2018年四川省中考数学真题汇编解析：数与式、方程不等式

2018年全国各地中考数学真题汇编（四川专版）
数与式、方程不等式
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2018•绵阳）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（）
A．9人B．10人C．11人D．12人
解：设参加酒会的人数为x人，
根据题意得：x（x﹣1）=55，
整理，得：x2﹣x﹣110=0，
解得：x1=11，x2=﹣10（不合题意，舍去）．
答：参加酒会的人数为11人．
故选：C．
2．（2018•乐山）方程组==x+y﹣4的解是（）
A．B．C．D．
解：由题可得，，
消去x，可得
2（4﹣y）=3y，
解得y=2，
把y=2代入2x=3y，可得
x=3，
∴方程组的解为．
故选：D．
3．（2018•乐山）估计+1的值，应在（）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
解：∵≈2.236，
∴+1≈3.236，
故选：C．
4．（2018•南充）不等式x+1≥2x﹣1的解集在数轴上表示为（）
A．B．C．D．
解：移项，得：x﹣2x≥﹣1﹣1，
合并同类项，得：﹣x≥﹣2，
系数化为1，得：x≤2，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
，
故选：B．
5．（2018•绵阳）将全体正奇数排成一个三角形数阵：
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
23 25 27 29
…
按照以上排列的规律，第25行第20个数是（）
A．639 B．637 C．635 D．633
解：根据三角形数阵可知，第n行奇数的个数为n个，
则前n﹣1行奇数的总个数为1+2+3+…+（n﹣1）=个，
则第n行（n≥3）从左向右的第m数为为第+m奇数，
即：1+2[+m﹣1]=n2﹣n+2m﹣1
n=25，m=20，这个数为639，
故选：A．
6．（2018•眉山）若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根，则+的值是（）
A．B．﹣C．﹣D．
解：∵α、β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根，
∴α+β=﹣，αβ=﹣3，
∴+====﹣．
故选：C．
7．（2018•乐山）已知实数a、b满足a+b=2，ab=，则a﹣b=（）
A．1 B．﹣C．±1 D．±
解：∵a+b=2，ab=，
∴（a+b）2=4=a2+2ab+b2，
∴a2+b2=，
∴（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2=1，
∴a﹣b=±1，
故选：C．
8．（2018•眉山）已知关于x的不等式组仅有三个整数解，则a的取值范围是（）
A．≤a＜1 B．≤a≤1 C．＜a≤1 D．a＜1
解：由x＞2a﹣3，
由2x＞3（x﹣2）+5，解得：2a﹣3＜x≤1，
由关于x的不等式组仅有三个整数：
解得﹣2≤2a﹣3＜﹣1，
解得≤a＜1，
故选：A．
9．（2018•南充）已知=3，则代数式的值是（）
A．B．C．D．
解：∵=3，
∴=3，
∴x﹣y=﹣3xy，
则原式=
=
=
=，
故选：D．
10．（2018•眉山）我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（）
A．8% B．9% C．10% D．11%
解：设平均每次下调的百分率为x，由题意，得
6000（1﹣x）2=4860，
解得：x1=0.1，x2=1.9（舍去）．
答：平均每次下调的百分率为10%．
故选：C．
二．填空题（共10小题）
11．（2018•自贡）分解因式：ax2+2axy+ay2=a（x+y）2．
解：原式=a（x2+2xy+y2）…（提取公因式）
=a（x+y）2．…（完全平方公式）
12．（2018•成都）已知a＞0，S1=，S2=﹣S1﹣1，S3=，S4=﹣S3﹣1，S5=，…（即
当n为大于1的奇数时，S n=；当n为大于1的偶数时，S n=﹣S n﹣1﹣1），按此规律，
S2018=﹣．
解：S1=，S2=﹣S1﹣1=﹣﹣1=﹣，S3==﹣，S4=﹣S3﹣1=﹣1=﹣，S5==
﹣（a+1），S6=﹣S5﹣1=（a+1）﹣1=a，S7==，…，
∴S n的值每6个一循环．
∵2018=336×6+2，
∴S2018=S2=﹣．
故答案为：﹣．
13．（2018•自贡）六一儿童节，某幼儿园用100元钱给小朋友买了甲、乙两种不同的玩具共30个，单价分别为2元和4元，则该幼儿园购买了甲、乙两种玩具分别为10、20个．
解：设甲玩具购买x个，乙玩具购买y个，由题意，得
，
解得，
甲玩具购买10个，乙玩具购买20个，
故答案为：10，20．
14．（2018•绵阳）已知a＞b＞0，且++=0，则=．
解：由题意得：2b（b﹣a）+a（b﹣a）+3ab=0，
整理得：2（）2+﹣1=0，
解得=，
∵a＞b＞0，
∴=，
故答案为．
15．（2018•南充）若2n（n≠0）是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根，则m﹣n的值为
．
解：∵2n（n≠0）是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根，
∴4n2﹣4mn+2n=0，
∴4n﹣4m+2=0，
∴m﹣n=．
故答案是：．
16．（2018•达州）若关于x的分式方程=2a无解，则a的值为1或．解：去分母得：
x﹣3a=2a（x﹣3），
整理得：（1﹣2a）x=﹣3a，
当1﹣2a=0时，方程无解，故a=；
当1﹣2a≠0时，x==3时，分式方程无解，
则a=1，
故关于x的分式方程=2a无解，则a的值为：1或．
故答案为：1或．
17．（2018•自贡）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2018个图形共有6055个○．
解：
观察图形可知：
第1个图形共有：1+1×3，
第2个图形共有：1+2×3，
第3个图形共有：1+3×3，
…，
第n个图形共有：1+3n，
∴第2018个图形共有1+3×2018=6055，
故答案为：6055．
18．（2018•眉山）已知关于x的分式方程﹣2=有一个正数解，则k的取值范围为k＜6且k≠3．
解；﹣2=，
方程两边都乘以（x﹣3），得
x=2（x﹣3）+k，
解得x=6﹣k≠3，
关于x的方程程﹣2=有一个正数解，
∴x=6﹣k＞0，
k＜6，且k≠3，
∴k的取值范围是k＜6且k≠3．
故答案为：k＜6且k≠3．
19．（2018•达州）已知：m2﹣2m﹣1=0，n2+2n﹣1=0且mn≠1，则的值为3．解：由n2+2n﹣1=0可知n≠0．
∴1+﹣=0．
∴﹣﹣1=0，
又m2﹣2m﹣1=0，且mn≠1，即m≠．
∴m，是方程x2﹣2x﹣1=0的两根．
∴m+=2．
∴=m+1+=2+1=3，
故答案为：3．
20．（2018•遂宁）A，B两市相距200千米，甲车从A市到B市，乙车从B市到A市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快15千米/小时，且甲车比乙车早半小时到达
目的地．若设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程﹣=．解：设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程：
﹣=．
故答案为：﹣=．
三．解答题（共16小题）
．（2018•攀枝花）解方程：﹣=1．
解：去分母得：3（x﹣3）﹣2（2x+1）=6，
去括号得：3x﹣9﹣4x﹣2=6，
移项得：﹣x=17，
系数化为1得：x=﹣17．
22．（2018•遂宁）计算：（）﹣1+（﹣1）0+2sin45°+|﹣2|．
解：原式=3+1+2×+2﹣
=4++2﹣
=6．
23．（2018•自贡）解不等式组：，并在数轴上表示其解集．
解：解不等式①，得：x≤2；
解不等式②，得：x＞1，
∴不等式组的解集为：1＜x≤2．
将其表示在数轴上，如图所示．
24．（2018•遂宁）先化简，再求值•+．（其中x=1，y=2）解：当x=1，y=2时，
原式=•+
=+
=
=﹣3
25．（2018•攀枝花）攀枝花市出租车的收费标准是：起步价5元（即行驶距离不超过2千米都需付5元车费），超过2千米以后，每增加1千米，加收1.8元（不足1千米按1千米计）．某同学从家乘出租车到学校，付了车费24.8元．求该同学的家到学校的距离在什么范围？
解：设该同学的家到学校的距离是x千米，依题意：
24.8﹣1.8＜5+1.8（x﹣2）≤24.8，
解得：12＜x≤13．
故该同学的家到学校的距离在大于12小于等于13的范围．
26．（2018•遂宁）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a=0的两实数根x1，x2满足x1x2+x1+x2＞0，求a的取值范围．
解：∵该一元二次方程有两个实数根，
∴△=（﹣2）2﹣4×1×a=4﹣4a≥0，
解得：a≤1，
由韦达定理可得x1x2=a，x1+x2=2，
∵x1x2+x1+x2＞0，
∴a+2＞0，
解得：a＞﹣2，
∴﹣2＜a≤1．
27．（2018•宜宾）我市经济技术开发区某智能手机有限公司接到生产300万部智能手机的订单，为了尽快交货，增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了50%，结果比原计划提前5个月完成交货，求每月实际生产智能手机多少万部．
解：设原计划每月生产智能手机x万部，则实际每月生产智能手机（1+50%）x万部，
根据题意得：﹣=5，
解得：x=20，
经检验，x=20是原方程的解，且符合题意，
∴（1+50%）x=30．
答：每月实际生产智能手机30万部．
28．（2018•泸州）某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本．（1）甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？
（2）如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1060元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？解：（1）设乙图书每本价格为x元，则甲图书每本价格是2.5x元，
根据题意可得：﹣=24，
解得：x=20，
经检验得：x=20是原方程的根，
则2.5x=50，
答：乙图书每本价格为20元，则甲图书每本价格是50元；
（2）设购买甲图书本数为x，则购买乙图书的本数为：2x+8，
故50x+20（2x+8）≤1060，
解得：x≤10，
故2x+8≤28，
答：该图书馆最多可以购买28本乙图书．
29．（2018•绵阳）有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货18吨，2辆大货车与6辆小货车一次可以运货17吨．
（1）请问1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货多少吨？
（2）目前有33吨货物需要运输，货运公司拟安排大小货车共计10辆，全部货物一次运完．其中每辆大货车一次运货花费130元，每辆小货车一次运货花费100元，请问货运公司应如何安排车辆最节省费用？
解：（1）设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货x吨和y吨，根据题意可得：
，
解得：，
答：1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货4吨和1.5吨；
（2）设货运公司拟安排大货车m辆，则安排小货车（10﹣m）辆，
根据题意可得：4m+1.5（10﹣m）≥33，
解得：m≥7.2，令m=8，
大货车运费高于小货车，故用大货车少费用就小
则安排方案有：大货车8辆，小货车1辆，
30．（2018•内江）某商场计划购进A，B两种型号的手机，已知每部A型号手机的进价比每部B型号手机进价多500元，每部A型号手机的售价是2500元，每部B型号手机的售价是00元．
（1）若商场用50000元共购进A型号手机10部，B型号手机20部，求A、B两种型号的手机每部进价各是多少元？
（2）为了满足市场需求，商场决定用不超过7.5万元采购A、B两种型号的手机共40部，且A型号手机的数量不少于B型号手机数量的2倍．
①该商场有哪几种进货方式？
②该商场选择哪种进货方式，获得的利润最大？
解：（1）设A、B两种型号的手机每部进价各是x元、y元，
根据题意得：，
解得：，
答：A、B两种型号的手机每部进价各是2000元、1500元；
（2）①设A种型号的手机购进a部，则B种型号的手机购进（40﹣a）部，
根据题意得：，
解得：≤a≤30，
∵a为解集内的正整数，
∴a=27，28，29，30，
∴有4种购机方案：
方案一：A种型号的手机购进27部，则B种型号的手机购进13部；
方案二：A种型号的手机购进28部，则B种型号的手机购进12部；
方案三：A种型号的手机购进29部，则B种型号的手机购进11部；
方案四：A种型号的手机购进30部，则B种型号的手机购进10部；
②设A种型号的手机购进a部时，获得的利润为w元．
根据题意，得w=500a+600（40﹣a）=﹣100a+24000，
∵﹣10＜0，
∴w随a的增大而减小，
∴当a=27时，能获得最大利润．此时w=﹣100×27+24000=300（元）．
因此，购进A种型号的手机27部，购进B种型号的手机13部时，获利最大．
答：购进A种型号的手机27部，购进B种型号的手机13部时获利最大．
31．（2018•乐山）已知关于x的一元二次方程mx2+（1﹣5m）x﹣5=0（m≠0）．
（1）求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
（2）若抛物线y=mx2+（1﹣5m）x﹣5=0与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且|x1﹣x2|=6，求m的值；
（3）若m＞0，点P（a，b）与Q（a+n，b）在（2）中的抛物线上（点P、Q不重合），求代数式4a2﹣n2+8n的值．
（1）证明：由题意可得：
△=（1﹣5m）2﹣4m×（﹣5）
=1+25m2﹣10m+20m
=25m2+10m+1
=（5m+1）2≥0，
故无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
（2）解：mx2+（1﹣5m）x﹣5=0，
解得：x1=﹣，x2=5，
由|x1﹣x2|=6，
得|﹣﹣5|=6，
解得：m=1或m=﹣；
（3）解：由（2）得，当m＞0时，m=1，
此时抛物线为y=x2﹣4x﹣5，其对称轴为：x=2，
由题已知，P，Q关于x=2对称，
∴=2，即2a=4﹣n，
∴4a2﹣n2+8n=（4﹣n）2﹣n2+8n=16．
32．（2018•南充）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值．
解：（1）由题意可知：△=（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m）
=4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）∵x1+x2=2m﹣2，x1x2=m2﹣2m，
∴+=（x1+x2）2﹣2x1x2=10，
∴（2m﹣2）2﹣2（m2﹣2m）=10，
∴m2﹣2m﹣3=0，
∴m=﹣1或m=3
33．（2018•广安）某车行去年A型车的销售总额为6万元，今年每辆车的售价比去年减少400元．若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．
（1）求今年A型车每辆车的售价．
（2）该车行计划新进一批A型车和B型车共45辆，已知A、B型车的进货价格分别是1100元、1400元，今年B型车的销售价格是2000元，要求B型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获得最大利润，最大利润是多少？
解：（1）设今年A型车每辆售价为x元，则去年每辆售价为（x+400）元，
根据题意得：=，
解得：x=1600，
经检验，x=1600是原分式方程的解，
∴今年A型车每辆车售价为1600元．
（2）设今年新进A型车a辆，销售利润为y元，则新进B型车（45﹣a）辆，
根据题意得：y=（1600﹣1100）a+（2000﹣1400）（45﹣a）=﹣100a+27000．
∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，
∴45﹣a≤2a，解得：a≥15．
∵﹣100＜0，
∴y随a的增大而减小，
∴当a=15时，y取最大值，最大值=﹣100×15+27000=25500，此时45﹣a=30．
答：购进15辆A型车、30辆B型车时销售利润最大，最大利润是25500元．
34．（2018•资阳）为了美化市容市貌，政府决定将城区旁边一块162亩的荒地改建为湿地公园，规划公园分为绿化区和休闲区两部分．
（1）若休闲区面积是绿化区面积的20%，求改建后的绿化区和休闲区各有多少亩？（2）经预算，绿化区的改建费用平均每亩35000元，休闲区的改建费用平均每亩25000元，政府计划投入资金不超过550万元，那么绿化区的面积最多可以达到多少亩？
解：（1）设改建后的绿化区面积为x亩．
由题意：x+20%•x=162，
解得x=135，
162﹣135=27，
答：改建后的绿化区面积为135亩和休闲区面积有27亩．
（2）设绿化区的面积为m亩．
由题意：35000m+25000（162﹣m）≤5500000，
解得m≤145，
答：绿化区的面积最多可以达到145亩．
35．（2018•自贡）阅读以下材料：
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地，若a x=N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：x=log a N．比如指数式24=16可以转化为4=log6，对数式2=log525可以转化为52=25．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log a（M•N）=log a M+log a N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；理由如下：
设log a M=m，log a N=n，则M=a m，N=a n
∴M•N=a m•a n=a m+n，由对数的定义得m+n=log a（M•N）
又∵m+n=log a M+log a N
∴log a（M•N）=log a M+log a N
解决以下问题：
（1）将指数43=64转化为对数式3=log464；
（2）证明log a=log a M﹣log a N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）
（3）拓展运用：计算log32+log36﹣log34=1．
解：（1）由题意可得，指数式43=64写成对数式为：3=log 464，
故答案为：3=log 464；
（2）设log a M=m ，log a N=n ，则M=a m ，N=a n ，
∴==a m ﹣n ，由对数的定义得m ﹣n=log a ，
又∵m ﹣n=log a M ﹣log a N ，
∴log a =log a M ﹣log a N （a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0）；
（3）log 32+log 36﹣log 34，
=log 3（2×6÷4），
=log 33，
=1，
故答案为：1．
36．（2018•南充）某销售商准备在南充采购一批丝绸，经调查，用10000元采购A 型丝绸的件数与用8000元采购B 型丝绸的件数相等，一件A 型丝绸进价比一件B 型丝绸进价多100元．
（1）求一件A 型、B 型丝绸的进价分别为多少元？
（2）若销售商购进A 型、B 型丝绸共50件，其中A 型的件数不大于B 型的件数，且不少于16件，设购进A 型丝绸m 件．
①求m 的取值范围．
②已知A 型的售价是800元/件，销售成本为2n 元/件；B 型的售价为600元/件，销售成本为n 元/件．如果50≤n ≤150，求销售这批丝绸的最大利润w （元）与n （元）的函数关系式（每件销售利润=售价﹣进价﹣销售成本）．
解：（1）设B 型丝绸的进价为x 元，则A 型丝绸的进价为（x +100）元
根据题意得：
解得400=x
经检验，400=x 为原方程的解 500100=+x
答：一件A 型、B 型丝绸的进价分别为500元，400元．
（2）①根据题意得：
∴m的取值范围为：16≤m≤25
②设销售这批丝绸的利润为y
根据题意得：
y=（800﹣500﹣2n）m+（600﹣400﹣n）•（50﹣m）
=（100﹣n）m+10000﹣50n
∵50≤n≤150
∴（Ⅰ）当50≤n＜100时，100﹣n＞0
m=25时，
销售这批丝绸的最大利润w=25（100﹣n）+10000﹣50n=﹣75n+12500（Ⅱ）当n=100时，100﹣n=0，
销售这批丝绸的最大利润w=5000
（Ⅲ）当100＜n≤150时，100﹣n＜0
当m=16时，
销售这批丝绸的最大利润w=﹣66n+11600。