黑龙江省大庆实验中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)

2018-2019学年黑龙江省大庆实验中学高一（上）期末
数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知集合，，则
A. B.
C. 2，3，4，
D. 2，3，
【答案】C
【解析】解：集合，
2，3，4，5，6，，
2，3，4，．
故选：C．
先分别求出集合A，B，由此能求出．
本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2. 已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：函数是定义在R上的偶函数，且时，；
．
故选：D．
根据是偶函数，即可得出，而由时，即可求出的值．考查偶函数的定义，对数的定义，以及已知函数求值的方法．
3. 已知，，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：已知，，
则
故选：C．
直接利用三角函数的定义的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的定义的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
4. 已知向量和的夹角为，，，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：
，
故选：D．
首先把原式展开，再利用数量积求值．
此题考查了数量积计算问题，属容易题．
5. 设函数，若，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：根据题意，函数，若，即，
变形可得：，
故选：A．
根据题意，由函数的解析式可得，变形可得答案．
本题考查函数解析式，涉及不等式的性质，属于基础题．
6. 函数的零点所在的区间为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：函数，在时，是连续增函数，
，
，
，
函数函数零点所在大致区间是．
故选：B．
由已知条件分别求出，，由此利用零点存在性定理能求出结果．
本题考查函数的零点所在大致区间的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质和零点存在性定理的合理运用．
7. 若函数，，则函数的图象经过怎样的变换可以得到函数的图
象
先向左平移个单位，再将横坐标缩短到原来的倍，纵坐标保持不变．
先向左平移个单位，再将横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标保持不变．
将横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位，纵坐标保持不变．
将横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位，纵坐标保持不变．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：函数先向左平移个单位，得到的图象，再将横坐标缩短到原来的倍，纵坐标保持不变，
得到：的图象，故：正确．
由于先向左平移个单位，得到的图象，再将横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标保持不变．
出现了错误．
故：错误．
函数将横坐标缩短到原来的倍，得到：的图象，再向左平移个单位，纵坐标保持不变，
得到：的图象故：正确．
将横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位，纵坐标保持不变，
后半部分出现错误．
故：错误．
故选：A．
直接利用三角函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果，主要考察先平移后伸缩或先伸缩后平移的应用．
本题考查的知识要点：三角函数图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
8. 已知函数，则函数的最小正周期为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：函数，
则函数的最小正周期为，
故选：C．
先化简函数的解析式，再结合三角函数的周期性，正弦函数的图象，得出结论．
本题主要考查三角函数的周期性，正弦函数的图象，属于基础题．
9. 已知函数且，若，则函数的单调递减区间是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：函数且，，
可得，函数且，
关于对称当时，函数是增函数，
则函数的单调递减区间是：．
故选：D．
求出a的范围，然后利用复合函数的单调性求解单调区间即可．
本题考查复合函数的应用，函数的单调性的求法，考查转化思想以及计算能力．
10. 已知函数的图象中相邻两条对称轴之间的距离为，当时，函数
取到最大值，则
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的图象关于对称
C. 函数的图象关于对称
D. 函数在上单调递减
【答案】D
【解析】解：函数的图象中相邻两条对称轴之间的距离为，
可得，可得，，则A错；
当时，函数取到最大值，可得，
即，，由，可得，．
则，
由，为最小值，
则B，C均错；
由，可得，，
即有在在上单调递减，则D正确．
故选：D．
由相邻对称轴的距离可求得周期，可判断A；由条件求得的解析式，计算，，可判断B，C；由
正弦函数的减区间，解不等式可判断D．
本题考查三角函数的图象和性质，主要是周期性、单调性和对称性的判断，考查化简运算能力，属于中档题．
11. 在三角形中，若点P满足，，则与的面积之比为
A. 1：3
B. 5：12
C. 3：4
D. 9：16
【答案】B
【解析】
解：点P满足，
由，则点P，B，C三点共线，且点P为BC的三等分点，靠近点C，
由，则点Q，B，C三点共线，且点Q为BC的四等分点，靠近点B，
又三角形：三角形：：12，
所以与的面积之比为：5：12
故选：B．
由点P满足，，及三点共线的充要条件可得：点P，B，C三点共线，且点P
为BC的三等分点，靠近点C，点Q为BC的四等分点，靠近点B，由等高的三角形面积之比等于底边之比可得解．
本题考查了平面向量基本定理及三点共线的充要条件、三角形面积公式，属中档题
12. 已知函数，若关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的
最小值是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：函数的图象如图所示，
当时，化为
，
当时，，
由于关于x的不等式恰有1个整数解，
因此其整数解为4，又，
，，
则，
不必考虑．
当时，对于，
，
解得，
只考虑，
则，
由于时，不等式的解集中含有多于一个整数解例如，0，，舍去．
可得：实数a的最小值是．
故选：A．
画出函数的图象，对b，a分类讨论，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出．
本题考查了一元二次不等式的解法、二次函数的图象，考查了分类讨论方法、数形结合方法与计算能力，属于中档题．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知向量不共线，，，若，则______
【答案】
【解析】解：，且不共线；
存在，使；
即；
；
解得．
故答案为：．
不共线，从而得出，从而由可得出，存在实数，使得，即得出
，根据平面向量基本定理即可得出，解出即可．
考查共线向量基本定理，以及平面向量基本定理．
14. 且，a的取值范围为______．
【答案】，或
【解析】解：，
当时，，故不等式成立．
当时，不等式即，，
综上，a的取值范围为，或，
故答案为：，或．
当时，，故不等式成立，当时，不等式即，
依据单调性解a的取值范围．
本题考查函数的单调性和特殊点，体现了分类讨论的数学思想．
15. 已知函数在区间上恰有8个最大值，则的取值范围是______
【答案】
【解析】解：函数在区间上恰有8个最大值，
令，可得，
当，1，时，x的值可使函数取得最大值，
在区间上恰有8个最大值，
时，，
当时，，
解不等式可得，，
故答案为：
先令，可求x，然后结合函数在区间上恰有8个最大值，可知时，，时，
，代入解不等式即可求解．
本题主要考查了正弦函数的图象的性质的简单应用，解题的关键是取得当和时满足的条件．
16. 已知定义在R上的函数，满足不等式，则x的
取值范围是______
【答案】
【解析】解：根据题意，函数，
设，
则有，
且，
则为奇函数，且在R上为增函数，
，即，
则有，
则有，
解可得，
即不等式的解集为；
故答案为：．
根据题意，设，分析可得为奇函数，且在R上为增函数，据此原不等式可以转化为，则有，解可得x的取值范围，即可得答案．
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意构造新函数，属于难题．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 已知函数，，若函数的定义域为集合A，则当时，求
函数的值域．
【答案】解：解得，，或；
，或；
；
又；
，；
；
的值域为．
【解析】可求出的定义域，或，而配方得出，并且，可求出
，，从而求出，即得出的值域．
考查函数定义域、值域的概念及求法，对数的真数大于0，一元二次不等式的解法，以及配方求二次函数值域的
方法．
18. 如图，在中，，，且与的夹角为，．
求的值；
若，，求x，y的值．
【答案】解：由已知得，，
，
，
，．
【解析】利用向量加减法法则把所求向量转化为，两步都不难求解．
此题考查了平面向量基本定理，向量加减法法则，难度适中．
19. 已知．
化简；
若，求的值．
【答案】解：，
，
；
由得到：，
故：，
，
，
．
【解析】直接利用三角函数诱导公式的恒等变换进行化简求出结果．
利用的结论，进一步利用三角函数的关系式的变换求出函数的值．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
20. 已知函数的定义域是，．
求函数的定义域；
若函数，求函数的最小值．
【答案】解：函数的定义域是，即的定义域是，
所以的定义域为：；
，
令，，，
即，所以，
当时取到函数的最小值为：．
【解析】通过函数的定义域，转化求解即可．
化简函数的解析式，利用换元法以及函数的单调性，转化求解函数的最值即可．
本题考查函数的最值的求法，函数的定义域，以及函数的单调性的应用，考查计算能力．
21. 已知函数，函数的最小正周期为，是函数的一条对称
轴．
求函数的对称中心和单调区间；
若，求函数在的最大值和最小值，并写出对应的x的值．
【答案】解：由可得，
，
是函数的一条对称轴，
，
，所以，
令可得，，
对称中心是，，
令，可得，
令可得，，
单调递增区间是，，
单调递减区间是，
，
由可得，，
当时，，当时，．
【解析】由可求，然后根据函数在对称轴处取得最值可求，结合正弦函数的性质即可求解对称中心
及单调区间；
由求出，结合正弦函数的图象及性质即可求解最值．
本题主要考查了正弦函数的性质的综合应用，解题关键是熟练掌握基本公式并能灵活应用．
22. 已知函数且．
判断函数的奇偶性并证明；
若函数在区间上单调递减，且值域为，求实数a的取值范围．
【答案】解：根据题意，，在其定义域上为奇函数；
对于，有，解可得：或，
即函数的定义域为或，关于原点对称，
则，
则函数为奇函数；
根据题意，函数，设，则；
在区间上，为增函数，若函数在区间上单调递减，
必有在上为减函数，则有；
若函数在区间上单调递减，且值域为，
则有，，
即，
则m、n为方程，且，
设，
则有，解可得．
【解析】根据题意，求出函数的定义域，结合函数的解析式可得，由函数奇偶性的定义分析可得答案；
根据题意，设，则；由复合函数的单调性判定方法可得，结合函数的单调性可得，，即，据此可得m、n为方
程，且，设，结合二次函数的性质分析可得答案．
本题考查复合函数的单调性的判定与应用，涉及函数奇偶性的判定和一元二次方程的性质，属于综合题．。