的；
第七章
随机变量及其分布
7.4.1 二项分布
复习回顾
离散型随机变量的方差：
一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，
P ( X xi ) pi ( i 1, 2, 3, , n).
则称
D( X ) ( x1 E ( X )) p1 ( x2 E ( X )) p2 ( xn E ( X )) pn
在伯努利试验中，
(3) 一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件.
随机
试验
(1)
伯努利
试验
事件A
掷硬币 正面朝上
(2)
射击
(3)
有放回
抽产品
P(A)
重复试验
的次数n
0.5
10
0.8
3
抽到次品 0.05
20
中靶
我们关注某个事件A是
各次试验 关注的随机变量X
否发生，而在n重伯努
是否独立
利试验中，我们关注事
3
3
0
P(X=3)= P(A1A2A3) = 0.83 C3 (0.8) (0.2)
于是,中靶次数X的分布列可简写为:
P(X=k) = ×0.8k×0.23-k , (k=0, 1, 2, 3).
新知探究
问题4 如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的结果
有哪些? 写出中靶次数X的分布列.
A1
0.8
0.2 A2
0.8
A3
A1 A2 A3
0.2
0.8
A3
A1 A2 A3
A3
A1 A2 A3
3 P(X=0) P ( A A A ) 0.23
1 2 3
2
3次独立重复
2
试验的结果两
0.2
A3
A1 A2 A3
1
A3
A1 A2 A3
2
A3
A1 A2 A3
1
A3
A1 A2 A3
1
A3
A1 A2 A3
0
0
3

C
(0.8)

(0.2)
P(X=0) P( A1 A2 A3 ) 0.2
3
3
P(X=1) P( A1 A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 ) =
3×0.8×0.22
C31 (0.8)1 (0.2) 2
2
2
1
P(X=2) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 ) = 3×0.82×0.2 C3 (0.8) (0.2)
n
n
k 0
k 0
k k
n k
n
P
(
X

k
)

C
p
(1

p
)

[(1

p
)

p
]
1.

n
概念辨析
追问 二项分布和两点分布有什么联系？
深圳市第七高级中学
傅世宁
二项分布的分布列如下表
X
0
1
k
n
P
Cn0 p 0 (1 p ) n
Cn1 p1 (1 p ) n 1
Cnk p k (1 p ) n k
正面朝上的次数
是
件A发生的次数X. 进一
中靶的次数
是
步地求它的概率分布列.
是
抽到次品的件数
新知探究
问题3 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8. 连续3次射击，中靶次数X
的概率分布列是怎样的?
用Ai表示“第i次射击中靶”(i＝1, 2, 3)， 用下图的树状图表示试验的可能结果：
试验结果
0.8
A2
（1）连续射击4次，中靶次数X＝2的结果有
A1 A2 A3 A4，A1 A2 A3 A4 ,A1 A2 A3 A4 ,A1 A2 A3 A4 ,A1 A2 A3 A4 ,A1 A2 A3 A4 共6个.
(2)中靶次数X的分布列为
P ( X 0) C 40 0.80 0.24 0.24，
解：设A＝“正面朝上”，则P(A)＝0.5. 用X表示事件A发生的次数，
则 X ~ B(10, 0.5).
(1) 恰好出现5次正面朝上的概率为
252
63
P ( X 5) C 0.5 (1 0.5)

1024 256
5
10
5
5
(2) 正面朝上出现的频率在[0.4, 0.6]内等价于4≤X≤6，于是所求概率为
(4)每次试验，某事件发生的概率是相同的。
典例解析
问题2 下面3个随机试验是否为n重伯努利试验? 如果是，那么其中的伯
努利试验是什么? 对于每个试验，定义“成功”的事件为A，那么A的
概率是多大? 重复试验的次数是多少?
(1) 抛掷一枚质地均匀的硬币10次.
(2) 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次.
同理，若采用5局3胜制，则X~B(5, 0.6)，所以甲最终获胜的概率为
新课导入
前面我们学习了互斥事件、条件概率、相互独立事件的意义, 这
些都是我们在具体求概率时需要考虑的一些模型, 吻合模型用公式去
求概率简便.
(1) P(A∪B) = P(A) + P(B) (当A与B互斥时);
(2) P(B|A)
()
=
()
;
(3) P(AB) = P(A)·P(B|A)
类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3:0, 3:1或3:2. 因为每局比
赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为
p2 0.63 C 32 0.62 0.4 0.6 C 42 0.62 0.42 0.6 0.68256
因为p2>p1，所以5局3胜制对甲有利. 实际上，比赛局数越多，对实力较
2
2
n
n
i 1
i 1
2
( xi E ( X ))2 pi xi2 pi ( E ( X ))2 .
为随机变量X的方差，并称 D( X ) 为随机变量X的标准差，记为σ(X).
随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反
映了随机变量取值的离散程度.
方差的性质： D(aX b ) a 2 D( X ).
P ( X 1) C 41 0.81 0.23 4 0.8 0.23，
P ( X 2) C 42 0.82 0.22 6 0.8 2 0.2 2，
P ( X 3) C 43 0.83 0.21 4 0.83 0.2，
获胜的概率为0.4, 那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利?
解1：若采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分2:0或2:1，前者是前两
局甲连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜. 因为每局比赛的结果
是独立的，所以甲最终获胜的概率为
p1 0.62 C 21 0.6 0.4 0.6 0.648
P ( X 4) C 44 0.84 0.20 0.84.
中靶次数X的分布列可简写为：
P(X=k)= ×0.8k×0.24-k,
(k=0, 1, 2, 3, 4).
二项分布
概念生成
二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为
p (0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为
672 21
P (4 X 6) C 0.5 C 0.5 C 0.5

1024 32
4
10
10
5
10
10
6
10
10
典例解析
问题6 如何判断一个随机变量X是否服从二项分布？
随机变量X服从二项分布的三个前提条件：
(1) 每次试验都是在同一条件下进行的；
(2) 每一次试验都彼此相互独立；
璃. 将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向
左或向右落下，最后落入底部的格子中. 格子从左到右分别编号为0, 1, 2, ‧‧‧, 10
，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列.
ഥ =“向左下落”，且P(A)=P(
ഥ )=0.5.
解：设A=“向右下落”，则
因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，而小球在下