7年级数学 平行线判定及性质

D E E
F
1 2
3
A
C
O
知识精讲
7 年级数学下：平行线的性质定理
模块一：平行线的性质定理
平行线的性质定理
（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；简记为：两直线平行，同位角相等． （2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；简记为：两直线平行，内错角相等．
（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；简记为：两直线平行，同旁内角互补．
例题解析
【例 1】如图，AC //DB ， ∠DBC = 56 ，则∠ACB = ． 【答案】124 度．
【解析】因为 AC //DB （已知），
所以∠DBC + ∠ACB = 180︒ （两直线平行，同旁内角互补），
因为∠DBC = 56 （已知），所以∠ACB = 180︒ - 56︒ = 124︒ （等式性质）D B 【例 2】（1）如图，已知 DE //BC ，∠A = ∠C ，则与∠AED 相等的角（不包含∠AED ）有 个； （2）如图，若 AB //FD ，则∠B = ，若 AC //ED ，则∠DFC = ．
A
A
B
C 【答案】（1）2 个；（2） ∠3 ；∠2．
B
D
【解析】（1）因为 DE //BC （已知）， 所以∠AED = ∠C （两直线平行，同位角相等），
又因为∠A = ∠C （已知），所以∠A = ∠C = ∠AED （等量代换）； （2）∠B = ∠3（两直线平行，同位角相等）；∠DFC = ∠2．
【例 3】如图，直线 a / /b ，则 x - y 的值等于（ ） a A ．20 B ．80
C ．120
D ．180
b
【答案】A
【解析】因为 a / /b ，所以 x = 30
又因为3y + x = 180 ，解得 y = 50
，故 x - y = 30 - 50 = 20︒ ．
【例 4】如图，直线 a / /b ，点 B 在直线b 上，且 AB ⊥ BC ， ∠1 =
A ． 35
B ． 45
C ． 55
D ．125
【答案】A
【解析】因为 AB ⊥ BC （已知），所以∠ABC = 90︒ （垂直的意义）
因为 a / /b （已知）， 所以 ∠1 = ∠CBD （两直线平行，同位角相等）
因为∠1 = 55 （已知）， 所以∠CBD = 55 （等量代换）因为∠2 + ∠ABC + ∠CBD = 180 （平角的意义） 所以∠2 = 180︒ - 55︒ - 90︒ = 35︒ （等式性质）
B
【例5】如图，直线a / /b ，c ⊥d ，则下列说法中正确的个数有（）（1）∠2 +∠4 = 90 ；（2）∠1 +∠4 = 90 ；（3）∠1 =∠3 ；（4）∠3 +∠4 = 90 ．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
【答案】B
【解析】（1）正确：因为a / /b ，所以∠2 与∠3 互为同位角，d
又因为c ⊥d ，所以∠3 +∠4 = 90︒，所以∠2 +∠4 = 90︒；
（2）错误：∠1 =∠4 （两直线平行，同位角相等）；
（3）错误∠1 +∠3 = 90︒；
（4）正确．所以本题选B
【例6】如果两个角的一边在同一条直线上，另一边互相平行，那么这两个角（）A．相等或互补B．互补C．相等D．相等且互余【答案】A
【解析】分为同侧相等和异侧互补两种情况，故选A．
【例7】如图，已知AB / /CD ，∠x 等于（）
A．75 B．80 C．85 D．95 【答案】C
【解析】如图可过的顶点作平行线，那么被分为上下两部分．上半部分与角B 互补；下半部分与角D 互为内错
角；
所以易知∠x = (180︒-120︒) + 25︒= 85︒．A B
120°
x
D 25°C
【例8】如图，AB / /CD，MP / / AB，MN 平分∠AMD，∠A = 40 ，∠D = 30 ，则∠NMP 等于（）
A．10 B．15 C．5 D．7.5 【答案】C
【解析】因为AB / /MP （已知）
所以∠A =∠AMP （两直线平行，内错角相等）
因为AB / /CD （已知），所以MP / /CD （平行的传递性）所以∠D =∠DMP （两直线平行，内错角相等）
B M
C
A
N P
D
因为∠AMD =∠AMP +∠DMP （角的和差），∠A = 40 ，∠D = 30 （已知）
所以∠AMD = 30 + 40 = 70 （等式性质）
因为MN平分∠AMD （已知），所以∠AMN =∠NMD = 35 （角平分线的意义）
所以∠NMP = 40︒- 35︒= 5︒（等式性质）
E
【例9】如图，AB / /CD ，∠1 = (2x + 20) ，∠2 = (8x - 40) ，求∠1 及∠2 的度数．
【答案】∠1 = 40︒，∠2 = 40︒． A
1 B
【解析】因为AB / /CD （已知），所以∠1 =∠2 （两直线平行，同位角相等）
2 即
(2x + 20) = (8x - 40) C D
F 解得：x = 10
所以∠1 = 40︒，∠2 = 40︒（等式性质）
H
2
G 1
C
F
D
3 1
2 4
【例 10】如图，已知∠1 = 40 ，∠2 = 140 ，∠3 = 40 ，能推断出 AB / /CD / / EF 吗？为什么？ 【答案】能；见解析． 【解析】由题意，根据对顶角的性质，可知：
∠2 + ∠1 = 180︒，∠2 + ∠3 = 180︒
所以 AB //CD ，CD //EF （同旁内角互补，两直线平行）
所以 AB //EF ，即 AB //CD //EF ，即证．
N
【例 11】已若∠A 的两边与∠B 的两边分别平行，且∠A 是∠B 的 2 倍少 30°，求∠A 与∠ B 的度数．
【答案】∠B = 30︒，∠A = 30︒ 或∠B = 70︒ ，∠A = 110︒ ．
【解析】由题意可知， ∠A = ∠B 或∠A + ∠B = 180︒ ，又因为∠A 是∠B 的 2 倍少 30°，
所以∠A = 2∠B - 30︒ ，即∠B = 30︒，∠A = 30︒ 或∠B = 70︒ ，∠A = 110︒ 【总结】本题考查平行线的性质及两个角的两边平行时的两种情况的讨论．
【例 12】已知：如图， ∠1 = ∠2 ，∠3 = ∠B ，AC / / DE ，且 B 、C 、D 在一条直线上．
试说明 AE / / BD ．
A E
【答案】见解析．
【解析】因为 AC / / DE （已知），
所以∠2 = ∠4 （两直线平行，内错角相等） 因为∠1 = ∠2 （已知），所以∠1 = ∠（4 等量代换）
所以 AB / /CE （内错角相等，两直线平行）
所以∠B = ∠ECD （两直线平行，同位角相等）
B
因为∠3 = ∠B （已知），所以∠3 = ∠ECD （等量代换） 所以 AE / / BD （内错角相等，两直线平行）
【例 13】已知：如图，E 、F 分别是 AB 和 CD 上的点，DE 、AF 分别交 BC 于 G 、H ，
∠ A = ∠ D ， ∠ 1= ∠ 2，试说明： ∠ B = ∠ C ． E 【答案】见解析 A B 【解析】因为∠1 = ∠（2 已知），∠1 = ∠AHB （对顶角相等）所以∠2 = ∠AHB （等量代换）， 所以 AF / / E D （同位角相等，两直线平行）
所以∠D = ∠AFC （两直线平行，同位角相等）
因为∠A = ∠D （已知）， 所以∠A = ∠AFC （等量代换）所以 AB / /CD （内错角相等，两直线平行） 所以∠B = ∠C （两直线平行，内错角相等）
【例 14】如图，直线 GC 截两条直线 AB 、CD ，AE 是∠GAB 的平分线，CF 是∠ACD 的平 分线，且 AE / /CF ，那么 AB ∥CD 吗？为什么？
【答案】见解析
【解析】因为 AE 是∠GAB 的平分线，CF 是∠ACD 的平分线（已知）所以∠GAE = ∠EAB ，∠ACF = ∠FCD （角平分线的性质）
因为 AE / /CF （已知），所以∠GAE = ∠ACF （两直线平行， 3
A
1 E
2 D
同位角相等）
所以∠EAB =∠FCD（等量代换）
所以AB / /CD ( 同位角相等，两直线平行)
【例15】如图∠1 =∠2 ，DC / /OA ，AB / /OD ，那么∠C =∠B
【答案】见解析
【解析】因为DC / /OA （已知），
所以∠COA =∠C（两直线平行，内错角相等），
即∠COB +∠1 =∠C
因为AB / /OD （已知），所以∠DOB =∠B
即∠2 +∠COB =∠B ，又因为∠1 =∠2 （已知），所以∠B =∠C （等量代换）
【总结】本题考查平行线的判定及性质的综合运用．
【例16】如图，已知AD 平分∠BAC ，∠1 =∠2 ，试说明∠1 =∠F 的理由．
【答案】见解析F
【解析】因为AD 平分∠BAC （已知），所
以∠2 =∠BAD （角平分线的意义）
因为∠1 =∠2 （已知），所以∠1 =∠BAD （等量代换）
所以EF / / AD （同位角相等，两直线平行）
所以∠F =∠2 （两直线平行，同位角相等） B C 所以∠1 =∠F （等量代换）
【总结】本题考查平行线的判定及性质的运用．
【例17】已知：如图，∠AGH =∠B，∠CGH =∠BEF ，EF⊥AB 于F，试说明CG⊥AB．【答案】见解析
【解析】因为∠AGH =∠B （已知）
C
所以HG / /CB （同位角相等，两直线平行）
所以∠CGH =∠BCG （两直线平行，内错角相等）
E 因为∠CGH =∠BE
F （已知），
H
所以∠BEF =∠BCG （等量代换）
A B
所以EF / /CG （同位角相等，两直线平行）G F
因为EF⊥AB（已知），所以CG⊥AB．
【例18】已知，正方形ABCD 的边长为4 cm ，求三角形EBC 的面积．
D
【答案】8 平方厘米． A E 【解析】由题意可知：三角形EBC 与正方形同底BC，且其高即是
正方形的边DC，故三角形面积为正方形面积的一半：
4 ⨯ 4 ÷ 2 = 8cm2
C
【例19】如图，AD//BC，BC =5
AD ，求三角形ABC 与三角形ACD 的面积之比．
2
A D
【答案】5: 2 ．
4
B C
B
D E
A G D
【解析】因为 AD / /BC （已知）
所以三角形 ABC 与三角形 ACD 的高相等 （平行线间的距离处处相等）
所以 S ∆ABC : S ∆ACD = BC : AD = 5：2 （两三角形高相等，面积比等于底之比）
【例 20】如图， AB / /GE ， CD / / FG ，BE =EF =FC ，三角形 AEG 的面积等于 7，求四边形
AEFD 的面积．
【答案】21
【解析】联结 BG 、
CG ． 因为 AB / /GE
（已知）
所以 S
∆BEG
B
= S ∆AEG （同底等高的两个三角形面积相等）
E F
C
因为 BE =EF （已知）， 所以 S ∆BEG = S ∆GEF （等底等高的两个三角形面积相等）所以 S ∆AEG = S ∆GEF =7（等量代换）， 同理 S ∆GEF = S ∆DFG = 7 ． 所以 S 四边形AEFD = S ∆AEG + S ∆GEF + S ∆DFG = 7 + 7 + 7 = 21．
【例 21】已知 E 是平行四边形 ABCD 边 BC 上一点，DE 延长线交 AB 延长线于 F ，试说明
C
S ∆ABE 与S ∆CEF 相等的理由．
【答案】见解析
1
A
1
F
【解析】因为 S △ADE = S △DCF = 2 S 四边形ABCD ，所以 S △CEF = S ∆DCF - S ∆DCE = 2
S 四边形ABCD - S ∆DCE ，
所以 S = S - S - S = S
- 1 S - S = 1 S - S ∆ABE 四边形ABCD ∆ADE ∆DCE 四边形ABCD 2 四边形ABCD ∆DCE 2
四边形ABCD
∆DCE
所以 S ∆ABE = S ∆CEF
模块二：辅助线的添加
例题解析
【例 1】如图，已知 AB ∥ED ，试说明：∠B +∠D ＝∠C ． 【答案】见解析
【解析】过点 C 作 AB 的平行线 CF ，
因为 AB ∥ED （已知）
所以 AB / /CF / / ED （平行的传递性）
所以∠B = ∠BCF ，∠D = ∠DCF 所以∠B + ∠D = ∠BCF + ∠DCF = ∠BCD （等式性质） E
【例 2】如图所示，已知， ∠A +∠B +∠C = 360︒ ，试说明 AE ∥CD ．
5
F
E 【答案】见解析 A E 【解析】过点 B 向右作 B
F //AE ，
所以∠A + ∠ABF = 180（︒ 两直线平行，同旁内角互补）因为∠A +∠B +∠C = 360︒ （已知） B F 所以∠FBC + ∠C = 180︒ （等式性质） C D
所以 BF / /CD （同旁内角互补，两直线平行） 所以 AE / /CD （平行的传递性）
【例 3】如图，已知：AB //CD ，试说明： ∠ B + ∠ D + ∠ BED = 360︒ （至少用三种方法）．
【答案】见解析 A
【解析】方法一：连接 BD
则∠EBD +∠EDB +∠E =180°（三角形内角和等于 180因为 AB //CD （已知），所以∠ABD +∠BDC =180°
（两直线平行，同旁内角互补）
C
所以∠ABD +∠EBD +∠EDB +∠BDC +∠E =360°，即∠B +∠D +∠BED =360° 方法二：过点 E 作 EF //CD ，
因为 AB / /CD （已知）， 所以 EF / / AB （平行的传递性）
所以∠B +∠BEF =180°，∠D +∠DEF =180°（两直线平行，同旁内角互补） 所以∠B +∠BEF +∠D +∠DEF =360°（等式性质）
即∠B +∠D +∠BED =360°； 方法三：过点 E 作 EF / / BA 因为 AB / /CD （已知）， 所以 EF / / AB （平行的传递性）
所以∠ABE + ∠BEF = 180︒ ，∠FED + ∠EDC = 180︒ （两直线平行，同旁内角互补） 所以∠ B + ∠ D + ∠ BED = 360︒ （等式性质）；
方法四：过点 E 作 EF ⊥CD 的延长线与 F ，EG 垂直于 AB 的延长线于 G ， 则有：∠B =∠BGE +∠GEB ，∠D =∠EDF +∠DFE ，
所以∠B +∠D +∠BED =∠BGE +∠DFE +∠GED =180+180=360°．
【例4】如图所示，在六边形 ABCDEF 中，AF ∥CD ，∠A =∠D ，∠B=∠E ，
试说明 BC ∥EF 的理由．
【答案】见解析 A F
【解析】连接 AD 、BE B
因为 AF ∥CD （已知）
E
所以∠FAD = ∠ADC （两直线平行，内错角相等）
C D 因为∠BAF = ∠CDE （已知）， 所以∠BAD = ∠ADE （等式性质）所以 AB ∥DE （内错角相等，两直线平行）
所以∠ABE = ∠BED （两直线平行，内错角相等）
因为∠ABC = ∠FED （已知）， 所以∠EBC = ∠BEF （等式性质）所以 BC ∥EF （内错角相等，两直线平行）
【例 5】如图已知，AB //CD ，∠ABF = 2 ∠ABE ，∠CDF = 2
∠CDE ，求∠E 和∠F 的关系．
3 3
【答案】∠E : ∠F = 3：2 ．
C
【解析】过点 E 、点 F 分别作 AB 的平行线 EG 、FH ．
6
A
B
D
2
1
因为 EG / / AB ，FH / / AB
所以 AB / / EG / FH / /CD (等量代换)
所以∠ABF = ∠BFH （两直线平行，内错角相等）所以∠CDF = ∠DFH （两直线平行，内错角相等）
所以∠BFD = ∠DFH + ∠BFH = ∠CDF + ∠ABF （等量代换）同理： ∠BED = ∠DEG + ∠BEG = ∠ABE + ∠CDE （等量代换）
因为∠ABF = 2 ∠ABE ，∠CDF = 2
∠CDE
3 3
所以∠BFD = ∠DFH + ∠BFH = ∠CDF + ∠ABF = 2 (∠ABE + ∠CDE ) = 2
∠BED
3 3
所以∠E : ∠F = 3：2
【例 6】如图，已知：AC //BD ，联结 AB ，则 AC 、BD 及线段 AB 把平面分成①②③④四个部分，规定：线上各点不属于任何一个部分，当点 P 落在某个部分时，联结 PA 、PB ，构成 ∠ PAC 、∠ APB 、∠ PBD 三个角（提示：有公共角断点的两条重合的射线所组成的角是 0 °角）
（1） 当点 P 落在第①部分时，试说明： ∠ PAC + ∠ PBD = ∠ APB ； （2） 当点 P 落在第②部分时，试说明： ∠ PAC + ∠ PBD = ∠ APB 是否成立?
（3）当点 P 落在第③部分时，全面探究∠ PAC 、 ∠ APB 、 ∠ PBD 之间的关系是 ，
并写出动点 P 的具体位置和相应的结论，选择其中一种加以证明．
A 3
A 3
C
C
C
A 3
C
2
1 B
4
D
B 4
D
B
4
B
4
D
【解析】（1）过点 P 作 PE // AC ．
因为 AC / / BD ，所以 AC / / PE / / BD （平行的传递性）
所以∠PAC = ∠APE ，∠BPE = ∠PBD （两直线平行，内错角相等） 因为∠APB = ∠APE + ∠BPE （角的和差）
所以∠APB = ∠PAC + ∠PBD （等量代换）
（2）不成立，过点 P 作 AC 的平行线即可证明． （3）分类讨论如下：
①当动点 P 在射线 BA 的右侧时，结论是∠PBD = ∠PAC + ∠APB ； ②当动点 P 在射线 BA 上时，结论是
∠PBD = ∠PAC + ∠APB 或∠PAC = ∠PBD + ∠APB 或∠APB = 0︒，∠PAC = ∠PBD （任写一个即可） ③当动点 P 在射线 BA 的左侧时，结论是∠PBD = ∠PAC + ∠APB ．
2
P 1 A 3
2
1
随堂练习
【习题1】 填空：
（1） 如图（1），AB //CD ，CE 平分∠ACD ， ∠A = 120 ，则∠ECD ； （2） 如图（2），已知 AB //CD ， ∠B = 100 ，EF 平分∠BEC ， EG ⊥ EF ，则∠DEG = ．
【难度】★
G
B A F
C
【答案】（1）30°； （2）50°．
E
图（2）
C
【解析】（1）因为 AB ∥CD （已知），所以∠A + ∠ACD = 180 （两直线平行，同旁内角互补）
因为∠A = 120 （已知）， 所以∠ACD = 180 -120 = 60 （等式性质） 又因为 CE 平分∠ACD （已知）， 所以∠ECD =30°（角平分线的意义）
（2）因为 AB ∥CD （已知）， 所以∠B + ∠BEC = 180 （两直线平行，同旁内角互补）因为∠B = 100 （已知）， 所以∠BEC = 180 -100 = 80 （等式性质） 又因为 EF 平分∠BEC （已知）， 所以∠BEF =40°（角平分线的意义）因为 EG ⊥EF （已知）， 所以∠GEF = 90 （垂直的意义）
因为∠DEG + ∠GEF + ∠CEF = 180 （平角的意义） 所以∠DEG = 180 - 90 - 40 = 50 （等式性质） 【总结】本题考查平行线的性质的运用．
【习题2】 填空：
（1）如图，直线 a / /b ，三角形 ABC 的面积是 42 cm 2 ，AB =6 cm ，则 a 、b 间的距离为 ；
（2）如图，在三角形 ABC 中，点 D 是 AB 的中点，则三角形 ACD 和三角形 ABC 的面 积之比为 ．
【难度】★
【答案】（1）14 厘米 ；（2） 1
． 2 A D
【解析】（1）三角形 ABC 的高为： 42 ⨯ 2 ÷离B 为 14 厘米；
C
（2）因为三角形 ACD 和三角形 ABC 高相等， 所以面积之比等于底之比，
即 S ∆ACD = S ∆ABC AD = 1 AB 2
【总结】本题考查平行线间距离及同高等底的三角形面积的之比．
A B E
图（1） D
D
．
【习题3】 如图，已知 FC //AB //DE ， ∠α : ∠D : ∠B = 2 : 3 : 4 ,则∠α 、∠D 、∠B 的度数分别
为 ．
【难度】★ 【答案】∠α = 72︒ ， ∠D = 108︒ ， ∠B = 144︒ ．
【解析】因为 FC //AB //DE （已知），
A 所以∠
B + ∠CFB = 180
(
∠D = ∠CFD （两直线平行，内错角相等）
设∠α = 2x ，∠D = 3x ，∠B = 4x ，则可列方程：180 - 4x + 2x = 3x ，解得： x = 36︒ 则∠α = 72︒ ， ∠D = 108︒ ， ∠B = 144︒ ． 【习题4】 如果两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的 3 倍多 12°，则这两个角
是( )． A ．42°和 138° B ．都是 10°
C ．42°和 138°或都是 10°
D ．以上都不对
【难度】★★ 【答案】A
【解析】由题意假设这两个角分别为 A 、B ，则有： ∠A = ∠B 或∠A + ∠B = 180︒ ，
又因为∠A 是∠B 的 3 倍多 12°，则有： ∠A = 3∠B + 12︒ ， 即180︒- ∠B = 3∠B + 12︒，解得：∠B = 42︒，∠A = 138︒ ． 【总结】本题考查两角位置关系的可能性，注意两种情况的讨论．
【习题5】 如图，已知 QR 平分∠PQN ，NR 平分∠QNM ，∠1+∠2=90°，那么直线 PQ 、MN
的位置关系． P Q 【难度】★★ 【答案】见解析．
1
【解析】因为 QR 平分∠PQN ，NR 平分∠QNM （已知）
R
所以∠PQN = 2∠1 ， ∠MNQ = 2∠2 （角平分线的意义） 因为∠1+∠2=90°（因为），所以∠PQN +∠MNQ =180°（等式性质）
2
所以 PQ ∥MN （同旁内角互补，两直线平行） M N
【总结】本题考查平行线的判定及角平分线意义的综合运用．
【习题6】 如图，已知：AB ∥CD ，EF 和 AB 、CD 相交于 G 、H 两点，MG 平分∠BGH ，NH
平分∠DHF ，试说明：GM ∥NH ．
【难度】★★
【答案】略．
【解析】 AB / /CD （已知）
∴∠BGH = ∠DHF （两直线平行，同位角相等）
又 MG 平分∠BGH ，NH 平分∠DHF
∴∠1 = 1 ∠BGH , ∠2 = 1
∠DHF
2 2 ∴∠1 = ∠（2 等量代换）
∴GM / / H N （同位角相等，两直线平行） 【总结】本题考查平行线的判定
A B 1 2 O C
B
C
M 1
【习题7】 如图所示，在直角三角形 ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4，AB =5，三角形内一点 O 到各边的距离相等，求这个距离是多少． 【难度】★★ 【答案】1．
【解析】设这个距离是 x ，则有：
S ∆ABC = 6 = 1
( AC + BC + AB ) ⨯ x = 6x ， 解得： x = 1 ．
2
【总结】本题可以用面积法求解比较简单．
【习题8】 如图，已知 AB ，CD 分别垂直 EF 于 B ，D ，且∠DCF =60°，∠1=30°．
试说明： BM / / AF ． A
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】因为 CD ⊥EF ， 所以∠CDF = 90 （垂直的意义）
因为∠DCF =60°（已知）， 所以∠F =30°（三角形的内角F 和等于 1D 80°） B
E
因为∠1=30°（已知）， 所以∠1=∠F （等量代换）
所以 BM ∥AF （同位角相等，两直线平行） 【总结】本题考查平行线的判定及垂直的意义的综合运用．
【习题9】 如图，已知直线l 1 / /l 2 ；
（1）若∠1 = (x + 2 y ) ， ∠2 = x ， ∠4 = ( y + 30) 求∠1 ， ∠2 ， ∠4 的度数； （2）若∠2 = x
， ∠3 = y
， ∠4 = [2(2x - y )]
，求 x 、 y 的值．
1 2 3
l
【难度】★★
【答案】见解析
4 l 2
【解析】（1）因为∠1+∠2=180°（平角的意义），所以 x + 2 y + x 180︒ ，即 x +y =90°
因为l 1∥l 2 （已知）
， 所以∠2=∠4（两直线平行，同位角相等）
即 x = y +30， 解得：x =60°，y =30°，所以∠1=120°，∠2=60°，∠4=60°； （2）因为∠3+∠2=180°（平角的意义）， 所以 x +y =180°，
因为l 1∥l 2 （已知）
， 所以∠2=∠4（两直线平行，同位角相等） 即 x = 4x - 2 y ， 解得：x =72°，y =108°．
【总结】本题考查平行线的性质及角度的简单计算． 【习题10】 如图， ∠ ADC =∠ABC ， ∠ 1+ ∠ FDB =180°，AD 是∠FDB 的平分线，
试说明 BC 为∠DBE 的平分线． 【难度】★★★ E
【答案】见解析．
【解析】因为∠ 1+ ∠ FDB =180°（已知），
又因为∠1 = ∠ABD （对顶角相等）
所以∠ABD + ∠BDF = 180 （等量代换）
所以 AB / / F D （同旁内角互补，两直线平行）
F D C
A E
C 所以∠AB
D = ∠2 （两直线平行，内错角相等）
因为∠ADC = ∠ABC （已知）， 所以∠ADB = ∠CBD （等式性质） 因为 AE / / FC （已证）， 所以∠EBD = ∠FDB （两直线平行，内错角相等）即∠ADB + ∠ADF = ∠CBD + ∠CBE （角的和差）
因为 AD 是∠FDB 平分线， 所以∠ADB = ∠ADF = ∠CBD = ∠EBC （角平分线的意义） 即 BC 为∠DBE 的平分线
【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的判定定理及性质定理以及角平分线的综合运用．
【习题11】 如图，已知∠ABC =∠ACB ，AE 是∠CAD 的平分线，问：△ABC 与△EBC 的
面积是否相等?为什么? D 【难度】★★★
【答案】相等，证明见解析． F 【解析】因为∠DAE + ∠EAC + ∠BAC = 180 （平角的意义）
又∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180 （三角形内角和等于 180°）
所以∠DAE + ∠EAC = ∠ABC + ∠ACB （等式性质）
B 因为∠AB
C =∠ACB ，AE 是∠CA
D 的平分线（已知） 所以∠ABC = ∠ACB = ∠DA
E = ∠CAE 所以 AE / / B C （内错角相等，两直线平行）
所以 AE 与 BC 间的距离相等（夹在平行线间的距离处处相等） 所以△ABC 与△EBC 的面积相等（同底等高的两个三角形面积相等）．
【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用，同时还考查了三角形的面积问题．
课后作业
【作业1】 如图，AB //CD ，直线l 分别交 AB 、CD 于 E 、F ，EG 平分∠BEF ，若∠EFG = 40 ，
则∠EGF 的度数是（ ）
A ． 60
B ． 70
C ． 80
D ． 90
【难度】★
【答案】B
【解析】因为 AB //CD （已知），所以∠BEF + ∠EFG = 180
因为∠EFG = 40 （已知）， 所以∠BEF =140°（等式性质）
因为 EG 平分∠BEF （已知），所以∠BEG = 1 ∠BEF = 70
（角平分线的意义）
2
因为 AB //CD （已知）， 所以∠BEG = ∠EGF （两直线平行，内错角相等）所以∠EGF =70°（等量代换） 【总结】本题考查平行线的性质及角平分线的意义的运用．
【作业2】 如图，AB //CD ，下列等式中正确的是（ ）
A ． ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180
B ． ∠1 + ∠2 - ∠3 = 90
C ． ∠2 + ∠3 - ∠1 = 180
D ． ∠2 + ∠3 - ∠1 = 90
【难度】★ 【答案】C
A
11
B
3
C
D
2
1
D 1
2 E 3
【解析】由题意可得： (180︒- ∠3) + (180︒- ∠2) + ∠1 = 180︒ ，
解得： ∠2 + ∠3 - ∠1 = 180︒ 【总结】本题考查平行线的性质．
【作业3】 若两直线被第三条直线所截，则下列说法中正确的个数有（ ）
（1）一对同位角的角平分线互相平行，（2）一对内错角的角平分线互相平行， （3）一对同旁内角的角平分线互相平行，（4）一对同旁内角的角平分线互相垂直 A ．3 个 B ．2 个 C ．1 个 D ．0 个 【难度】★ 【答案】D
【解析】（1）同位角不一定相等，×；（2）内错角不一定相等，×；
（3）×； （4）只有当这对同旁内角互补时才成立，× 【总结】本题考查三线八角的基本运用．
【作业4】 直线 a ∥c ，且直线 a 到直线c 的距离是 3；直线b / /c ，直线b 到直线c 的距离为
5，则直线 a 到直线b 的距离为（ ） A ．2 B ．3 C ．8 D ．2 或 8 【难度】★★ 【答案】D
【解析】当直线 a 和直线 b 在直线 c 的两侧时，距离为 8；
当直线 a 和直线 b 在直线 c 的同一侧时，距离为 2． 【总结】本题考查平行线的性质，注意分类讨论．
【作业5】 已知：如图 5，∠1=∠2=∠B ，EF ∥AB ．试说明∠3=∠C ． A 【难度】★★ 【答案】略．
【解析】因为∠1 = ∠B （已知）
所以 DE / / B C （同位角相等，两直线平行）
所以∠2 = ∠C （两直线平行，同位角相等）又因为 EF / / AB （已知）， 所以∠3 = ∠B 所以∠3 = ∠C （等量代换） B
F
C
（两直线平行，同位角相等） 【总结】本题考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用．
【作业6】 已知：∠1=60o ，∠2=60o ， AB //CD ．试说明：CD //EF ． 【难度】★★
l 【答案】略．
【解析】设∠2 的对顶角为∠3，
因为∠1=∠2 = 60o （已知），所以∠1=∠3（等量代换） 所以 AB ∥EF （同位角相等，两直线平行）
A 1
B
C
D
又因为 AB ∥CD （已知） 所以 CD ∥EF （平行的传递性） E
2
F
【总结】本题主要考查平行线的判定．
D ′ C′
F
【作业7】 如图，已知∠4=∠B ，∠1=∠3，试说明：AC 平分∠BAD ． 【难度】★★ 【答案】略． 【解析】因为∠4=∠B （已知）
所以 CD ∥AB （同位角相等，两直线平行）
所以∠3=∠2（两直线平行，内错角相等） 又因为∠1=∠3（已知）， 所以∠1=∠2（等量代换），
A B
所以 AC 平分∠BAD （角平分线的意义）
【总结】本题考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用．
【作业8】 如图， AD / / BC ，BD 平分∠ABC ，且∠A : ∠ABC = 2 :1 ，求∠DBC 的度数．
【难度】★★
A
D
【答案】30°．
【解析】因为 AD ∥BC （已知）
所以∠A +∠ABC =180°（两直线平行，同旁内角互补）
B
C
又因为∠A ：∠ABC =2:1（已知）， 所以∠A =120°，∠ABC =60°（等式性质） 又因为 BD 平分∠ABC （已知）， 所以∠DBC =30°（角平分线的意义） 【总结】本题考查平行线的性质及角平分线的综合运用
【作业9】 如图，把一个长方形纸片沿 EF 折叠后，点 D 、C 分别落在 D ′、C ′的位置．
若∠AED ′＝65°，则∠C 'FB 的度数为 ． A E D
【难度】★★
【答案】65°
【解析】因为翻折， 所以∠D 'EF = ∠DEF （翻折的性质） B 因为∠AED ' + ∠D 'EF + ∠DEF = 180 （平角的意义） 又∠AED ′＝65°（已知）， 所以∠D 'EF = ∠DEF =
180 - ∠AED '
= 57.5 （等式性质）
2
因为 AD / / BC （已知）， 所以∠DEF + ∠EFC = 180 （两直线平行，同旁内角互补） ∠EFB = ∠DEF （两直线平行，内错角相等）
所以∠EFB = 57.5 ， ∠EFC = 180 - 57.5 = 122.5 （等式性质）
因为∠EFC ' = ∠EFC （翻折的性质） 所以∠C 'FB = ∠EFC ' - ∠EFB = 65︒ ． 【总结】本题主要考查平行线的性质及翻折的性质的综合运用．
【作业10】 如图，已知 AD //BC ，AB //EF ，DC //EG ，EH 平分∠FEG ， ∠A = ∠D = 110 ，
试说明线段 EH 的长是 AD 、BC 间的距离． A E D 【难度】★★ 【答案】见解析．
【解析】因为 AD //BC （已知）
所以∠A + ∠B = 180 ， ∠C + ∠D = 180 （两直线平行，同旁内角互补）
因为∠A = ∠D = 110 （已知）， 所以∠B =∠C =70°（等式性质）
B F H G
因为 AB //EF ，DC //EG （已知），
D 4
3 C
1
2
所以∠EFG=∠B，∠EGF=∠C（两直线平行，内错角相等）所以∠EFG = ∠EGF = 70°（等量代换），所以∠FEG=40°
因为EH 平分∠FEG （已知），所以∠FEH=1
∠FEG=20 （角平分线的意义）2
所以∠FHE = 180 -∠FEH =∠EFH = 90 （三角形内角和等于180°）
即EH 的长是AD、BC 间的距离．
【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的性质及三角形的内角和以及平行线间的距离．
【作业11】如图，AB ⊥l ，CD ⊥l （点B、D 是垂足），直线EF 分别交AB、CD 于点G、H．如果∠EGB =m ，∠FGB =n ，且∠EHD = (3m -n ) ，试求出∠EGB 、∠BGF 、∠EHD
的度数．
【难度】★★★
【答案】∠EGB = 60︒，∠BGF = 120︒，∠EHD = 60︒．
【解析】因为AB ⊥l ，CD ⊥l （已知）
所以AB / /CD （垂直于同一直线的两直线平行）
所以∠FGB +∠EHD =180 （两直线平行，同旁内角互补）
∠EGB =∠EHD （两直线平行，同位角相等）
即n + 3m -n = 180 ，m = 3m -n ，
解得：m = 60︒，n = 120︒．
所以∠EGB = 60︒，∠BGF = 120︒，∠EHD = 60︒．
【总结】本题主要考查平行线的性质的运用．
【作业12】如图，已知AB / /CD ，EG、FH 分别平分∠AEF 、∠DFN ，那么∠GEF +∠DFH = 90 ，试说明理由．
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】因为AB / /CD （已知）
所以∠AEF =∠CFN （两直线平行，同位角相等）
因为∠CFN +∠DFN = 180︒（平角的性质）
又因为EG、FH 分别平分∠AEF 、∠DFN （已知）
所以∠AEG +∠GEF +∠DFH +∠NFH = 180︒（角的和差）即2∠GEF +∠DFH = 180︒，所以∠GEF +
∠DFH = 90 ．
【总结】本题考查平行线的性质及角平分线性质的综合应用．
【作业13】如图，已知AB∥EF，∠B=45°，∠C=x°，∠D=y°，∠E=z°，试说明x、y、z 之间的关系．
【难度】★★★
【答案】见解析．
【解析】由题意，过C、D 两点分别作AB 的平行线CM、DN 因为AB∥EF（已知）
所以AB / /CM / / DN / / EF （平行的传递性）
N
所以∠B =∠BCM ，∠MCD =∠CDN ，∠EDN =∠E （两直线平行，内错角相等）
因为∠B=45°，∠C=x°，∠D=y°，∠E=z°（已知）
所以x - 45 =y -z （等式性质）
即x -y +z = 45 ．
【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的性质以及辅助线的添加，注意观察角度间的关系．。