角平分线的性质与判定-图文
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角平分线的性质与判定_图文.pptx
★ 什么是角的平分线？ 怎样画一 个角的平分线？
A
C O
B
A·
B· C·
如图，AB＝AD，BC＝DC，沿着 AC画一条射线AE，AE就是∠BAC
·的角平分线， 你知道为什么吗？ D
E
如何用尺规作角的平分线？
作法:
A
１. 以Ｏ为圆心，适当长 为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，
A C
P B
PD = PE
\ OP 是 AOB 的平分线
用途: 判定一条射线是角平分线
例1.如图，在△ABC中，D是BC的中点， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F， 且BE＝CF。求证: AD是△ABC的角平分线。
A
E
F
B
D
C
4.已知: 如图，∠C= ∠C′=90° ，AC=AC ′ . 求证（1） ∠ABC= ∠ABC ′ ；（2）BC=BC ′ .（要求不 用三角形全等的判定）
OP = OP （公共边）
PD = PE （ 已 知 ）
\ RtPDO≌ RtPEO （ HL）
\ AOP BOP （全等三角形的对应角相等） \ 点P在 AOB 角的平分线上
A P
B
角平分线的判定的应用书写格式:
∵ PD ^ OA
PE ^ OB
O
PD= PE
DA P
\OP 是 AOB的平分线
（到一个E角的 B
（点D到AB的距离是3）
C
D
A
E
B
如图，由 PD ^ OA 于点 D ， PE ^ OB
于点 E，PD= PE ， 可以得到什么结论 ？
到一个角的两边的距离相等 的点, 在这个角的平分线上。
已知：如图， PD ^ OA ，
D
A
PE ^ OB ，垂足分别是
O
A、B，PD=PE ，
求证：点P在AOB 的角平分线上。
M C D
F
A
EB
N
⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6， 求BE，AE的长和△AED的周长。
A E
D
B
C
练一练
A E
C
B
D
3在△ABC中, AC⊥BC, AD为∠BAC
的平分线, DE⊥AB, AB＝7㎝, AC
Hale Waihona Puke ＝3㎝, 求BE的长。4.△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且 BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？
⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D.E.
A
求证：PD=PE.
D
P
O
B
E
角平分线的性质
定理: 在角平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表示为:
A
∵∠1= ∠2
D
PD ⊥OA , PE ⊥OB
∴PD=PE.
1
O
2
P
B E
随堂练习
1.如图, OC是∠AOB的平分线, ∵ ∴PDPD=P⊥EOA, PE⊥OB
Ｍ
交ＯＢＮ于.
Ｃ
２．分别以Ｍ，Ｎ为
圆心．大于 1ＭＮ的长为
2
半径作弧．两弧在∠AOB的
Ｂ
Ｎ
Ｏ
内部交于Ｃ．
３. 作射线OC.
则射线ＯＣ即为所求.
• 将角AOB对折,再折出一个直角三角形(使第 一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠 形成的三条折痕,你能得到什么结论? A
A
D
O
B
O
B
E
在∠AOB的平分线OC上
A
D
C P·
O
E B
2.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC 的平分线交BC于D，BC=15，且CD: DB=1: 2，则 点D到AB的距离为_________。
动脑筋
3.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E， 则：⑴图中相等的线段有哪些？ 相等的角 呢？
⑵哪条线段与DE相等？ 为什么？
P E
B
角平分线
的判定 到角的两边的距离相等的点
的平分线上。
在角
D
已知：如图，PD ^ OA，PE ^ OB ，
垂足分别是 D、E，PD=PE，
O
求证：点P在 AOB的角平分线上。
证明: 作射线OP
∵ PD ^ OA PE ^ OB
E
\ PDO PEO 90
在 Rt△PDO 和Rt△PEO 中,
任取一点P，然后，作 点P到∠AOB两边的垂线 段PD.PE，画一画，量 一量，从中你有什么新 O
A
D
·P C
发现？你能说明其中的
E
道理吗？
B
角平分线上的点到角的两
边的距离相等。
命题: 在角平分线上的点到角的两边的距离相等
题设: 一个点在一个角的平分线上
结论: 它到角的两边的距离相等
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD
A
C C′
B
课堂练习
5已知: 如图，BE⊥AC于E， CF⊥AB于F， BE、CF相交于D， BD=CD 。 求证: AD平分∠BAC 。
B
F
A
D
E
C
• 证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直 于AB、BC、CA，垂足为D.E、F
• ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上
（已知）
A
• ∴PD=PE（在角平分线上的点到角的两
两边的距离相等的点, 在这个角的平分线上）
角平分线的性质: 在角的平分线上的点到
这个角的两边的距离相等。
D
∵ OP 是 AOB 的平分线
PD ^ OA PE ^ OB
O
\ PD = PE
用途: 证线段相等
E
角平分线的判定到一个角的两边的距离相
等的点, 在这个角的平分线上。 ∵ PD ^ OA PE ^ OB
边的距离相等）
D
F
• 同理 PE=PF.
N PM
• ∴ PD=PE=PF.
B
C
• 即点P到边AB、BC、CA的距离相等
E
练习：
如图，三条公路相交，现在要修建一加 油站，使加油站到三条公路的距离相等， 问加油站该选在什么位置上？
拓展与延伸
1.已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE 交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.
★ 什么是角的平分线？ 怎样画一 个角的平分线？
A
C O
B
A·
B· C·
如图，AB＝AD，BC＝DC，沿着 AC画一条射线AE，AE就是∠BAC
·的角平分线， 你知道为什么吗？ D
E
如何用尺规作角的平分线？
作法:
A
１. 以Ｏ为圆心，适当长 为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，
A C
P B
PD = PE
\ OP 是 AOB 的平分线
用途: 判定一条射线是角平分线
例1.如图，在△ABC中，D是BC的中点， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F， 且BE＝CF。求证: AD是△ABC的角平分线。
A
E
F
B
D
C
4.已知: 如图，∠C= ∠C′=90° ，AC=AC ′ . 求证（1） ∠ABC= ∠ABC ′ ；（2）BC=BC ′ .（要求不 用三角形全等的判定）
OP = OP （公共边）
PD = PE （ 已 知 ）
\ RtPDO≌ RtPEO （ HL）
\ AOP BOP （全等三角形的对应角相等） \ 点P在 AOB 角的平分线上
A P
B
角平分线的判定的应用书写格式:
∵ PD ^ OA
PE ^ OB
O
PD= PE
DA P
\OP 是 AOB的平分线
（到一个E角的 B
（点D到AB的距离是3）
C
D
A
E
B
如图，由 PD ^ OA 于点 D ， PE ^ OB
于点 E，PD= PE ， 可以得到什么结论 ？
到一个角的两边的距离相等 的点, 在这个角的平分线上。
已知：如图， PD ^ OA ，
D
A
PE ^ OB ，垂足分别是
O
A、B，PD=PE ，
求证：点P在AOB 的角平分线上。
M C D
F
A
EB
N
⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6， 求BE，AE的长和△AED的周长。
A E
D
B
C
练一练
A E
C
B
D
3在△ABC中, AC⊥BC, AD为∠BAC
的平分线, DE⊥AB, AB＝7㎝, AC
Hale Waihona Puke ＝3㎝, 求BE的长。4.△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且 BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？
⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D.E.
A
求证：PD=PE.
D
P
O
B
E
角平分线的性质
定理: 在角平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表示为:
A
∵∠1= ∠2
D
PD ⊥OA , PE ⊥OB
∴PD=PE.
1
O
2
P
B E
随堂练习
1.如图, OC是∠AOB的平分线, ∵ ∴PDPD=P⊥EOA, PE⊥OB
Ｍ
交ＯＢＮ于.
Ｃ
２．分别以Ｍ，Ｎ为
圆心．大于 1ＭＮ的长为
2
半径作弧．两弧在∠AOB的
Ｂ
Ｎ
Ｏ
内部交于Ｃ．
３. 作射线OC.
则射线ＯＣ即为所求.
• 将角AOB对折,再折出一个直角三角形(使第 一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠 形成的三条折痕,你能得到什么结论? A
A
D
O
B
O
B
E
在∠AOB的平分线OC上
A
D
C P·
O
E B
2.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC 的平分线交BC于D，BC=15，且CD: DB=1: 2，则 点D到AB的距离为_________。
动脑筋
3.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E， 则：⑴图中相等的线段有哪些？ 相等的角 呢？
⑵哪条线段与DE相等？ 为什么？
P E
B
角平分线
的判定 到角的两边的距离相等的点
的平分线上。
在角
D
已知：如图，PD ^ OA，PE ^ OB ，
垂足分别是 D、E，PD=PE，
O
求证：点P在 AOB的角平分线上。
证明: 作射线OP
∵ PD ^ OA PE ^ OB
E
\ PDO PEO 90
在 Rt△PDO 和Rt△PEO 中,
任取一点P，然后，作 点P到∠AOB两边的垂线 段PD.PE，画一画，量 一量，从中你有什么新 O
A
D
·P C
发现？你能说明其中的
E
道理吗？
B
角平分线上的点到角的两
边的距离相等。
命题: 在角平分线上的点到角的两边的距离相等
题设: 一个点在一个角的平分线上
结论: 它到角的两边的距离相等
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD
A
C C′
B
课堂练习
5已知: 如图，BE⊥AC于E， CF⊥AB于F， BE、CF相交于D， BD=CD 。 求证: AD平分∠BAC 。
B
F
A
D
E
C
• 证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直 于AB、BC、CA，垂足为D.E、F
• ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上
（已知）
A
• ∴PD=PE（在角平分线上的点到角的两
两边的距离相等的点, 在这个角的平分线上）
角平分线的性质: 在角的平分线上的点到
这个角的两边的距离相等。
D
∵ OP 是 AOB 的平分线
PD ^ OA PE ^ OB
O
\ PD = PE
用途: 证线段相等
E
角平分线的判定到一个角的两边的距离相
等的点, 在这个角的平分线上。 ∵ PD ^ OA PE ^ OB
边的距离相等）
D
F
• 同理 PE=PF.
N PM
• ∴ PD=PE=PF.
B
C
• 即点P到边AB、BC、CA的距离相等
E
练习：
如图，三条公路相交，现在要修建一加 油站，使加油站到三条公路的距离相等， 问加油站该选在什么位置上？
拓展与延伸
1.已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE 交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.