新人教版初中数学八年级数学上册第二单元《全等三角形》测试卷(含答案解析)(3)

一、选择题
1．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AB ＞BC ，点D 在BC 边上，BD=12
DC ，∠BED=∠CFD=∠BAC ，若S △ABC =30，则阴影部分的面积为（ ）
A ．5
B ．10
C ．15
D ．20
2．如图，在ABC 和AEF 中，EAC BAF ∠=∠，EA BA =，添加下面的条件：①EAF BAC ∠=∠；②E B ∠=∠；③AF AC =；④EF BC =，其中可以得到ABC AEF ≌△△的有（ ）个．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．如图，在ABC 中，AD BC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，AD 与CE 交于点F ．请你添加一个适当的条件，使AEF ≌CEB △．下列添加的条件不正确的是（ ）
A ．EF E
B = B ．EA E
C = C ．AF CB =
D ．AF
E B ∠=∠ 4．工人师傅常用直角尺平分一个角，做法如下：如图所示，在∠AOB 的边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，移动直角尺，使直角尺两边相同的刻度分别与M ，N 重合（即CM ＝CN ）．此时过直角尺顶点C 的射线OC 即是∠AOB 的平分线．这种做法的道理是（ ）
A ．HL
B ．SAS
C ．SSS
D ．ASA
5．下列判断正确的个数是（ ）①三角形的三条高都在三角形的内部，并且相交于一点；②两边及一角对应相等的两个三角形全等；③两角及一边对应相等的两个三角形全等；④到三角形的三边所在的直线距离相等的点有三个；⑤两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等．
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
6．在以下图形中，根据尺规作图痕迹，能判定射线AD 平分∠BAC 的是（ ）
A ．图2
B ．图1与图2
C ．图1与图3
D ．图2与图3 7．如图，AB 与CD 相交于点
E ，AD=CB ，要使△ADE ≌△CBE ，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理正确的是（ ）
A ．AE=CE ；SAS
B ．DE=BE ；SAS
C ．∠D=∠B ；AAS
D ．∠A=∠C ；ASA
8．如图，AD 是ABC 的高，AD BD 8==，E 是AD 上的一点，BE AC 10==，AE 2=，BE 的延长线交AC 于点F ，则EF 的长为（ ）
A ．1.2
B ．1.5
C ．2.5
D ．3
9．如图，已知AE 平分∠BAC ，BE ⊥AE 于E ，ED ∥AC ，∠BAE ＝34°，那么∠BED ＝（ ）
A ．134°
B ．124°
C ．114°
D ．104° 10．在尺规作图作一个角的平分线时的两个三角形全等的依据是（ ）
A ．SAS
B ．AAS
C ．SSS
D ．HL 11．如图，要判定△ABD ≌△ACD ，已知AB ＝AC ，若再增加下列条件中的一个，仍不能说明全等，则这个条件是（ ）
A ．CD ⊥AD ，BD ⊥AD
B ．CD ＝BD
C ．∠1＝∠2
D ．∠CAD ＝∠B AD 12．如图，已知，CAB DA
E ∠=∠，AC AD =．下列五个选项：①AB AE =，②BC ED =，③C D ∠=∠，④B E ∠=∠，⑤12∠=∠，从中任选一个作为已知条
件，其中能使ABC AED ≌
△△的条件有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
二、填空题
13．如图所示的是一张直角ABC 纸片（90C ∠=︒），其中30BAC ∠=︒，如果用两张完全相同的这种纸片恰好能拼成如图2所示的ABD △，若2BC =，则ABD △的周长为______．
14．如图，∠ABC=∠DCB ，要使△ABC ≌△DCB ，还需要补充一个条件：___．（一个即
15．如图（1），已知AB AC =，D 为BAC ∠的角平分线上一点，连接BD ，CD ；如图（2），已知AB AC =，D ，E 为BAC ∠的角平分线上两点，连接BD ，CD ，BE ，CE ；如图（3），已知AB AC =，D ，E ，F 为BAC ∠的角平分线上三点，连接BD ，CD ，BE ，CE ，BF ，CF ；……，依此规律，第7个图形中有全等三角形的对数是________．
16．如图，ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别是10、15、20，三条角平分线交于O 点，则::ABO BCO CAO S S S 等于__________．
17．如图，ABC ADE ≅，延长BC ，分别交AD ，ED 于点F ，G ，若
120EAB ∠=︒，30B ∠=︒，10CAD ∠=︒，则CFD ∠=________︒．
18．已知70COB ∠=，30AOB ∠=，OD 平分AOC ∠，则BOD ∠=_________ 19．如图，ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ， AB ＝5，CD ＝2，则ABD △的面积是
20．如图，在△ABC 和△DBC 中，∠ACB=∠DBC=90°，E 是BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为F ，AB=DE ．若BD=8cm ，则AC 的长为_________．
三、解答题
21．已知：MON α∠=，点P 是MON ∠平分线上一点，点A 在射线OM 上，作180APB α∠=︒-，交直线ON 于点B ，作PC ON ⊥于点C ．
（1）观察猜想：如图1，当90MON ∠=︒时，PA 和PB 的数量关系是______．
（2）探究证明：如图2，当60MON ∠=︒时，（1）中的结论还成立吗?若成立，请写出证明过程；若不成立，请直接写出PA ，PB 之间另外的数量关系．
（3）拓展延伸：如图3，当60MON ∠=︒，点B 在射线ON 的反向延长线上时，请直接写出线段OC ，OA 及BC 之间的数量关系：______．
22．如图，在ACD △与BCE 中，AC BC =，CD CE =，ECD ACB ∠=∠．
（1）求证：AD BE =；
（2）若105ACD ∠=︒，32D ∠=︒，求B 的度数．
23．求证：全等三角形对应边上的中线相等．（根据图形写出已知，求证并完成证明）
24．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，E 为AC 的中点，连接DE 并延长，交BC 于点F ．
（1）求证：DE EF =．
（2）若12AD =，:2:3BF CF =，求BC 的长．
25．如图，已知Rt ABC △中，90ACB ︒∠=，CA CB =，D 是AC 上一点，E 在BC 的延长线上，且CE CD =，BD 的延长线与AE 交于点F ．求证：BF AE ⊥．
26．在数学课本中，有这样一道题：如图1，AB ∥CD ，试用不同的方法证明∠B +∠C ＝∠BEC
（1）某同学写出了该命题的逆命题，请你帮他把逆命题的证明过程补充完整．
已知：如图1，∠B +∠C ＝∠BEC
求证：AB ∥CD
证明：如图2，过点E ，作EF ∥AB ，
∴∠B＝∠
∵∠B+∠C＝∠BEC，∠BEF+∠FEC＝∠BEC（已知）
∴∠B+∠C＝∠BEF+∠FEC（等量代换）
∴∠＝∠（等式性质）
∴EF∥
∵EF∥AB
∴AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
（2）如图3，已知AB∥CD，在∠BCD的平分线上取两个点M、N，使得∠BMN＝
∠BNM，求证：∠CBM＝∠ABN．
（3）如图4，已知AB∥CD，点E在BC的左侧，∠ABE，∠DCE的平分线相交于点F．请直接写出∠E与∠F之间的等量关系．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
根据△ABE≌△CAF得出△ACF与△ABE的面积相等，可得S△ABE+S△CDF=S△ACD，即可得出答案．
【详解】
∵∠BED=∠CFD=∠BAC，∠BED=∠BAE+∠ABE，
∠BAC=∠BAE+∠CAF，∠CFD=∠FCA+∠CAF，
∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，
在△ABE和△CAF中，
ABE CAF
AB AC
BAE FCA ∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△ABE≌△CAF（ASA），
∴S△ABE=S△ACF，
∴阴影部分的面积为S△ABE+S△CDF=S△ACD，
∵S△ABC=30，BD=1
2
DC，
∴S△ACD=20，
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积，三角形的外角性质等知识点，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
2．B
解析：B
【分析】
根据EAC BAF ∠=∠，EAF EAC CAF ∠=∠+∠，BAC BAF CAF ∠=∠+∠，经推到得EAF BAC ∠=∠；再结合全等三角形判定的性质分析，即可得到答案．
【详解】
∵EAC BAF ∠=∠，EAF EAC CAF ∠=∠+∠，BAC BAF CAF ∠=∠+∠ ∴EAF BAC ∠=∠
E B ∠=∠，即E B EA
F BAC EA BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ABC AEF ≌△△()ASA ，故②符合题意；
AF AC =，即AF AC EAF BAC EA BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ABC AEF ≌△△()SAS ，故③符合题意；
①和④不构成三角形全等的条件，故错误；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质，从而完成求解．
3．D
解析：D
【分析】
根据垂直关系，可以判断△AEF 与△CEB 有两对角相等，就只需要添加一对边相等就可以了．
【详解】
解：∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，
∴∠AEF=∠CEB=90°，∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠EAF+∠B=90°，∠BCE+∠B=90°，
∴∠EAF=∠BCE ．
A.在Rt △AEF 和Rt △CEB 中
AEF CEB EAF BCE EF EB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴AEF ≌CEB △（AAS ），故正确；
B.在Rt △AEF 和Rt △CEB 中
AEF CEB EA EC
EAF BCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴AEF ≌CEB △（ASA ），故正确；
C.在Rt △AEF 和Rt △CEB 中 AEF CEB EAF BCE AF CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴AEF ≌CEB △（AAS ），故正确；
D.在Rt △AEF 和Rt △CEB 中 由AEF CEB EAF BCE AFB B ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩
不能证明AEF ≌CEB △，故不正确； 故选D ．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．添加时注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
4．C
解析：C
【分析】
根据题中的已知条件确定有三组边对应相等，由此证明△OMC ≌△ONC(SSS)，即可得到结论.
【详解】
在△OMC 和△ONC 中，
OM ON CM CN OC OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩
, ∴△OMC ≌△ONC(SSS)，
∴∠MOC=∠NOC ，
∴射线OC 即是∠AOB 的平分线，
故选：C.
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定及性质，比较简单，注意利用了三边对应相等，熟记三角形全等的判定定理并解决问题是解题的关键.
5．D
解析：D
【分析】
根据三角形的高线、角平分线的性质及全等三角形的判定分析各个选项即可．
【详解】
解：①只有当三角形是锐角三角形时，三条高才在三角形的内部，此选项错误；
②有两边及一角对应相等的两个三角形全等，此选项错误；
③有两角和一边对应相等，满足AAS或ASA，此选项正确；
④在三角形内部到三边距离相等的点是三条内角平分线的交点，交点重合，只有一点；在三角形的外部到三条边所在直线距离相等的点是外角平分线的交点，交点不重合，有三个．
则到三角形三边所在直线距离相等的点有4个，此选项错误；
⑤两边及第三边上的高对应相等的两个三角形不一定全等，此选项错误．
正确的有一个③，
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定方法及三角形的角平分线，垂心等概念，熟练掌握概念和性质是解题的关键．
6．C
解析：C
【分析】
利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可．
【详解】
解：在图1中，利用基本作图可判断AD平分∠BAC；
在图2中，利用基本作图得到D点为BC的中点，则AD为BC边上的中线；
在图3中，利用作法得AE=AF，AM=AN，则可判断△AMF≌△ANE，所以∠AMD=∠AND，再根据ME=AM-AE=AN-AF=FN，∠MDE=∠NDF可判断△MDE≌△NDF，根据三角形面积公式则可判定D点到AM和AN的距离相等，则可判断AD平分∠BAC．
故选：C．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握角平分线的作法．
7．C
解析：C
【分析】
根据三角形全等的判定方法结合全等的判定方法逐一进行来判断．
【详解】
解：A.添加AE=CE 后，根据已知两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等；故不符合题意；
B.添加DE=BE 后，根据已知两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等；故不符合题意；
C.添加∠D=∠B ，根据AAS 可证明△ADE ≌△CBE ，故此选项符合题意；
D.添加∠A=∠C ，根据AAS 可证明△ADE ≌△CBE ，故此选项不符合题意；
故选：C
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、AAS 、ASA ．关键在于应根据所给的条件判断应证明哪两个三角形全等．
8．A
解析：A
【分析】
先证明Rt ACD ≌()Rt BED HL ，得CD ED AD AE 6==-=，
CAD EBD ∠∠=，再证BE AC ⊥，然后由三角形面积关系求出BF 11.2=，则EF BF BE 1.2=-=．
【详解】
解：AD 是ABC 的高，
AD BC ∴⊥，
ADC BDE 90∠∠∴==︒，
在Rt ACD 和Rt BED 中，
AC BE AD BD =⎧⎨=⎩
， Rt ACD ∴≌()Rt BED HL ，
CD ED AD AE 826∴==-=-=，CAD EBD ∠∠=，
C CA
D 90∠∠+=︒，
C EB
D 90∠∠∴+=︒，
BFC 90∠∴=︒，
BE AC ∴⊥， ABC 的面积ABD =的面积ACD +的面积，
111AC BF AD BD CD AD 222
∴⨯=⨯+⨯， AC BF AD BD CD AD ∴⨯=⨯+⨯，
即10BF 8886112=⨯+⨯=，
BF 11.2∴=，
EF BF BE 11.210 1.2∴=-=-=，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质以及三角形面积等知识；证明三角形全等是解题的关键．
9．B
解析：B
【分析】
根据角平分线的性质和平行线的性质计算即可；
【详解】
∵AE 平分∠BAC ，∠BAE ＝34°，
∴34EAC ∠=︒，
∵ED ∥AC ，
∴18034146AED ∠=︒-︒=︒，
∵BE ⊥AE ，
∴90AEB =︒∠，
∴36090146124BED ∠=︒-︒-︒=︒；
故答案选B ．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质和平行线的性质，结合周角的定理计算是解题的关键 。

10．C
解析：C
【分析】
根据作图过程可知用到的三角形全等的判定方法是SSS ．
【详解】
解：尺规作图-作一个角的角平分线的作法如下：
①以O 为圆心，任意长为半径画弧，交AO 、BO 于点F 、E ，
②再分别以F 、E 为圆心，大于12
EF 长为半径画弧，两弧交于点M ， ③画射线OM ，射线OM 即为所求．
由作图过程可得用到的三角形全等的判定方法是SSS ．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定，关键是掌握作一个角的平分线的基本作图方法．
11．C
解析：C
【分析】
在△ACD 和△ABD 中，AD=AD ，AB=AC ，由全等三角形判定定理对选项一一分析，排除不符合题意的选项即可．
【详解】
解：添加A 选项中条件可用HL 判定两个三角形全等，故选项A 不符合题意；
添加B 选项中的条件可用SSS 判定两个三角形全等，故选项B 不符合题意；
添加C 选项中的条件∠1＝∠2可得∠CDA=∠BDA ，结合已知条件不SS 判定两个三角形全等，故选项C 符合题意；
添加D 选项中的条件可用SAS 判定两个三角形全等，故选项D 不符合题意．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，判定三角形全等的方法：SSS 、SAS 、ASA 、AAS ，判断直角三角形全等的方法：“HL”．
12．B
解析：B
【分析】
添加条件①可以用“SAS”证明，添加条件③可以用“ASA”证明，添加条件④可以用“AAS”证明．
【详解】
解：①在ABC 和AED 中，
AC AD CAB DAE AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()ABC AED SAS ≅△△；
②不可以；
③在ABC 和AED 中，
C D AC AD
CAB DAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴()ABC AED ASA ≅；
④在ABC 和AED 中，
B E CAB DAE A
C A
D ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()ABC AED AAS ≅；
⑤不可以；
故选：B ．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的所有判定定理．
二、填空题
13．12【分析】根据题意证明三角形全等即可得解；【详解】如图所示由题可知∴∴∴BCD 在一条直线上∵∴△ABD 是等边三角形∴△ABD 的周长；故答案是12【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质结合等边
解析：12
【分析】
根据题意证明三角形全等即可得解；
【详解】
如图所示，
由题可知ABC ADC ≅△△，
∴30BAC DAC ∠=∠=︒，90ACB ACD ∠=∠=︒，2BC BD ==，
∴60BAD ∠=︒，180BCD ∠=︒，
∴B ，C ，D 在一条直线上，
∵60B D ∠=∠=︒，
∴△ABD 是等边三角形，
∴△ABD 的周长()33
12BD BC CD ==+=； 故答案是12．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，结合等边三角形的性质计算是解题的关键． 14．AB=CD （或∠A=∠D 或∠ACB=∠DBC ）【分析】根据已知条件：两个三角形
已经具备∠ABC=∠DCB 及公共边BC 再添加任意一组角或是AB=CD 即可【详解】∵∠ABC=∠DCBBC=CB ∴当AB=
解析：AB=CD （或∠A=∠D 或∠ACB=∠DBC ）
【分析】
根据已知条件：两个三角形已经具备∠ABC=∠DCB 及公共边BC ，再添加任意一组角，或是AB=CD 即可．
【详解】
∵∠ABC=∠DCB ，BC=CB ，
∴当AB=CD 时，利用SAS 证明△ABC ≌△DCB ；
当∠A=∠D 时，利用AAS 证明△ABC ≌△DCB ；
当∠ACB=∠DBC 时，利用ASA 证明△ABC ≌△DCB ，
故答案为：AB=CD （或∠A=∠D 或∠ACB=∠DBC ）．
【点睛】
此题考查添加一个条件证明两个三角形全等，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 15．28【分析】设第n 个图形中有an （n 为正整数）对全等三角形根据各图形中全等三角形对数的变化可找出变化规律an=（n 为正整数）再代入n=7即可求出结论【详解】解：设第n 个图形中有an （n 为正整数）对全
解析：28
【分析】
设第n 个图形中有a n （n 为正整数）对全等三角形，根据各图形中全等三角形对数的变化可找出变化规律“a n =
(1)2
n n +（n 为正整数）”，再代入n=7即可求出结论． 【详解】
解：设第n 个图形中有a n （n 为正整数）对全等三角形．
∵点E 在∠BAC 的平分线上
∴∠BAD=∠CAD 在△ABD 和△ACD 中，AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABD ≌△ACD （SAS ），
∴a 1=1；
同理，可得：a 2=3=1+2，a 3=6=1+2+3，a 4=10=1+2+3+4，…，
∴a n =1+2+3+…+n=
(1)2n n +（n 为正整数）， ∴a 7=7(71)282
⨯+=． 故答案为：28．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定以及规律型：图形的变化类，根据各图形中全等三角形对数的变化，找出变化规律“a n =(1)2
n n +（n 为正整数）”是解题的关键． 16．【分析】由角平分线的性质可得点O 到三角形三边的距离相等即三个三角形的ABBCCA 上的高相等利用面积公式即可求解【详解】解：过点O 作OD ⊥AC 于DOE ⊥AB 于EOF ⊥BC 于F ∵O 是三角形三条角平分线的
解析：2:3:4
【分析】
由角平分线的性质可得，点O 到三角形三边的距离相等，即三个三角形的AB 、BC 、CA 上的高相等，利用面积公式即可求解．
【详解】
解：过点O 作OD ⊥AC 于D ，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥BC 于F ，
∵O 是三角形三条角平分线的交点，
∴OD ＝OE ＝OF ．
∵AB ＝10，BC ＝15，CA ＝20，
∴::ABO BCO CAO S S S ＝(12•AB•OE )：(12•BC•OF )：(12
•CA•OD )＝::AB BC CA ＝2:3:4．
故答案为：2:3:4．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质定理和三角形面积的计算方法是解题的关键．
17．95【分析】根据全等三角形的性质得∠BAC=∠DAE 结合三角形外角的性质和三角形内角和定理即可求解【详解】解：∵∴∴∴∴故答案为：【点睛】本题主要考查全等三角形的性质三角形外角的性质和三角形内角和定
解析：95
【分析】
根据全等三角形的性质，得∠BAC=∠DAE ，结合三角形外角的性质和三角形内角和定理，即可求解．
【详解】
解：∵ABC ADE ≅，
∴()
BAC DAE
∠=∠=-÷=，
12010255
∴85
∠=∠+∠=，
ACF BAC B
∴18085
∠=-∠-∠=，
CFA ACF CAD
∴1808595
∠=-=．
CFD
故答案为：95．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质，三角形外角的性质和三角形内角和定理，熟练掌握上述定理和性质，是解题的关键．
18．20°或50°【分析】根据题意分两种情况进行讨论然后根据角平分线的性质计算解决即可【详解】解:①如图∵∠BOC=70°∴∠AOC=100°∵OD平分
∠AOC∴∠AOD=∠AOC=50°∠AOD-=2
解析：20°或50°
【分析】
根据题意,分两种情况进行讨论,然后根据角平分线的性质计算解决即可.
【详解】
解:①如图
∵30
∠=︒,
AOB
∠BOC=70°,
∴∠AOC=100°,
∵OD平分∠AOC
∠AOC=50°,
∴∠AOD=1
2
∠=20°;
BOD
∠=∠AOD-AOB
②如图,
∵30
∠=︒,
AOB
∠BOC=70°,
∴∠AOC=40°,
∵OD平分∠AOC
∠AOC=20°,
∴∠AOD=1
2
∠=50°;
∠=∠AOD+AOB
BOD
故答案为：20°或50°
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握角平分线的性质，能够由角平分线得出相等的角，在解决问题时注意要分类讨论.
19．5【分析】根据角平分线的性质求出DE根据三角形的面积公式计算即可；【详解】如图：作DE⊥AB于点E∵AD平分
∠BAC∠C=90°DE⊥AB∴DE=DC=2∵AB=5∴△ABD的面积=×AB×DE=5
解析：5
【分析】
根据角平分线的性质求出DE，根据三角形的面积公式计算即可；
【详解】
如图：作DE⊥AB于点E，
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC=2，
∵AB=5
∴△ABD的面积=1
×AB×DE=5，
2
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键； 20．4cm 【分析】由DE ⊥AB 可得∠BFE=90°由直角三角形两锐角互余可得∠ABC+∠DEB=90°由∠ACB=90°由直角三角形两锐角互余可得∠ABC+∠A=90°根据同角的余角相等可得∠A=∠DE
解析：4cm ．
【分析】
由DE ⊥AB ，可得∠BFE=90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠DEB=90°，由∠ACB=90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠A=90°，根据同角的余角相等，可得∠A=∠DEB ，然后根据AAS 判断△ABC ≌△EDB ，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD=BC ，AC=BE ，由E 是BC 的中点，得到BE=
12BC=12
BD=4． 【详解】
解：∵DE ⊥AB ，可得∠BFE=90°，
∴∠ABC+∠DEB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠A=90°，
∴∠A=∠DEB ，
在△ABC 和△EDB 中， ACB DBC A DEB
AB DE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝， ∴△ABC ≌△EDB （AAS ），
∴BD=BC，AC=BE，
∵E是BC的中点，BD=8cm，
∴BE=1
2BC=
1
2
BD=4cm，
∴AC=4cm．
故答案为：4cm．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目，找准全等的三角形是解决本题的关键．
三、解答题
21．（1）PA=PB；（2）成立证明见解析；（3）OA=BC+OC
【分析】
（1）作PD⊥OM于点D，根据角平分线的性质得到PC=PD，证明△APD≌△BPC，根据全等三角形的性质定理证明；
（2）作PD⊥OM于点D，根据角平分线的性质得到PC=PD，证明△APD≌△BPC，根据全等三角形的性质定理证明；
（3）仿照（2）的解法得出△APD≌△BPC，从而得出AD=BC，再根据HL得出
Rt△OPD≌△RtOPC，得出OC=OD，继而得出结论．
【详解】
（1）作PD⊥OM于点D，
∵点P在∠MON的角平分线上，且PC⊥ON于C，
∴PC=PD，
∵∠MON=90°，
∴∠APB=90°，∠CPD=90°，
∴∠APD+∠BPD=90°，∠BPC+∠BPD=90°
∴∠APD=∠BPC，
∵∠PDA=∠PCB=90°，
在△APD和△BPC中，
APD BPC PD PC
ADP BCP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△APD ≌△BPC （ASA ），
∴AP=BP ．
（2）（1）中的结论还成立
理由如下：如图2，作PD ⊥OM 于点D ，
∵点P 在∠MON 的角平分线上，且PC ⊥ON 于C ，
∴PC=PD ，
∵∠MON=60°，
∴∠APB=120°，
在四边形OCPD 中，∠CPD=360°-90°-90°-60°=120°，
∴∠APD+∠BPD=120°，∠BPC+∠BPD=120°
∴∠APD=∠BPC ，
∵∠PDA=∠PCB=90°，
在△APD 和△BPC 中，
APD BPC PD PC
ADP BCP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△APD ≌△BPC （ASA ），
∴AP=BP ．
（3）OA=2BC-OB ．
理由如下：如图3，作PD ⊥OM 于点D ，
同（2），可证△APD ≌△BPC ，
∴AD=BC ，
点P 在∠MON 的角平分线上，且PC ⊥ON 于C ，
∴PC=PD ，
在Rt △OPD 和RtOPC 中，
PC PD OP OP =⎧⎨=⎩
∴Rt △OPD ≌△RtOPC ，
∴OC=OD ，
∴OA-AD=OD=OC ，
∴OA-BC=OC ，
∴OA=BC+OC ．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用类比思想是解题的关键．
22．（1）见解析；（2）43°
【分析】
利用 SAS 证明≌ACD BCE 即可;
由全等三角形的性质可知:B A ∠=∠ 再根据三角形内角和为180︒，可求出A ∠的度数，即可求出B ．
【详解】
（1）证明：∵ECD ACB ∠=∠．
∴ECD ACE ACB ACE ∠+∠=∠+∠
∴ACD BCE ∠=∠，
在ACD △和BCE 中，
AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴()ACD BCE SAS ≌
∴AD BE =
（2）∵105ACD ∠=︒，32D ∠=︒
∴1801053243A ∠=︒-︒-︒=︒
由（1）得≌ACD BCE
∴43B A ∠=∠=︒
．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，属于中考常考题型．
23．见解析
【分析】
利用SAS 证明ABD ≌A B D '''△，即可证得结论．
【详解】 解：已知：如图，ABC ≌
A B C '''，AD 和A D ''分别是BC 和B C ''上的中线，
求证：AD ＝A D ''．
证明：∵ABC ≌A B C '''， ∴AB ＝A B ''，∠B ＝∠B '，BC ＝B C ''，
∵AD 、A D ''是 BC 和B C ''上的中线，
∴BD ＝12
BC ，12B D B C ''''=， ∴BD ＝B D ''，
∴在ABD 与A B D '''△中 AB A B B B BD B D =⎧⎪∠=∠⎨⎪=''''⎩
' ∴ABD ≌A B D '''△（SAS ），
∴AD ＝A D ''．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，证明线段相等的问题，基本的思路是转化成三角形全等． 24．（1）见解析；（2）20
【分析】
（1）根据平行线的性质可得：EAD ECF ∠=∠，EDA EFC ∠=∠，继而根据全等三角形的判定证得()ADE CFE AAS ≅△△，继而即可求证结论；
（2）由全等三角形的性质可得：12AD CF ==，求得8BF =，继而即可求解．
【详解】
（1）证明：∵//AD BC ，
∴EAD ECF ∠=∠，EDA EFC ∠=∠．
∵E 为AC 的中点，
∴AE CE =．
在ADE 和CFE 中，,,,EAD ECF EDA EFC AE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴()ADE CFE AAS ≅△△．
∴DE EF =．
（2）解：∵
ADE CFE ≅，
∴12AD CF ==．
∵:2:3BF CF =，
∴8BF =，
∴81220BC BF CF =+=+=．
【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法和性质．
25．证明见解析
【分析】
根据题意可以得到△ACE ≌△BCD ，然后根据全等三角形的性质和垂直的定义可以证明结论成立．
【详解】
证明：∵90ACB ︒∠=
∴90ACE BCD ︒∠=∠=
在ACE △和BCD △中，
CA CB ACE BCD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴()ACE BCD SAS =
∴CAE CBD ∠=∠
∵Rt ACE △中，90CAE E ︒∠+∠=，
∴90CBD E ︒∠+∠=，
∴90BFE ︒∠=
∴BF AE ⊥
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、垂直的定义，解题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定和性质、数形结合的思想作答．
26．（1）BEF ，C ，CEF ，CD ；（2）证明见解析；（3）∠E ＝2∠F
【分析】
（1）过点E ，作EF ∥AB ，根据内错角性质即可得出∠B ＝∠BEF ，利用等量代换即可证出∠C ＝∠CEF ，进而得出EF ∥CD ．
（2）如图3，过点N 作NG ∥AB ，交BM 于点G ，可以知道NG ∥AB ∥CD ，由平行线的性质得出∠ABN ＝∠BNG ，∠GNC ＝∠NCD ，由三角形的外角性质得出∠BMN ＝
∠BCM +∠CBM ，证出∠BCM +∠CBM ＝∠BNG +∠GNC ，进而得出∠BCM +∠CBM ＝
∠ABN+∠NCD，由角平分线得出∠BCM＝∠NCD，即可得出结论．
（3）如图4，分别过E，F作EG∥AB，FH∥AB，则EG∥CD，FH∥CD，根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论．
【详解】
（1）证明：如图2，过点E，作EF∥AB，
∴∠B＝∠BEF，
∵∠B+∠C＝∠BEC，∠BEF+∠FEC＝∠BEC（已知），
∴∠B+∠C＝∠BEF+∠FEC（等量代换），
∴∠C＝∠CEF（等式性质），
∴EF∥CD，
∵EF∥AB，
∴AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）；
故答案为：BEF，C，CEF，CD；
（2）如图3所示，过点N作NG∥AB，交BM于点G，则NG∥AB∥CD，
∴∠ABN＝∠BNG，∠GNC＝∠NCD，
∵∠BMN是△BCM的一个外角，
∴∠BMN＝∠BCM+∠CBM，
又∵∠BMN＝∠BNM，∠BNM＝∠BNG+∠GNC，
∴∠BCM+∠CBM＝∠BNG+∠GNC，
∴∠BCM+∠CBM＝∠ABN+∠NCD，
∵CN平分∠BCD，
∴∠BCM＝∠NCD，
∴∠CBM＝∠ABN．
（3）如图4，分别过E，F作EG∥AB，FH∥AB，则EG∥CD，FH∥CD，
∴∠BEG＝∠ABE，∠CEG＝∠DCE，
∴∠BEC＝∠BEG+∠CEG＝∠ABE+∠DCE，
同理可得∠BFC＝∠ABF+∠DCF，
∵∠ABE，∠DCE的平分线相交于点F，
∴∠ABE＝2∠ABF，∠DCE＝2∠DCF，
∴∠BEC＝2（∠ABF+∠DCF）＝2∠BFC．
【点睛】
本题考察了命题与定理、平行线的性质与判定、逆命题、三角形的外角性质、角平分线定义等知识；熟练掌握平行线的判定与性质，作出辅助平行线是解决问题的关键．。