江西省宜春市2019届高三数学4月模拟考试试题文(含解析)

宜春市2019届高三模拟考试试卷
数学（文科）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.集合，集合为函数的定义域，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本题首先可以根据一元二次不等式的解法求出集合，然后根据对数的相关性质求出集合，最后根据交集的相关性质即可得出结果。

【详解】由题意可知，
集合：，，解得；
集合：，解得，
综上所述，，故选D。

【点睛】本题考查了交集的相关性质以及集合的取值范围的求解，能否求出集合以及集合的取值范围是解决本题的关键，考查计算能力，是简单题。

2.已知复数，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题首先可以根据共轭复数、复数的模的相关性质以及复数得出以及的值，然后通过两者相加即可得出结果。

【详解】因为复数，
所以复数的共轭复数，，
所以，故选C。

【点睛】本题考查复数的相关性质，主要考查复数的共轭复数的计算方法以及复数的模的计算方法，考查计算能力，提高了学生对复数的理解，是简单题。

3.已知双曲线的渐近线方程为，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由双曲线的渐近线方程为，结合渐近线方程为，从而可得结果.
【详解】因为双曲线的渐近线方程为，
又渐近线方程为，所以，故选A．
【点睛】本题主要考查双曲线的方程与简单性质，以及双曲线的渐近线，属于基础题. 若双曲线方程为，则渐近线方程为.
4.在等比数列中，若，是方程的两根，则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
本题首先可以根据“、是方程的两根”计算出的值，然后通过等比数列的相关性质得出，即可计算出的值。

【详解】因为、是方程的两根，
所以根据韦达定理可知，
因为数列是等比数列，
所以，，故选B。

【点睛】本题考查等比数列的相关性质，主要考查等比数列中等比中项的灵活应用，若
，则有，考查推理能力，体现了基础性，是简单题。

5.已知向量，满足且，则向量在向量方向的投影为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
本题首先可以根据向量的运算法则将转化为，然后根据题意以及投影的相关性质即可得知、以及向量在向量方向的投影为，最后代入数据计算，即可得出结果。

【详解】设向量与向量的夹角为，则向量在向量方向的投影为，
因为，，，
所以，
即，，故选B。

【点睛】本题考查了向量的相关性质，主要考查了向量的运算法则、向量的数量积以及投影的相关性质，考查计算能力与推理能力，考查化归与转化思想，是简单题。

6.若满足，则的最小值是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
本题首先可以通过题目所给出的不等式组画出不等式组在坐标系中所表示的可行域，然后通过对目标函数进行平移即可找出可行域内使得目标函数取最小值的点为，最后将
代入目标函数中即可得出结果。

【详解】
可根据题目所给不等式组画出如图所示的平面区域，
得出、、，
再根据线性规划的相关性质对目标函数进行平移，
可知当目标函数过点时取最小值，此时，故选B。

【点睛】本题考查线性规划的相关性质，能否通过不等式组正确的画出可行域并在可行域中找出目标函数的最优解是解决本题的关键，考查数形结合思想，考查推理能力，锻炼了学生的绘图能力，是中档题。

7.已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则
A. 2
B. 4
C. 1
D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意，直观图为圆锥与三棱锥的组合体，利用几何体的体积求出r，再求出该几何体的表面积．
【详解】由题意，直观图为圆锥与三棱锥的组合体，
该几何体的体积为，．
故选：A．
【点睛】本题考查由三视图求面积、体积，考查学生的计算能力，确定直观图的形状是关键．
8.已知数列是等差数列，是正项等比数列，且
,，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本题首先可以通过、以及是正项等比数列计算出数列的通项公式，然后通过数列是等差数列、以及计算出数列的通项公式，最后通过数列的通项公式以及数列的通项公式即可计算出的值。

【详解】因为，，是正项等比数列，
所以，，，，，
因为数列是等差数列，，，
所以，，，，
所以，，，，。

所以，故选D。

【点睛】本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列通项公式的求法，考查等差中项的使用，考查推理能力与计算能力，体现了基础性，是中档题。

9.中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，蕴涵了极致的数学美和丰富的传统文化信息.现有一幅剪纸的设计图，其中的个小圆
均过正方形的中心，且内切于正方形的两邻边.若在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
通过对称性将圆阴影部分面积转化为一个小圆的面积，然后利用小圆半径表示出正方形对角线长，从而求解出正方形面积和圆的面积，作比得到概率.
【详解】由图像对称可知，原题中阴影部分面积与下图中阴影部分面积一致，则阴影部分面积为一个小圆的面积
设：，则，
正方形面积
阴影部分面积
所求概率
本题正确选项：
【点睛】本题考查几何概型中的面积型，属于基础题.
10.如图，点是抛物线的焦点，点，分别在抛物线及圆的实
线部分上运动，且始终平行于轴，则的周长的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由抛物线定义可得，从而的周长
，确定点横坐标的范围，即可得到结论．【详解】抛物线的准线，焦点，
由抛物线定义可得，
圆的圆心为，半径为4，
∴的周长，
由抛物线及圆可得交点的横坐标为2，
∴，∴，故选 C.
【点睛】本题主要考查抛物线的定义，考查抛物线与圆的位置关系，确定点横坐标的范围是关键，属于中档题.
11.设点，分别是曲线（是自然对数的底数）和直线上的动点，则，两点间距离的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
对曲线y＝xe﹣x进行求导，求出点P的坐标，分析知道，过点P直线与直线y＝x+2平行且与
曲线相切于点P，从而求出P点坐标，根据点到直线的距离进行求解即可．
【详解】∵点P是曲线y＝xe﹣x上的任意一点，和直线y＝x+3上的动点Q，
求P，Q两点间的距离的最小值，就是求出曲线y＝xe﹣x上与直线y＝x+3平行的切线与直线y ＝x+3之间的距离．
由y′＝（1﹣x）e﹣x，令y′＝（1﹣x）e﹣x＝1，解得x＝0，
当x＝0，y＝0时，点P（0，0），
P，Q两点间的距离的最小值，即为点P（0，0）到直线y＝x+3的距离，
∴d min＝.
故选：B.
【点睛】此题主要考查导数研究曲线上某点的切线方程以及点到直线的距离公式，利用了导数与斜率的关系，这是高考常考的知识点，是基础题．
12.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数的零点个数（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
本题首先可以对函数的解析式进行分析，根据时函数的解析式推导出
、、等区间的函数解析式并确定每一段区间内的函数的值域，然后将函数有零点转化为有解，通过求解以及偶函数的相关性质即可得出结果。

【详解】函数有零点即有解，即，
由题意可知，当时，，当时，，
所以当时，，此时的取值范围为；
当时，，此时的取值范围为，时，；
当时，，此时的取值范围为，时，；
当时，，此时的取值范围为，
所以当时，有两解，即当时函数有两个零点，
因为函数是定义在上的偶函数，
所以当时，也有两解，
所以函数共有四个零点，故选B。

【点睛】本题考查了函数的相关性质，主要考查分段函数的相关性质以及偶函数的相关性质，考查通过函数性质求函数解析式，考查化归与转化思想，考查函数的值域的求解，体现了综合性，是难题。

二、填空题（将答案填在答题纸上）
13.已知数列的通项公式，设其前项和为，则________．
【答案】
【解析】
【分析】
本题首先可以将数列的通项公式化简为，然后求出数列的前项和
，最后代入，即可得出结果。

【详解】因为数列的通项公式，
所以数列的前项和，
所以，故答案为。

【点睛】本题主要考查裂项相消法求数列的和，属于中档题。

裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）
；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
14.已知函数，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】
本题首先可以将以及代入到函数中，得到以及
的值，然后两者相加并通过三角函数诱导公式进行化简即可得出结果。

【详解】因为函数，
所以，
所以,
所以，
综上所述，答案为2。

【点睛】本题考查了函数值的求法，考查了化归与转化思想，考查了计算能力，考查的公式有，是简单题。

15.直线与圆交于两点，，当最大时，
的最小值为_____．
【答案】
【解析】
当最大时，即直线过圆心，
所以，即，
所以
16.在三棱锥中，平面平面，是边长为的等边三角形，其中
，则该三棱锥外接球的表面积为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
本题首先可以通过题意画出图像，然后通过三棱锥的图像性质以及三棱锥的外接球的相关性质来确定圆心的位置，最后根据各边所满足的几何关系列出算式，即可得出结果。

【详解】
如图所示，作中点，连接、，在上作三角形的中心，过点作平面的垂线，在垂线上取一点，使得。

因为三棱锥底面是一个边长为的等边三角形，为三角形的中心，
所以三棱锥的外接球的球心在过点的平面的垂线上，
因为，、两点在三棱锥的外接球的球面上，所以点即为球心，
因为平面平面，，为中点，所以平面
，，，
，
设球的半径为，则有，，
，即，解得，
故表面积为。

【点睛】本题考查三棱锥的相关性质，主要考查三棱锥的外接球的相关性质，考查如何通过三棱锥的几何特征来确定三棱锥的外接球与半径，考查推理能力，考查化归与转化思想，是难题。

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.在中，角的对边分别是，.
（1）求角的大小；
（2）为边上的一点，且满足，锐角三角形面积为，求的长. 【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
(1)本题首先可以根据正弦定理将转化为，然后通过两
角和的正弦公式将转化为，最后通过角的取值范围即可得出结果；
(2)本题首先可以根据解三角形面积公式以及锐角三角形的面积为计算出并
求出的值，然后在三角形中通过余弦定理以及正弦定理计算出的值以及的值，最后在三角形中通过正弦定理即可计算出的值。

【详解】（1）因为，所以，
解得，所以，
因为，所以，，解得。

（2）因为锐角三角形的面积为，
所以，，
因为三角形为锐角三角形，所以，
在三角形中，由余弦定理可得：
，所以，
在三角形中，，所以，
在三角形中，，解得。

【点睛】本题考查解三角形的相关性质，主要考查解三角形的相关公式的灵活使用，考查推理能力与计算能力，是中档题。

18.随着经济的发展，个人收入的提高，自2019年1月1日起，个人所得税起征点和税率的调整.调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除元后的余额为应纳税所得额，依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表:
免征额免征额
税率（））
不超过元部分 元部分
超过
元至
元的
元至
超过元至
元
的 元至
元的
某税务部门在某公式利用分层抽样方法抽取2019年3月个不同层次员工的税前收入，并
制成下面的频数分布表：
（1）先从收入在及
的人群中按分层抽样抽取人，则收入在及
的人群中分别抽取多少人？
（2）在从（1）中抽取的
人中选人作为新纳税法知识宣讲员，求两个宣讲员不全是同一收入人群的概率. 【答案】(1) 3人，
4人. (2)
【解析】 【分析】
(1)本题根据分层抽样的相关性质即可得出结果；
(2)本题首先可以列出所有的可能情况数目，然后列出满足题意的所有可能情况的数目，最后通过古典概型的概率计算公式即可得出结果。

【详解】（1）由频数分布表可知从及
的人群中按分层抽样抽取7人，
其中
占人，
中占人。

（2）由（1）知，
占人，分别记为
，
中占人分别记为
，再从这人中选人的所有组合有：
共种情况，
其中不在同一收入人群的有，共种，所以所求概率为。

【点睛】本题考查分层抽样的相关性质以及古典概型的概率计算，考查分层抽样以及古典概型的概率计算在实际问题中的应用，考查学生从题目中提取所需信息的能力，是中档题。

19.如图，四棱锥中，菱形所在的平面，是的中点，是
的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，求三棱锥的体积.
【答案】(1)见证明；(2)
【解析】
【分析】
(1)本题首先可以通过菱形的相关性质证明出，然后通过菱形所在的平面证明出，最后通过线面垂直的相关性质即可得出结果；
(2)可以将三角形当成三棱锥的底面，将当成三棱锥的高，最后通过三棱锥的体积计算公式即可得出结果。

【详解】（1）证明：连接，
因为底面为菱形，，所以为正三角形，
因为是的中点，所以，
因为，所以，
因平面，平面，所以，
又因为，所以平面。

（2）,则，，
所以。

【点睛】本题考查立体几何的相关性质，主要考查线面垂直的证明以及三棱锥体积的求法，可以通过证明平面外一条直线垂直平面内的两条相交直线来证明线面垂直，考查推理能力，是中档题。

20.已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，，分别为椭圆的上、下顶点，点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆的另一交点分别为，证明：直线过定点.
【答案】(1) (2)见证明
【解析】
【分析】
(1)可根据椭圆离心率为、椭圆过点、椭圆三者之间的关系列出算式，通过计算即可得出结果；
(2)首先根据椭圆性质可得两点坐标，并写出直线的方程以及直线的方程，然后通过直线方程与椭圆方程联立即可得出两点的横纵坐标，然后利用椭圆的对称性设出定点坐标，通过直线的斜率等于直线的斜率即可列出方程并通过计算得出结果。

【详解】(1)由题意知，解得，所以椭圆的方程为。

(2)易知、，则直线的方程为，直线的方程为.
联立，得，于是，，
同理可得，，
又由点及椭圆的对称性可知定点在轴上，
设为，则直线
的斜率，直线的斜率，令，则，化简得，解得，所以直线过定点。

【点睛】本题考查圆锥曲线的相关性质，主要考查椭圆的相关性质，考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆与直线的相关性质，考查化归与转化思想，考查方程思想，考查推理能力与计算能力，是难题。

21.已知函数.
（1）设是的极值点，求实数的值，并求的单调区间；
（2）当时，求证：.
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题意，求得函数的导数，由是函数的极值点，解得，又由，进而得到函数的单调区间；
（2）由（1），进而得到函数的单调性和最小值
，令
，利用导数求得在上的单调性，即可作出证明. 【详解】（1）由题意，函数的定义域为，
又由，且是函数的极值点，
所以，解得，
又时，在上，是增函数，且，
所以，得，，得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）由（1）知因为，在上，是增函数，
又（且当自变量逐渐趋向于时，趋向于），
所以，，使得，
所以，即，
在上，，函数是减函数，
在上，，函数是增函数，
所以，当时，取得极小值，也是最小值，
所以，
令，
则，
当时，，函数单调递减，所以，
即成立，
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，利用函数的最值，从而得到证明；有时也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数）以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为. （1）求曲线的极坐标方程；
（2）若直线与直线交于点，与曲线交于两点，且，求
的值
【答案】（1）（2）【解析】
试题分析：（1）根据极值互化的公式得到圆的极坐标方程；（2
）
，，故得到结果。

解析：
（1）∵，∴，故曲线的极坐标方程为. （2）将代入得.
将代入，
得，则，则，∴.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数
（1）若，求不等式的解集；
（2）若，当时都有，求实数的取值范围.
【答案】(1)或 (2)
【解析】
【分析】
(1)
本题首先可以根据函数解析式将函数变形为分段函数，然后求出函数在每一段区间上满足的解集，然后取并集，即可得出结果；
(2)可将“当时都有”转化为“在
时恒成立”，再通过二次函数性质即可得出结果。

【详解】（1）当时，
当时，，即，解得；
当时，，即，解得；
当时，，即，解得，
所以，原不等式的解集为或。

（2）若，当时，
因为当时，成立，
所以，
即在时恒成立，
令，，
所以，所以。

【点睛】本题考查不等式的相关性质，主要考查含绝对值的函数的化简以及不等式恒成立问题的求解，含绝对值的函数可以通过分类讨论将其化简为分段函数，考查化归与转化思想，考查函数方程思想，是中档题。