2016届高考数学理课时跟踪检测(47)空间向量及其运算和空间位置关系(含解析)

课时跟踪检测(四十七) 空间向量及其运算和空间位置关系
一、选择题
1．(2014·广东高考)已知向量a ＝(1,0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( ) A ．(－1,1,0) B ．(1，－1,0) C ．(0，－1,1)
D ．(－1,0,1)
2．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊥α C ．l ⊂α
D ．l 与α斜交
3．(2015·西安质检)已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则·的值为( )
A ．a 2
B.12a 2
C.14
a 2
D.34
a 2 4．若平面α，β的法向量分别为n 1＝(2，－3,5)，n 2＝(－3,1，－4)，则( ) A ．α∥β
B ．α⊥β
C ．α，β相交但不垂直
D ．以上均不正确
5．(2015·晋江一模)设O ­ABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1，若＝x ＋y ＋z ，则(x ，y ，z )为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，14，14
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，34，34
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，13，13 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，23，23 6．(2015·宁波检测)如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝
2a
3
，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) A ．斜交 B ．平行 C ．垂直 D ．不确定
二、填空题
7．若向量a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，满足条件(c －a )·2b ＝－2，则x ＝________.
8．已知空间四边形OABC ，点M ，N 分别是OA ，BC 的中点，且＝a ，＝b ，＝c ，用a ，b ，
c 表示向量＝________.
9．已知点A (1,2,1)，B (－1,3,4)，D (1,1,1)，若＝2，则| |的值是________． 10．已知ABCD ­A 1B 1C 1D 1为正方体，
①(＋＋)2＝32
； ②·(－)＝0；
③向量与向量的夹角是60°；
④正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的体积为|··|. 其中正确命题的序号是________． 三、解答题
11．(2015·青岛模拟)如图，在多面体ABC ­A 1B 1C 1中，四边形A 1ABB 1是正方形，AB ＝AC ，
BC ＝2AB ，B 1C 1綊12
BC ，二面角A 1­AB ­C 是直二面角．
求证：(1)A 1B 1⊥平面AA 1C ； (2)AB 1∥平面A 1C 1C .
12．(2015·汕头模拟)已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为3，点E 在AA 1上，点F 在CC 1
上，且AE ＝FC 1＝1.
(1)求证：E ，B ，F ，D 1四点共面；
(2)若点G 在BC 上，BG ＝2
3
，点M 在BB 1上，GM ⊥BF ，垂足为H ，求证：EM ⊥平面BCC 1B 1.
答案
1．选B 各选项给出的向量的模都是2，|a |＝ 2.
对于选项A ，设b ＝(－1,1,0)，则cos 〈a ，b 〉＝a ·b
|a ||b |
＝
－
2×2
＝－1
2，因为0°≤
〈a ，b 〉≤180°，所以〈a ，b 〉＝120°.
对于选项B ，设b ＝(1，－1,0)，则cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝1×12×2＝1
2.因为0°≤〈a ，
b 〉≤180°，所以〈a ，b 〉＝60°，正确．
对于选项C ，设b ＝(0，－1,1)，则cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－1×12×2＝－1
2.因为0°≤〈a ，
b 〉≤180°，所以〈a ，b 〉＝120°.
对于选项D ，设b ＝(－1,0,1)．则cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－1－1
2×2＝－1.因为0°≤〈a ，
b 〉≤180°，所以〈a ，b 〉＝180°，故选B.
2．选B ∵a ＝(1,0,2)，n ＝(－2,0，－4)，∴n ＝－2a ，即a ∥n .∴l ⊥α. 3．选C ·＝12(＋)·12＝14(·＋·)＝14(a 2cos 60°＋a 2
cos 60°)＝14a 2.故选C.
4．选C ∵n 1·n 2＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)≠0，∴n 1与n 2不垂直，∴α与β相交但不垂直．
5.选A 如图所示，取BC 的中点E ，连接AE . ＝3
4 ＝3
4(＋) ＝34＋12
＝34＋1
4(＋) ＝34＋1
4(－＋－) ＝1
4(＋＋)， 故选A.
6．选B 建立如图所示的坐标系，由于A 1M ＝AN ＝
2a 3
， 则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2a 3，a 3，N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2a 3，2a 3，a ，
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a
3，0，2a 3，
又C 1D 1⊥平面BB 1C 1C ，
所以 ＝(0，a,0)为平面BB 1C 1C 的一个法向量． 因为·＝0，所以⊥， 所以MN ∥平面 BB 1C 1C .
7．解析：∵c －a ＝(0,0,1－x )， ∴(c －a )·2b ＝(0,0,1－x )·2(1,2,1) ＝2(1－x )＝－2，解得x ＝2. 答案：2
8．解析：如图所示，
＝12(＋)＝12[(－)＋(－)]＝12(＋－2)＝12(＋－)＝1
2(b ＋c －a )． 答案：1
2
(b ＋c －a )
9．解析：设P (x ，y ，z )，∴＝(x －1，y －2，z －1)． ＝(－1－x,3－y,4－z )，
由＝2得点P 坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13，83，3， 又D (1,1,1)，∴||＝773
. 答案：
773
10．解析：①中(＋＋)2
＝2
＋2
＋2
＝3()2
，故①正确； ②中－＝，∵AB 1⊥A 1C ，故②正确； ③中A 1B 与AD 1两异面直线所成角为60°，
但与的夹角为120°，故③不正确； ④中|··|＝0，故④也不正确． 答案：①②
11．证明：∵二面角A 1­AB ­C 是直二面角，四边形A 1ABB 1为正方形， ∴AA 1⊥平面BAC . 又∵AB ＝AC ，BC ＝2AB ， ∴∠CAB ＝90°，即CA ⊥AB ， ∴AB ，AC ，AA 1两两互相垂直．
建立如图所示的空间直角坐标系A ­xyz ，
设AB ＝2，则A (0,0,0)，B 1(0,2,2)，A 1(0,0,2)，C (2,0,0)，C 1(1,1,2)． (1)＝(0,2,0)，＝(0,0，－2)，＝(2,0,0)， 设平面AA 1C 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，
则⎩⎪⎨
⎪⎧ n ·＝0，n ·＝0，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
－2z ＝0，2x ＝0，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝0，z ＝0.取y ＝1，则n ＝(0,1,0)．
∴＝2n ，即∥n . ∴A 1B 1⊥平面AA 1C .
(2)易知＝(0,2,2)，＝(1,1,0)，＝(2,0，－2)，
设平面A 1C 1C 的一个法向量m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ·＝0，
m ·＝0，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 1＋y 1＝0，
2x 1－2z 1＝0，
令x 1＝1，则y 1＝－1，z 1＝1， 即m ＝(1，－1,1)．
∴·m ＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0， ∴⊥m .又AB ⊄平面A 1C 1C ， ∴AB 1∥平面A 1C 1C .
12．证明：(1)以B 为原点，以BA ，BC ，BB 1为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B ­xyz ，则B (0,0，0)，E (3,0，1)，F (0,3,2)，D 1(3,3,3)，
则＝(3,0,1)，＝(0,3,2)，＝(3,3,3)． 所以＝＋.
由向量共面的充要条件知E ，B ，F ，D 1四点共面．
(2)设M (0,0，z 0)，G ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，23，0，
则＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－23，z 0，而＝(0,3,2)， 由题设得·＝－2
3×3＋z 0·2＝0，
得z 0＝1.故M (0,0,1)，有＝(3,0,0)． 又＝(0,0,3)，＝(0,3,0)， 所以·＝0，·＝0， 从而ME ⊥BB 1，ME ⊥BC . 又BB 1∩BC ＝B ， 故ME ⊥平面BCC 1B 1.。