第2节n阶方阵的行列式

b ba
1 11
0 ab 0
[a (n 1)b]

0 0 ab
[a (n 1)b](a b)n1
-28-
例６ 爪形行列式
a1 x2 xn
y2 a2


(a2a3 an 0)
yn
an
c1

yk ak
ck
k 2,,n
a1

n xk yk k2 ak
DT
a12 a22

an2
a1n a2n ann
说明 行列式的性质凡是对行成立的，对列也成立， 反之亦然。
-13-
例1 计算下三角行列式
a11
a21 a22


a11
a22


a11a22 ann
an1 an2 ann
ann
注意！
d1 d1
n(n1)

0 1 1 2
0 1 1 2
0 5 3 8
0 5 3 8
1 2 1 4
r3 r2 0 1 1
2 r4 4r3
r4 5r2 0 0 2 4
0 0 8 18
1 2 1 4 0 1 1 2 0 0 2 4 0 0 0 2
4
只用 ri krj 变换或只用 ci kc j 变换一定能
例如 1 4 8
14 8
12 8
2 4 6 2 1 2 3 22 1 1 3
3 6 12
3 6 12
3 3 12
128
223 1 1 3
114
-17-
性质４ 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则 此行列式为零．
例如Leabharlann 123 0 3691 2 0 0 0 24
a11
D

a21
a12 a22


a1n a2n
a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
D( j 1,,n)

an1 an2 ann ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain D(i 1,, n)
a11
a12

a1n
0
a11a22a33ak1,k1
ak 1,2 ak 1,3 ak 1,k 1
-12-
二、行列式的性质
为什么要研究行列式的性质? 性质1 行列式与它的转置行列式相等。D DT
a11 a12 a1n
D
a21
a22
a2n
an1 an2 ann
a11 a21 an1
(不同行不同列) 例２求多项式
11 1 f ( x) 2 3 x 中x2的系数。
4 9 x2 解： f ( x) 3x2 4x 18 12 9x 2x2
x2 5x 6 x2的系数为1
-6-
例３
a
问空间解析中的三个向量
(2,1,2), b

(4,3,1), c
a22

0
0
a11a22 ann
an1 an2 ann
证明： 1) 当n 2时,可得 A a11a22
2)假设n k时，以上结论成立(k 3) 即 A a11a22 akk
a22
0 0
当n k 1时，A a11(1)11
a32
a33
0

0
x2 xn
a2 an

a2a3
an
(a1

k
n xk yk 2 ak
)
-29-
思考题：
计算下列行列式：
1 a1 a2 an
D
a1
2 a2
an
a1
a2 n an
-30-
三．行列式的展开定理
性质９ 行列式的值等于其任一行(列)的各元素与其对应
的代数余子式乘积之和，即：
1 2 1 4 r2 r1 1 2 1 4 1 2 1 0 r3 r1 0 0 2 4 D
1 1 0 2 r4 2r1 0 1 1 2
2 1 10
0 5 3 8
-21-
1 2 1 4
1 2 1 4
0 0 2 4 r2 r3 0 1 1 2
-18-
推论 如果行列式有一行（列）为零，则行列式 等于零。 例如
000 0
0 0 0 0
-19-
性质５ 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之 和，则可把这两个数拆开，其它元素不变写成两个行列 式的和。
例如
103 100 204 100 3 100 204 199 200 395 200 1 200 395 301 300 600 300 1 300 600
0




-26-
例５ 计算n阶行列式
a bbb
ba bb
D b b a b


b b ba
解： a (n 1)b a (n 1)b a (n 1)b
b D

a

b



b
b

a
-27-
1 11
b ab
[a (n 1)b]
(1) 2 d1d2 dn
dn dn
-14-
性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号。
例如
175 175 6 6 2 3 5 8, 358 662
17 5 715 6 6 2 6 6 2. 35 8 538
再如，证明
abc 0 abc
abc
abc
r1 r3

(2,3,5)
是否共面？
由高等数学,三个向量共面的充要条件是混合积为零。
[abc]

(a

b)
c

ax bx
ay by
az bz 0
cx cy cz
[abc]

2 4
2
1 3 3
2 3
1 2 3
5
1 5

(4)

1 3
2 5


2

1 3
2 1
例如： a22 a23 a2n
M11

a32
a33
a3n
a21 a23 a2n
M12

a31
a33

a3n
an2 an3 ann n1
an1 an3 ann n1
A11 (1)11 M11
A12 (1)12 M12
-9-
定义2 设方阵 A (aij )nn
531
-10-
例１证明对角行列式（其中主对角线上的元素不全为零 而其他元素全为零的行列式）
1
D1
2

12 n
n
证明： D1 (1)ta1 p1 a2 p2 anpn
a11a22 ann 12 n
-11-
例２ 证明下三角行列式
a11 0
A

a21
1) 当n 1时，A a11 a11
n
n
2) 当n 2时，A a1k (1)1k M1k a1k A1k
k 1
k 1
即方阵的行列式等于第一行元素与其对应的
代数余子式乘积的和．
例如求二阶，三阶行列式
1
2 5 6 1
35
123
4 1 2 1 20 36 15 6 8 28
100 100 204 3 100 204 200 200 395 1 200 395
300 300 600 1 300 600
-20-
性质６ 把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数 然后加到另一行(列)对应的元素上去,行列式的值不变。
例２ 只用 ri k rj 这种变换，把行列式化为 三角形，然后计算行列式的值。
x2

a11b2 a11a22

b1a21 a12a21
如何工整简单便于记忆地表示这两个解?
定义二阶行列式:
ab ad bc
cd
则
b1 a12
a11 b1
x1

b2 a11
a22 a12
x2

a21 a11
b2 a12
a21 a22
a21 a22
-4-
三阶行列式
定义
设由9个数排成的3行3列的数表 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
-2-
一、行列式的定义
引例: 用消元法求解
aa1211xx11

a12 x2 a22 x2

b1 b2
1 2
1 a22 : a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22
2 (a12 ) : a12a21 x1 a12a22 x2 a12b2
第二章 矩阵理论基础
§2.1 矩阵的运算 §2.2 n阶(方阵的)行列式 §2.3 可逆矩阵 §2.4 矩阵的秩与矩阵的等价标准形 §2.5 矩阵分块法 §2.6 线性方程组解的存在性定理.CRAMER法则
-1-
§2.2 n阶(方阵的)行列式
主要内容: 一、行列式的定义 二、行列式的性质 三、行列式的展开定理

akk c1k
b11

b1n

pk1 c11

pkk c1k
q11





cn1 cnk bn1 bnn cn1 cnk qn1 qnn
故 D ( p11 pkk ) (q11 qnn ) D1D2
-25-
例４
000
000
000

0 0 0
上两式相加求得(设分母不为零)
x1

b1a22 a11a22

a12b2 a12a21
同理可求得
x2

a11b2 a11a22

b1a21 a12a21
-3-
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
x1

b1a22 a11a22

a12b2 a12a21
a1
p1
a2
p2
anp
的项之和，
n
（t为排列p1 p2 pn的逆序数）称为n阶行列式。
其中p1 p2 pn为自然数1，2，，n的一个排列。
-8-
定义：在n阶行列式中，把元素aij所在的第i行 和第i列划去后， 剩下的元素按原次序排成的
n 1阶行列式称为元素aij的余子式， 记为Mij
记Aij (1)i j Mij ,称Aij为元素aij的代数余子式。
abc
abc
-15-
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行 列式为零。
例如
178 2 3 40 178
331 4 4 10 551
-16-
性质3 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以 同一数k， 等于用数k乘此行列式． 推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面。
把行列式化为上(下)三角形.行列式的值不变.
-22-
例３
a11 a1k


0
D

ak1 c11

akk c1k
b11
b1n



cn1 cnk bn1 bnn
a11 a1k
D1 det(aij )
,
ak1 akk
b11 b1n
D2 det(bij )
按某种运算规则得到的一个数记为
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a11a22a33 a12a23a31 a21a32a13
a31 a32 a33 a13a22a31 a23a32a11 a12a21a33
-5-
说明: 共3!=6项,正负项各占半,每项均为三个元素乘积
证明：



D ai1 0 0 0 ai2 0 0 0 0 ain


an1
an2

ann
-31-
a11
a12

a1n



D ai1 0 0 0 ai2 0 0 0 0 ain
b11 b1n q11
0
设为 D2

q11 qnn
bn1 bnn qn1 qnn
-24-
对 D 的前 k 行作同前的运算 ri krj，再对后 n 列作 同前运算 ci kc j , 把 D 化为下三角形行列式
a11 a1k
p11


0

0
D

ak1 c11
24 4 10 10 0
所以它们不共面，即异面。
-7-
把二阶行列式与三阶行列式加以推广得n阶行列式： 应有 n!项且正负项各占半每，一项为n个不同行 不同列元素的乘积．
定义1 设有 n2个数, 排成 n行n列的数表
作出不同行不同列的 n个数的乘积并， 冠以符号
(1)t
即(
1)t
,
bn1 bnn
则 D D1D2
-23-
证明 对 D1 作运算 ri krj，把 D1 化为下三角形行列式
a11 a1k p11
设为 D1

p11 pkk
ak1 akk pk1 pkk
对 D2 作运算 ci kc j , 把 D2 化为下三角形行列式