2005考研数一真题及解析

2005考研数一真题及解析
2005年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)
(1)曲线1
22+=x x y 的斜渐近线方程为 _____________.
(2)微分方程x x y y x ln 2=+'满足9
1)1(-=y 的解为____________.
(3)设函数181261),,(222z y x z y x u +++=,单位向量}1,1,1{31
=n ,则
)
3,2,1(n
u
∂∂=.________.
(4)设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域,
∑
是
Ω
的整个边界的外侧,则
⎰⎰∑
=++zdxdy ydzdx xdydz ____________.
(5)设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵
123(,,)=A ααα,123123123(,24,39)=++++++B ααααααααα,
如果1=A ,那么=B .
(6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X , 再从X ,,2,1 中任取一个数,记为Y , 则}2{=Y P =____________.
二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(7)设函数n n n x x f 31lim )(+=∞
→,则()f x 在),(+∞-∞内
(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点
(C)恰有两个不可导点 (D)至少有三个不可导点
(8)设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数,""N M ⇔表示"M 的充分必要条件是",N 则必有
(A)()F x 是偶函数()f x ⇔是奇函数 (B)()F x 是奇函数
()f x ⇔是偶函数
(C)()F x 是周期函数()f x ⇔是周期函数 (D)()F x 是单调函数
()f x ⇔是单调函数
(9)设函数⎰+-+-++=y
x y x dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数,ψ 具有一阶导数,则必有
(A)2222y u
x u ∂∂-=∂∂
(B)2222y
u x u ∂∂=∂∂
(C)222y
u y x u ∂∂=∂∂∂
(D)2
22x u
y x u ∂∂=∂∂∂ (10)设有三元方程ln e 1xz xy z y -+=,根据隐函数存在定理,存在点
(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程
(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(,)z z x y = (B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)z z x y = (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)y y x z =和(,)z z x y = (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)y y x z =
(C))1(~)1(--n t S
X
n (D)
2
122
(1)~(1,1)n
i
i n X F n X
=--∑
三 、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分11分)
设}0,0,2),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ,]1[22y x ++表示不超过
221y x ++的最大整数. 计算二重积分⎰⎰++D
dxdy y x xy .
]1[22
(16)(本题满分12分) 求幂级数∑∞
=--+
-121))
12(1
1()1(n n n x n n 的收敛区间与和函数()f x .
(17)(本题满分11分)
如图,曲线C 的方程为()y f x =,点(3,2)是它的一个拐点,直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数()f x 具有三阶连续导数,计算定积分
⎰'''+3
2
.
)()(dx x f x x
(18)(本题满分12分)
已知函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(0)0,(1)1f f ==. 证明:
(1)存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f .
(2)存在两个不同的点)1,0(,∈ζη,使得.1)()(=''ζηf f
(19)(本题满分12分)
设函数)(y ϕ具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上,曲线积分24
()22L
y dx xydy
x y φ++⎰的值恒为同一常数.
(1)证明:对右半平面0x >内的任意分段光滑简单闭曲线,C 有
24
()202C
y dx xydy
x y
φ+=+⎰
.
(2)求函数)(y ϕ的表达式.
(20)(本题满分9分)
已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2.
(1)求a 的值；
(2)求正交变换x y =Q ,把),,(321x x x f 化成标准形. (3)求方程),,(321x x x f =0的解.
(21)(本题满分9分)
已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零,矩阵
12324636k ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
B (k 为常数),且=AB O ,求线性方程组0x =A 的通解.
(22)(本题满分9分)
设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y =
10
01,02x y x <<<<其它
求:(1)(,)X Y 的边缘概率密度)(),(y f x f Y X . (2)Y X Z -=2的概率密度).(z f Z
(23)(本题满分9分)
设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X 为样本均值,记.,,2,1,n i X X Y i i =-=
求:(1)i Y 的方差n i DY i ,,2,1, =. (2)1Y 与n Y 的协方差1Cov(,).n Y Y
2005年考研数学一真题解析
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）曲线
1
22
+=
x x y 的斜渐近线方程为 .4
1
21-=x y 【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.
【详解】 因为a=
2
1
2lim )(lim 22=+=∞→∞→x x x x x f x x ，
[]4
1)12(2lim )(lim -=+-=-=∞
→∞
→x x ax x f b x x ， 于是所求斜渐近线方程为.4
1
21-=x y （2）微分方程x x y y x ln 2=+'满足9
1)1(-=y 的解为.9
1ln 31x x x y -=
.
【分析】直接套用一阶线性微分方程
)
()(x Q y x P y =+'的通解公式：
⎰+⎰
⎰
=-]
)([)()(C dx e x Q e y dx
x P dx
x P ，
再由初始条件确定任意常数即可.
【详解】 原方程等价为
x y x
y ln 2
=+
'，
于是通解为 ⎰⎰+⋅=
+⎰⋅⎰=-
]ln [1]ln [2
22
2
C xdx x x
C dx e
x e
y dx
x dx
x
=2
1
91ln 31x
C x x x +-， 由91)1(-=y 得C=0，故所求解为.9
1
ln 31x x x y -= （3）设函数
181261),,(2
22z y x z y x u +
++=，单位向量
}
1,1,1{3
1=n ，则)
3,2,1(n
u
∂∂
=3
3.
【分析】 函数u(x,y,z)沿单位向量
γ
βαcos ,cos ,{cos =n
}的方向导数为：
γβαcos cos cos z
u y u x u n u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂
因此，本题直接用上述公式即可.
【详解】 因为 3x x u =∂∂，6y y u =∂∂，9
z
z u =∂∂，于是所求方向导数为
)
3,2,1(n
u
∂∂
=.
333
131313131
3
1=⋅+⋅+⋅
（4）设
Ω
是由锥面
2
2y x z +=与半球面
2
22y x R z --=围成的空间区域，∑是Ω的整个边界的
外侧，则⎰⎰∑
=++zdxdy ydzdx xdydz 3)2
21(2R -
π.
【分析】本题∑是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可.
【详解】 ⎰⎰∑
=++zdxdy ydzdx xdydz ⎰⎰⎰Ω
dxdydz 3
=.)2
21(2sin 3320
40
2
R d d d R
⎰⎰⎰-
=π
π
πθϕϕρρ
（5）设3
2
1
,,αα
α均为3维列向量，记矩阵
)
,,(32
1
αα
α=A ，
)
93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ，
如果1=A ，那么=B 2 .
【分析】 将B 写成用A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.
【详解】 由题设，有
)
93,42,(321321321ααααααααα++++++=B
=⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡941321111),,(321ααα，
于是有 .2219
41321
1
11=⨯=⋅=A B
（6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从X ,,2,1 中任取一个数，记为Y, 则
}
2{=Y P = 48
13 . 【分析】 本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.
【
详
解
】
}
2{=Y P =}12{}1{===X Y P X P +}22{}2{===X Y P X P
+}32{}3{===X Y P X P +}42{}4{===X Y P X P
=.48
13
)4131210(41=+++⨯ 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（7）设函数n
n
n x
x f 31lim
)(+=∞
→，则f(x)在),(+∞-∞内
(A)
处
处可
导
.
(B) 恰有一个不可导点.
(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ C ]
【分析】 先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形.
【详解】 当1<x 时，1
1lim
)(3=+=∞
→n
n
n x
x f ；
当1=x 时，1
11lim
)(=+=∞
→n
n x f ；
当1>x 时，.
)11(
lim )(3
133
x x
x
x f n
n
n =+=∞
→
即
.1,
11,1,,1,)(33>≤≤--<⎪⎩
⎪
⎨⎧-=x x x x x x f 可见f(x)仅在x=1±时不
可导，故应选(C).
（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有
(A) F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数. (C) F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数.
(D) F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数. [ A ]
【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.
【详解】 方法一：任一原函数可表示为⎰+=x C dt t f x F 0
)()(，且).()(x f x F ='
当F(x)为偶函数时，有
)
()(x F x F =-，于是
)
()1()(x F x F '=-⋅-'，即 )()(x f x f =--，也即)()(x f x f -=-，可
见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则⎰x dt t f 0
)(为偶函数，从而⎰+=x
C dt t f x F 0
)()(为偶函数，
可见(A)为正确选项.
方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除
(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=2
2
1x , 排除(D); 故应选(A).
（9）设函数⎰
+-+-++=y
x y
x dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中
函数ϕ具有二阶导数，ψ 具有一阶导数，则必有
(A) 2222y
u
x u ∂∂-=∂∂. （B ）
2222y
u
x u ∂∂=∂∂.
(C)
2
22y u
y x u ∂∂=∂∂∂. (D)
2
22x u
y x u ∂∂=∂∂∂.
[ B ]
【分析】 先分别求出2
2x u
∂∂、
2
2y u ∂∂、
y
x u ∂∂∂2，再比
较答案即可.
【详解】 因为)()()()(y x y x y x y x x
u
--++-'++'=∂∂ψψϕϕ，
)()()()(y x y x y x y x y
u
-+++-'-+'=∂∂ψψϕϕ，
于是 )()()()(2
2y x y x y x y x x
u
-'-+'+-''++''=∂∂ψψϕϕ， )()()()(2y x y x y x y x y
x u
-'++'+-''-+''=∂∂∂ψψϕϕ，
)()()()(2
2y x y x y x y x y
u
-'-+'+-''++''=∂∂ψψϕϕ，
可见有
2
222y u
x u ∂∂=∂∂，应选(B).
（10）设有三元方程1
ln =+-xz
e
y z xy ，根据隐函
数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此
邻域内该方程
(A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y).
(B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y).
(C) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y).
(D) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z).
[ D ]
【分析】 本题考查隐函数存在定理，只需令F(x,y,z)=1
ln -+-xz
e
y z xy , 分别求出三个偏导数
y
x z F F F ,,，再考虑在点(0,1,1)处哪个偏导数不为0，
则可确定相应的隐函数.
【详解】 令F(x,y,z)=1
ln -+-xz
e
y z xy , 则
z e y F xz
x
+='， y
z x F y
-='，x e y F xz
z
+-='ln ， 且 2)1,1,0(='x
F ，1)1,1,0(-='y
F ，0)1,1,0(='z
F . 由此可确定相
应的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). 故应选(D).
（11）设2
1
,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，
对应的特征向量分别为2
1
,αα，则1
α，)
(21
αα
+A 线性无
关的充分必要条件是
(A) 0
1
≠λ
. (B) 0
2
≠λ
. (C) 0
1
=λ
.
(D) 0
2
=λ
. [ B ]
【分析】 讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可.
【详解】 方法一：令 0
)(2121
1
=++ααα
A k k ，则 0
2221121
1
=++αλαλα
k k k ， 0
)(2221121
=++αλαλk k k
.
由于2
1
,αα线性无关，于是有
⎩⎨
⎧==+.
0,
022121λλk k k
当0
2
≠λ
时，显然有0
,021
==k k
，此时1
α，
)
(21αα+A 线性无关；反过来，若1
α，)
(21
αα
+A 线性无
关，则必然有0
2
≠λ
(,否则，1
α与)
(21
αα
+A =1
1
αλ线性相关)，故应选(B).
方
法
二
：
由
于
⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡=+=+21212211121101],[],[)](,[λλαααλαλααααA ，
可见1
α，)
(21
αα
+A 线性无关的充要条件是
.
00122
1≠=λλλ故应选(B).
（12）设A 为n （2≥n ）阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B, *
*
,B A 分别为A,B 的
伴随矩阵，则
(A) 交换*
A 的第1列与第2列得*
B . (B)
交换*
A 的第1行与第2行得*
B .
(C) 交换*
A 的第1列与第2列得*
B -. (D)
交换*
A 的第1行与第2行得*
B -.
[ C ]
【分析】 本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可.
【详解】 由题设，存在初等矩阵12
E （交换n
阶单位矩阵的第1行与第2行所得），使得
B
A E =12，于是 12
*1
12
12*12***12*
)(E A E E A E A A E B
-=⋅===-，即
*
12
*
B E
A -=,可见应选(C).
（13）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则
(A) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1
(C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1, b=0.4 [ B ] 【分析】 首先所有概率求和为1，可得a+b=0.5, 其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定a,b 的取值.
【详解】 由题设，知 a+b=0.5 又事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，于是有 }1{}0{}1,0{=+===+=Y X P X P Y X X P ，
即 a=))(4.0(b a a ++, 由此可解得 a=0.4, b=0.1, 故应选(B).
（14）设)
2(,,,2
1
≥n X X
X n 为来自总体N(0,1)的
简单随机样本，X 为样本均值，2
S 为样本方差，则
(A) )1,0(~N X n (B) ).
(~22
n nS χ
(C)
)1(~)1(--n t S
X
n (D)
).
1,1(~)1(2
22
1--∑=n F X
X n n
i i
[ D ]
【分析】 利用正态总体抽样分布的性质和
2
χ分布、t 分布及F 分布的定义进行讨论即可. 【详解】 由正态总体抽样分布的性质知，
)1,0(~10
N X n n
X =-，可排除(A);
又
)1(~0
-=-n t S
X
n n
S X ，可排除(C); 而
)1(~)1(1
)1(222
2
--=-n S n S n χ，不能断定(B)是正确选项.
因
为
∑=-n
i i n X X 2222
21
)
1(~),1(~χχ，且
∑=-n i i n X X 2
222
21
)
1(~)1(~χχ与相互独立，于是
).
1,1(~)1(1
12
22
12
22
1--=
-∑∑==n F X
X n n X
X n
i i
n
i i
故应选(D).
三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （15）（本题满分11分） 设}0,0,2),{(2
2
≥≥≤+=y x y x y x D ，]
1[22
y x
++表示不超过
2
21y x ++的最大整数. 计算二重积分⎰⎰++D
dxdy y x
xy .
]1[22
【分析】 首先应设法去掉取整函数符号，为此将积分区域分为两部分即可.
【详解】 令 }
0,0,10),{(221
≥≥<+≤=y x y x y x D ， }
0,0,21),{(222
≥≥≤+≤=y x y x y x D .
则 ⎰⎰++D
dxdy
y x
xy ]1[22
=⎰⎰⎰⎰+1
2
2D D xydxdy xydxdy
dr
r d dr r d ⎰⎰⎰⎰+=20
2
1
31
3
20
cos sin 2cos sin π
π
θθθθθθ
=.8
7
4381=+ （16）（本题满分12分） 求幂级数∑∞
=--+
-121
))
12(1
1()
1(n n
n x n n 的收敛区间与和函
数f(x).
【分析】 先求收敛半径，进而可确定收敛
区间. 而和函数可利用逐项求导得到.
【详解】 因为11
)12()
12()12)(1(1)12)(1(lim =+--⨯+++++∞
→n n n n n n
n n n ，所以当2
1
x
<时，原级数绝对收敛，当2
1
x
>时，原级数发
散，因此原级数的收敛半径为1，收敛区间为（－1,1） 记 121
(1)(),(1,1)2(21)n n
n S x x x n n -∞
=-=∈--∑，
则
121
1(1)(),(1,1)21
n n n S x x x n -∞
-=-'=∈--∑，
1222
1
1
()(1),(1,1)1n n n S x x x x ∞
--=''=-=
∈-+∑.
由于 (0)0,(0)0,
S S '==
所以
2
01
()()arctan ,1x
x
S x S t dt dt x t '''===+⎰⎰
2001
()()arctan arctan ln(1).
2
x x S x S t dt tdt x x x '===-+⎰⎰
又 2
1
221
(1)
,(1,1),1n n
n x x
x x
∞
-=-=∈-+∑
从而
2
2
()2()1x f x S x x =+
+
2
2
2
2arctan ln(1),(1,1).
1x x x x x x =-++∈-+
（17）（本题满分11分）
如图，曲线C 的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线1
l 与2
l 分别是曲线C 在点(0,0)
与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)
具有三阶连续导数，计算定积分⎰'''+30
2
.
)()(dx x f x x
【分析】 题设图形相当于已知f(x)在x=0的函数值与导数值，在x=3处的函数值及一阶、二阶导数值.
【详解】 由题设图形知，f(0)=0, 2)0(='f ; f(3)=2, .0)3(,2)3(=''-='f f
由分部积分，知
⎰⎰⎰
+''-''+=''+='''+3
30
30
2230
2)12)(()
()()()()()(dx
x x f x f x x x f d x x dx x f x x
=dx
x f x f x x f d x ⎰⎰'+'+-='+-3
30
30
)(2)
()12()()12(
=.20)]0()3([216=-+f f （18）（本题满分12分）
已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明： （I ）存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f ；
（II ）存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f
【分析】 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已
得结论.
【详解】 （I ） 令x x f x F +-=1)()(，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在),1,0(∈ξ 使得0)(=ξF ，即ξξ-=1)(f . （II ） 在],0[ξ和]1,[ξ上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点)1,(),,0(ξζξη∈∈，使得0
)0()()(--=
'ξξηf f f ，ξ
ξζ--=
'1)()1()(f f f
于是 .1111)(1)()()(=-⋅-=--⋅=
''ξ
ξ
ξξξξξξζηf f f f
（19）（本题满分12分）
设函数)(y ϕ具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分
⎰
++L
y x xydy
dx y 4
222)(ϕ的值恒为同一常数.
（I ）证明：对右半平面x>0内的任意分段光
滑简单闭曲线C ，有022)(4
2
=++⎰C
y
x
xydy
dx y ϕ； （II ）求函数)(y ϕ的表达式.
【分析】 证明（I ）的关键是如何将封闭曲线C 与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线相联系，这可利用曲线积分的可加性将C 进行分解讨论；而（II ）中求)(y ϕ的表达式，显然应用积分与路径无关即可.
【详解】 （I ）
1
l
l 2
C
o X
l 3
如图，将C 分解为：2
1
l l
C +=，另作一条曲线3
l
围绕原点且与C 相接，则
=++⎰C
y
x
xydy
dx y 4
2
22)(ϕ-
++⎰+3
14
222)(l l y x xydy
dx y ϕ0
22)(3
24
2=++⎰
+l l y x xydy
dx y ϕ.
（II ） 设2
4
24
()
2,22y xy
P Q x
y
x y ϕ==++，,P Q 在单连通区域0
x >内具有一阶连续偏导数，由（Ⅰ）知，曲线积分
24
()22L
y dx xydy
x y ϕ++⎰
在该区域内与路径无关，故当0x >时，
总有Q P x y
∂∂=∂∂. 2425
242242
2(2)4242,(2)(2)Q y x y x xy x y y x x y x y ∂+--+==∂++
①
Y
243243
242242
()(2)4()2()()4().(2)(2)P y x y y y x y y y y y y x y x y ϕϕϕϕϕ'''∂+-+-==∂++ ②
比较①、②两式的右端，得
435
()2,
()4()2.
y y y y y y y ϕϕϕ'=-⎧⎨'-=⎩ 由③得2
()y y
c ϕ=-+，将()y ϕ代入④得
535242,
y cy y -=
所以0c =，从而2
().y y ϕ=-
（20）（本题满分9分） 已知二次型2
12
3222
1
3
2
1
)1(22)1()1(),,(x x a x x a x
a x x x f +++-+-=的秩为2.
（I ） 求a 的值；
（II ） 求正交变换Qy x =，把),,(3
2
1
x x x f 化成标
准形；
（III ） 求方程),,(3
2
1
x x x f =0的解.
【分析】 （I ）根据二次型的秩为2，可知对应矩阵的行列式为0，从而可求a 的值；（II ）是常规问题，先求出特征值、特征向量，再正交化、单位化即可找到所需正交变换； （III ）利用第二步的结果，通过标准形求解即可.
【详解】 （I ） 二次型对应矩阵为
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++-=200011011a a a a A ，
③ ④
由二次型的秩为2，知 02
0110
11=-++-=a a
a a A ，得a=0.
（II ） 这里
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=200011011A ， 可求出其特征值为
,2321===λλλ.
解 0)2(=-x A E ，得特征向量为：⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,01121αα，
解 0)0(=-x A E ，得特征向量为：
.
0113⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=α
由于2
1
,αα已经正交，直接将2
1
,αα，3
α单位化，得：
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01121,100,01121321ηηη
令[]
321
ααα
=Q ，即为所求的正交变换矩阵，由
x=Qy ，可化原二次型为标准形：
)
,,(321x x x f =.
222
22
1
y y +
（III ） 由),,(3
2
1x x x f ==
+2
22
1
22y y
0，得k
y y y
===321
,0,0（k 为任意常数）.
从而所求解为：x=Qy=[]⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000332
1
c c k k ηηηη
，其
中c 为任意常数.
（21）（本题满分9分）
已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为
零，矩阵
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=k B 63642321（k 为常数），且AB=O, 求线
性方程组Ax=0的通解.
【分析】 AB=O, 相当于告之B 的每一列均为Ax=0的解，关键问题是Ax=0的基础解系所含解向量的个数为多少，而这又转化为确定系数矩阵A 的秩.
【详解】 由AB=O 知，B 的每一列均为Ax=0的解，且.3)()(≤+B r A r
（1）若k 9≠, 则r(B)=2, 于是r(A)1≤, 显然r(A)1≥, 故r(A)=1. 可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3-r(A)=2, 矩阵B 的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，故Ax=0 的通解为：
2
121,,63321k k k k k x ⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=为任意常数.
(2) 若k=9，则r(B)=1, 从而.2)(1≤≤A r 1） 若r(A)=2, 则Ax=0的通解为：1
1,321k k x ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=为
任意常数.
2） 若r(A)=1,则Ax=0 的同解方程组为：
321=++cx bx ax ,不妨设
≠a ,则其通解为
2
121,,1001k k a c k a b k x ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=为任意常数.
（22）（本题满分9分）
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
.
,20,10,0,1),(其他x y x y x f <<<<⎩
⎨
⎧= 求：（I ） (X,Y)的边缘概率密度)
(),(y f x f Y X
；
（II ）Y X Z -=2的概率密度).
(z f
Z
【分析】 求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度.
【详解】 （I ） 关于X 的边缘概率密度
)
(x f X =⎰
+∞
∞
-dy
y x f ),(=
.,10,
0,20
其他<<⎪⎩⎪⎨⎧⎰x dy x
=.
,
10,0,2其他<<⎩
⎨
⎧x x 关于Y 的边缘概率密度
)
(y f Y =⎰
+∞
∞
-dx
y x f ),(=
.,20,
0,12
其他<<⎪⎩⎪⎨⎧⎰y dx y
=
.,
20,
0,2
1其他<<⎪⎩⎪⎨⎧-y y
（II ） 令}2{}{)(z Y X P z Z P z F Z
≤-=≤=，
1） 当0<z 时，0}2{)(=≤-=z Y X P z F Z
；
2） 当20<≤z 时，}2{)(z Y X P z F Z
≤-= =2
4
1z z -; 3) 当2≥z 时，.1}2{)(=≤-=z Y X P z F Z
即分布函数为：
.2,
20,
0,
1,41
,0)(2≥<≤<⎪⎩⎪⎨⎧-=z z z z z z F Z
故所求的概率密度为：
.,
20,
0,2
11)(其他<<⎪⎩⎪⎨⎧-=z z z f Z
（23）（本题满分9分） 设)
2(,,,2
1
>n X X
X n 为来自总体N(0,1)的简单随
机样本，X 为样本均值，记.
,,2,1,n i X X Y
i i
=-=
求：（I ） i
Y 的方差n i DY i
,,2,1, =； （II ）1
Y 与n
Y 的协方差).,(1
n
Y Y Cov
【分析】 先将i
Y 表示为相互独立的随机变量
求和，再用方差的性质进行计算即可；求1
Y 与n
Y 的
协方差),(1
n
Y Y Cov ，本质上还是数学期望的计算，同
样应注意利用数学期望的运算性质.
【详解】 由题设，知)
2(,,,2
1
>n X X
X n 相互独立，
且
)
,,2,1(1,0n i DX EX i i ===，.0=X E
（I ）
∑≠--=-=n
i
j j i i i X n X n D X X D DY ]
1)11[()(
=∑≠+-n
i
j j
i DX n
DX n 2
21)11(
=
.
1)1(1)1(2
22n n n n n n -=-⋅+-
（II ） )]
)([(),(1
1
1
n n
n
EY Y
EY Y E Y Y Cov --=
=)]
)([()(1
1X X X X
E Y Y E n n
--=
=)(211
X X X X X X
X E n n
+-- =2
11
)(2)(X E X X E X
X E n
+-
=
2
2
12
1)(][20X E X D X X X E n n
j j +++-∑=
=.1
12n
n n -=+-。