近年届高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3.2第2课时导数与函数的极值、最值学案文北师大版(20

2019届高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3.2 第2课时导数与函数的极值、最值学案文北师大版
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第2课时导数与函数的极值、最值
题型一用导数求解函数极值问题
命题点1 根据函数图像判断极值
典例设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y＝(1－x)f′（x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是( ）
A．函数f(x）有极大值f(2)和极小值f（1）
B．函数f(x）有极大值f(－2)和极小值f(1）
C．函数f（x)有极大值f（2）和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f（－2）和极小值f（2）
答案D
解析由题图可知，当x<－2时，f′（x)>0；
当－2〈x<1时,f′（x）〈0;
当1〈x〈2时，f′（x）〈0；
当x〉2时,f′(x)>0.
由此可以得到函数f（x）在x＝－2处取得极大值，
在x＝2处取得极小值．
命题点2 求函数的极值
典例(2017·泉州质检）已知函数f(x)＝x－1＋错误!(a∈R，e为自然对数的底数)．
（1)若曲线y＝f（x）在点（1,f（1))处的切线平行于x轴，求a的值；（2)求函数f(x）的极值．
解(1)由f（x)＝x－1＋错误!，得f′（x）＝1－错误!。

又曲线y＝f（x）在点(1，f（1））处的切线平行于x轴，
得f′(1）＝0，即1－错误!＝0，解得a＝e.
（2）f′（x)＝1－错误!，
①当a≤0时，f′(x）>0,f（x)在（－∞，＋∞)上是增加的，所以函数f（x)无极值．
②当a>0时，令f′(x）＝0，得e x＝a，即x＝ln a，
当x∈（－∞，ln a)时，f′(x）<0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′（x）〉0，
所以f（x）在(－∞，ln a)上是减少的，
在(ln a，＋∞)上是增加的，故f(x)在x＝ln a处取得极小值且极小值为f(ln a）＝ln a，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x）无极值;
当a〉0时，f（x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值．
命题点3 根据极值求参数
典例 (1)（2017·沧州模拟)若函数f（x）＝x3－2cx2＋x有极值点，则实数c的取值范围为________________．
答案错误!∪错误!
解析f′(x）＝3x2－4cx＋1，
由f′（x)＝0有两个不同的根,
可得Δ＝(－4c)2－12>0，
∴c〉
3
2
或c<－错误!.
(2)若函数f(x)＝错误!－错误!x2＋x＋1在区间错误!上有极值点，则实数a的取值范围是( )
A。

错误!B。

错误!
C.错误!
D.错误!
答案C
解析函数f(x）在区间错误!上有极值点等价于f′(x)＝0有2个不相等的实根且在错误!内有根,由f′（x)＝0有2个不相等的实根，得a〈－2或a〉2.由f′（x）＝0在错误!内有根，得a＝x＋错误!在错误!内有解，
又x＋错误!∈错误!，所以2≤a〈错误!，
综上，a的取值范围是错误!。

思维升华函数极值的两类热点问题
（1）求函数f(x）极值的一般解题步骤
①确定函数的定义域；②求导数f′（x)；③解方程f′(x）＝0,求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′（x）在f′（x）＝0的根x0左右两侧值的符号．
（2）根据函数极值情况求参数的两个要领
①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
②验证：求解后验证根的合理性．
跟踪训练 (1）函数f(x）＝（x2－1）2＋2的极值点是（)
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝1或－1或0 D．x＝0
答案C
解析∵f(x）＝x4－2x2＋3，
∴由f′(x)＝4x3－4x＝4x（x＋1)（x－1)＝0，得
x＝0或x＝1或x＝－1。

又当x<－1时,f′（x）〈0,
当－1<x〈0时，f′（x)〉0，
当0〈x〈1时，f′（x）<0,
当x〉1时,f′（x）〉0,
∴x＝0,1,－1都是f（x）的极值点．
（2）函数y＝2x－错误!的极大值是________．
答案－3
解析y′＝2＋错误!，令y′＝0，得x＝－1.
当x〈－1或x>0时，y′>0；当－1<x〈0时，y′<0。

∴当x＝－1时，y取极大值－3.
题型二用导数求函数的最值
典例（2017·洛阳模拟)已知函数f(x)＝错误!＋k ln x,k<错误!，求函数f（x）
在错误!上的最大值和最小值．
解f′（x)＝－x－1－x
x2
＋错误!＝错误!。

①若k＝0,则f′(x）＝－错误!在错误!上恒有f′(x)〈0,所以f(x）在错误!上是减少的．
②若k≠0，则f′(x）＝kx－1
x2
＝错误!.
(ⅰ)若k<0，则在错误!上恒有错误!<0.
所以f(x）在错误!上是减少的，
（ⅱ）若k〉0,由k<错误!，
得错误!〉e，则x－错误!〈0在错误!上恒成立，所以错误!<0，
所以f(x）在错误!上是减少的．
综上，当k〈1
e
时，f(x)在错误!上是减少的,
所以f（x）min＝f(e）＝1
e
＋k－1，
f(x）
max
＝f错误!＝e－k－1.引申探究
本例中若函数为“f(x)＝ln x－1
2
x2”，则函数f（x)在错误!上的最大值如何?
解由f(x）＝ln x－1
2
x2,
则f′（x）＝错误!－x＝错误!，
因为当错误!≤x≤e时,令f′（x）〉0，得错误!≤x<1;令f′（x)〈0，得1<x≤e，
所以f（x)在错误!上是增加的，在（1，e]上是减少的，
所以f（x）max＝f（1)＝－1 2 .
思维升华求函数f（x）在[a,b］上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b）内的极值．
（2）求函数在区间端点的函数值f （a ）,f (b ）．
（3）将函数f （x ）的极值与f （a ），f （b )比较,其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
跟踪训练 设函数f (x ）＝x 3
－错误!－2x ＋5，若对任意的x ∈［－1，2]，都有f (x ）>a ,则实数a 的取值范围是________________． 答案 错误!
解析 由题意知，f ′(x ）＝3x 2
－x －2， 令f ′（x ）＝0,得3x 2
－x －2＝0， 解得x ＝1或x ＝－错误!,
又f (1）＝错误!，f 错误!＝错误!，
f (－1)＝错误!，f (2)＝7,
故f (x ）min ＝错误!,∴a <错误!. 题型三 函数极值和最值的综合问题
典例 (2018·珠海调研）已知函数f （x )＝ax 2＋bx ＋c
e
x
（a >0）的导函数y ＝f ′(x )
的两个零点为－3和0。

(1)求f (x )的单调区间；
(2)若f （x )的极小值为－e 3
，求f （x )在区间［－5，＋∞）上的最大值． 解 （1)f ′（x )＝错误! ＝错误!。

令g （x )＝－ax 2
＋(2a －b ）x ＋b －c ，
因为e x
〉0，所以y ＝f ′（x ）的零点就是g (x ）＝－ax 2
＋(2a －b )x ＋b －c 的零点且f ′（x )与g （x ）符号相同．
又因为a >0，所以当－3〈x <0时，g (x )>0，即f ′(x ）〉0， 当x <－3或x >0时，g （x ）<0，即f ′（x ）<0， 所以f （x )的递增区间是(－3,0）, 递减区间是(－∞，－3），(0，＋∞)． （2）由（1)知,x ＝－3是f (x )的极小值点， 所以有错误!
解得a＝1，b＝5,c＝5，
所以f(x）＝错误!。

因为f（x)的递增区间是(－3,0)，
递减区间是(－∞，－3)，（0，＋∞)，
所以f(0)＝5为函数f(x)的极大值，
故f（x)在区间[－5，＋∞)上的最大值取f(－5)和f（0）中的最大者，而f(－5）＝错误!＝5e5>5＝f(0），
所以函数f(x)在区间[－5，＋∞）上的最大值是5e5。

思维升华（1)求极值、最值时,要求步骤规范，含参数时,要讨论参数的大小．（2)求函数在无穷区间（或开区间）上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图像，然后借助图像观察得到函数的最值．
跟踪训练若函数f（x)＝错误!x3＋x2－错误!在区间（a，a＋5）上存在最小值，则实数a的取值范围是（)
A．[－5，0) B．(－5，0)
C．［－3，0) D．（－3,0）
答案C
解析由题意，得f′(x）＝x2＋2x＝x（x＋2),
故f（x)在（－∞，－2），（0，＋∞)上是增加的，
在(－2,0）上是减少的，作出其图像如图所示，
令错误!x3＋x2－错误!＝－错误!，得
x＝0或x＝－3，则结合图像可知，
错误!解得a∈[－3，0)．
利用导数求函数的最值
典例 (12分)已知函数f(x）＝ln x－ax（a∈R)．
(1)求函数f(x）的单调区间;
(2)当a〉0时，求函数f(x）在［1，2]上的最小值．
思维点拨 (1）已知函数解析式求单调区间,实质上是求f′（x）>0，f′(x）〈0的解区间，并注意定义域．
（2)先研究f（x）在[1，2］上的单调性，再确定最值是端点值还是极值．（3)两小问中，由于解析式中含有参数a,要对参数a进行分类讨论．
规范解答
解（1)f′(x）＝1
x
－a(x〉0），
①当a≤0时，f′（x)＝错误!－a>0，即函数f(x)的递增区间为（0,＋∞)．［2分］
②当a>0时，令f′（x)＝错误!－a＝0，可得x＝错误!,
当0〈x<错误!时，f′(x)＝错误!>0;
当x>错误!时，f′（x）＝错误!<0，
故函数f(x）的递增区间为错误!，
递减区间为错误!。

[4分］
综上可知，当a≤0时,函数f（x）的递增区间为(0，＋∞）；
当a〉0时，函数f（x）的递增区间为错误!，递减区间为错误!.[5分］（2)①当错误!≤1，即a≥1时，函数f(x)在区间［1，2］上是减少的,所以f （x）的最小值是f(2）＝ln 2－2a.［6分]
②当错误!≥2，即0〈a≤错误!时，函数f(x)在区间［1,2]上是增加的,所以f(x)的最小值是f（1)＝－a。

[7分］③当1〈错误!<2，即错误!<a〈1时,函数f（x）在错误!上是增加的，在错误!上是减少的．又f（2）－f(1）＝ln 2－a，
所以当错误!<a<ln 2时，最小值是f（1）＝－a；
当ln 2≤a〈1时，最小值为f（2)＝ln 2－2a。

［11分]
综上可知，当0〈a<ln 2时,函数f（x)的最小值是f(1）＝－a;
当a≥ln 2时，函数f(x）的最小值是f(2)＝ln 2－2a.[12分]
用导数法求给定区间上的函数的最值问题的一般步骤
第一步：（求导数）求函数f(x）的导数f′(x)；
第二步：(求极值)求f（x）在给定区间上的单调性和极值;
第三步：(求端点值）求f（x）在给定区间上的端点值;
第四步:(求最值）将f(x）的各极值与f(x）的端点值进行比较,确定f（x）
的最大值与最小值;
第五步：(反思）反思回顾,查看关键点,易错点和解题规范．
1．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（ ) A ．y ＝x 3
B ．y ＝ln(－x ）
C ．y ＝x e －x
D ．y ＝x ＋2
x
答案 D
解析 由题可知，B ，C 选项中的函数不是奇函数；A 选项中，函数y ＝x 3
在R 上是增加的（无极值）；D 选项中的函数既为奇函数又存在极值． 2．函数f (x )＝错误!x 3
－4x ＋4的极大值为( ） A 。

28
3 B ．6 C 。

错误! D ．7
答案 A
解析 f ′(x )＝x 2
－4＝(x ＋2）（x －2），
f (x ）在（－∞，－2)上是增加的，在（－2,2）上是减少的，
在（2，＋∞)上是增加的，
所以f （x ）的极大值为f (－2)＝283
.
3．已知函数f （x )＝x 3
＋ax 2
＋（a ＋6）x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（－1，2） B ．（－∞,－3)∪(6，＋∞） C ．(－3，6) D ．(－∞，－1）∪（2,＋∞)
答案 B
解析 ∵f ′（x ）＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6), 由已知可得f ′(x ）＝0有两个不相等的实根． ∴Δ＝4a 2
－4×3（a ＋6）>0，即a 2
－3a －18〉0.
∴a>6或a<－3。

4．(2017·哈尔滨调研)函数f（x)＝错误!x2－ln x的最小值为( )
A.错误! B．1 C．0 D．不存在
答案A
解析f′（x)＝x－错误!＝错误!且x>0.
令f′（x)>0，得x>1.
令f′（x）<0，得0〈x〈1.
∴f（x）在x＝1处取得极小值也是最小值,
且f（1）＝错误!－ln 1＝错误!.
5．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2）等于（) A．11或18 B．11
C．18 D．17或18
答案C
解析∵函数f(x）＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，∴f（1)＝10，且f′(1）＝0，又f′(x)＝3x2＋2ax＋b,
∴错误!解得错误!或错误!
而当错误!时，函数在x＝1处无极值,故舍去．
∴f（x)＝x3＋4x2－11x＋16，∴f（2)＝18.
6．(2017·河北三市二联）若函数f（x)＝错误!x3－错误!x2＋2bx在区间［－3，1］上不是单调函数，则函数f(x)在R上的极小值为( )
A．2b－错误! B.错误!b－错误!
C．0 D．b2－错误!b3
答案A
解析f′(x)＝x2－（2＋b)x＋2b＝（x－b)(x－2），
∵函数f(x)在区间［－3，1］上不是单调函数，
∴－3〈b<1,则由f′（x）〉0,得x〈b或x〉2，
由f′(x）<0，得b〈x〈2，
∴函数f(x）的极小值为f（2)＝2b－错误!.
7．(2017·肇庆模拟）已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，若x＝－3是函数f(x）
的一个极值点,则实数a＝______.
答案5
解析f′(x)＝3x2＋2ax＋3。

由题意知，－3是方程f′（x)＝0的根，
所以3×（－3)2＋2a×（－3）＋3＝0，解得a＝5。

经检验，当a＝5时，f（x)在x＝－3处取得极值．
8．函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a〉0）的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是________．
答案错误!
解析f′(x）＝3x2－3a2＝3(x＋a）（x－a)，
由f′(x）＝0得x＝±a，
当－a<x〈a时,f′（x）〈0,函数是减少的；
当x〉a或x<－a时,f′（x）>0，函数是增加的，
∴f（x)的极大值为f（－a）,极小值为f(a)．
∴f(－a）＝－a3＋3a3＋a〉0且f(a）＝a3－3a3＋a〈0，
解得a〉错误!。

∴a的取值范围是错误!.
9．函数f(x)＝x e－x,x∈［0，4］的最大值是________．
答案1 e
解析f′(x）＝e－x－x·e－x＝e－x(1－x)，令f′（x)＝0，得x＝1.
又f（0）＝0，f(4)＝错误!，f(1）＝e－1＝错误!，
∴f（1）＝错误!为最大值．
10．已知函数f(x）＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1，1],则f（m）的最小值为________．
答案－4
解析f′(x)＝－3x2＋2ax,由f（x）在x＝2处取得极值知f′（2）＝0,即－3×4＋2a×2＝0，故a＝3。

由此可得f(x）＝－x3＋3x2－4.
f′(x)＝－3x2＋6x，由此可得f（x)在（－1，0）上是减少的，在(0,1)上是增加的，
∴当m∈［－1，1]时，f(m）min＝f(0）＝－4。

11．(2017·北京）已知函数f(x)＝e x cos x－x.
（1)求曲线y＝f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
（2)求函数f（x）在区间错误!上的最大值和最小值．
解（1）因为f(x)＝e x cos x－x,
所以f′(x）＝e x（cos x－sin x)－1，所以f′(0）＝0，
又因为f(0）＝1，
所以曲线y＝f（x)在点（0,f(0））处的切线方程为y－1＝0.
（2）设h(x）＝e x（cos x－sin x)－1，则
h′（x）＝e x（cos x－sin x－sin x－cos x）＝－2e x sin x.
当x∈错误!时，h′(x）＜0，
所以h（x）在区间错误!上是减少的．
所以对任意x∈错误!有h（x)＜h(0）＝0，
即f′（x)＜0。

所以函数f（x)在区间错误!上是减少的．
因此f（x)在区间错误!上的最大值为f(0）＝1，最小值为f错误!＝－错误!。

12．（2018·武汉质检）已知函数f(x）＝错误!
（1）求f（x）在区间(－∞，1）上的极小值和极大值点;
(2）求f（x）在［－1，e](e为自然对数的底数)上的最大值．
解(1）当x<1时，f′（x)＝－3x2＋2x＝－x(3x－2)，
令f′(x）＝0，解得x＝0或x＝错误!.
当x变化时，f′(x）,f(x）的变化情况如下表：
故当x＝0时，函数f（x）取得极小值f（0)＝0，
函数f(x）的极大值点为x＝错误!。

（2)①当－1≤x＜1时,由(1）知，函数f(x)在[－1，0］和错误!上是减少的,在错误!上是增加的．
因为f(－1）＝2,f错误!＝错误!,f（0)＝0，
所以f（x)在[－1,1)上的最大值为2.
②当1≤x≤e时,f(x)＝a ln x,
当a≤0时，f（x)≤0；
当a〉0时，f（x）在[1，e］上是增加的，
则f(x)在[1，e］上的最大值为f（e）＝a.
故当a≥2时，f（x)在［－1，e]上的最大值为a；
当a<2时，f(x)在［－1，e]上的最大值为2。

13．已知函数f（x)＝错误!x3－x2－x＋m在［0,1]上的最小值为错误!，则实数m的值为________．
答案2
解析由f（x)＝错误!x3－x2－x＋m，
可得f′（x）＝x2－2x－1，
令x2－2x－1＝0，可得x＝1±错误!.
当x∈(1－错误!，1＋错误!）时，f′（x)<0，
即函数f（x)在(1－错误!，1＋错误!)上是减少的，
即f（x）在[0,1］上是减少的，故f(x）在［0，1]上的最小值为f（1）,所以错误!－1－1＋m＝错误!，解得m＝2。

14．(2018·贵州质检）设直线x＝t与函数h(x）＝x2,g(x）＝ln x的图像分别交于点M，N，则当｜MN｜最小时，t的值为________．
答案
2 2
解析由已知条件可得|MN｜＝t2－ln t，
设f (t )＝t 2
－ln t （t >0），则f ′(t ）＝2t －错误!, 令f ′(t ）＝0，得t ＝错误!,
当0〈t <错误!时，f ′(t ）<0,当t >错误!时，f ′（t )>0, ∴当t ＝错误!时，f （t )取得最小值．
15．若函数f (x ）＝m ln x ＋(m －1)x 存在最大值M ,且M 〉0，则实数m 的取值范围是_______． 答案 ⎝
⎛⎭
⎪⎫
e 1＋e ，1 解析
f ′(x )＝错误!＋(m －1)＝错误!（x 〉0)，
当m ≤0或m ≥1时，f (x )在（0，＋∞)上单调，此时函数f （x ）无最大值．当0〈m <1时，令f ′(x )＝0，则x ＝错误!，∴当0〈m <1时,f （x ）在错误!上是增加的,在错误!上是减少的，∴当0〈m <1时，函数f (x ）有最大值,最大值M ＝f 错误!＝m ln 错误!－m 。

∵M >0，∴m ln 错误!－m >0，解得m 〉错误!， ∴m 的取值范围是错误!.
16．已知函数f (x )＝错误!x 2
＋mx ＋ln x 。

（1)若m ＝－3，讨论函数f （x ）的单调性，并写出单调区间;
（2）若f (x )有两个极值点x 1，x 2(x 1〈x 2），且m ≤－错误!,求f (x 1）－f (x 2）的最小值．
解 （1)当m ＝－3时，f （x ）＝错误!x 2
－3x ＋ln x , 由题意知x >0，且f ′（x ）＝x －3＋错误!＝错误!， 令f ′（x ）>0,得0〈x 〈错误!或x 〉错误!， 令f ′（x )〈0，得错误!<x <错误!。

因此函数f （x )在错误!上是减少的，在错误!和错误!上是增加的．
(2)由题意知,f ′（x )＝x ＋m ＋错误!＝错误!，则易知x 1，x 2为x 2
＋mx ＋1＝0的两个根，且x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝1, 所以f (x 1）－f (x 2）
＝错误!x 错误!＋mx 1＋ln x 1－错误!
＝错误!（x 错误!－x 错误!)＋m （x 1－x 2）＋ln x 1－ln x 2
＝1
2
（x 错误!－x 错误!)－（x 1＋x 2）（x 1－x 2）＋ln x 1－ln x 2 ＝ln 错误!－错误!（x 错误!－x 错误!) ＝ln 错误!－错误!·错误! ＝ln 错误!－错误!错误!.
记错误!＝t ,由x 1〈x 2且m ≤－错误!知0〈t 〈1， 且f (x 1)－f （x 2)＝ln t －错误!错误!，
记φ（t ）＝ln t －错误!错误!（t ∈(0，1）), 则φ′(t ）＝错误!＝错误!<0， 故φ(t ）在（0,1)上是减少的． 由m ≤－错误!知(x 1＋x 2)2
≥错误!，
从而x 2
，1＋x 错误!≥错误!，即错误!≥错误!， 故t ＋1
t
≥错误!,结合0〈t 〈1，解得0<t ≤错误!，
从而φ（t ）的最小值为φ错误!＝错误!－ln 2， 即f (x 1）－f （x 2）的最小值为错误!－ln 2。