2013高中数学 第3章综合素质检测 新人教B版选修2-1

第三章综合素质检测
时间120分钟，满分150分．
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)
1．在以下命题中，不正确的个数为( ) ①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件； ②若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；
③对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝2OA →－2OB →－OC →
，则P ，A ，B ，C 四点共面；
④若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底； ⑤|(a ·b )c |＝|a |·|b |·|c |. A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 [答案] C
[解析] ①|a |－|b |＝|a ＋b |⇒a 与b 的夹角为π，故是充分不必要条件，①不正确．②b 为非零向量，故不正确．③2－2－1≠1，故不正确．④正确．⑤不正确．
2．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1D 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小为( ) A ．60° B ．90° C ．105° D ．75° [答案] B
[解析] 建立空间直角坐标系，可求AB 1→·BC 1→
＝0，故成90°.
3．已知△ABC ，AB →＝c ，AC →＝b ，BC →
＝a ，用向量a ，b ，c 的数量积的形式表示△ABC 为锐角三角形的充要条件是( )
A ．b·c >0，a·c >0
B ．a·b >0，b·c >0，a·c >0
C ．a·b >0
D ．a·b >0，b·c >0，a·c <0 [答案] D
[解析] 由数量积的意义知D 成立．
4．已知点A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，若存在点D, 使得DB ∥AC ，DC ∥AB ，则点
D 的坐标为( )
A ．(－1,1,1)
B ．(－1,1,1)或(1，－1，－1)
C ．(－12，12，12
)
D ．(－12，12，1
2)或(1，－1,1)
[答案] A
[解析] 代入坐标运算得D (－1,1,1)，故选A.
5．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB →与AC →
的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° [答案] C
[解析] ∵A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)， ∴AB →＝(0,3,3)，AC →
＝(－1,1,0)． ∴cos〈AB →，AC →
〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|
＝12，∴选C.
6．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么AM 与所成的角的余弦值是( )
A.32
B.102
C.35
D.25 [答案] D
[解析] 以D 为坐标原点DA →、DC →、DD 1→为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则AM →
＝(0，12，1)，→
＝(1,0，12
)，
∴cos θ＝|AM →·→||AM →||→|＝2
5(用基向量表示亦可)．
7．下面命题中，正确命题的个数为( )
①若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则n 1∥n 2⇔α∥β； ②若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n 1·n 2＝0； ③若n 是平面α的法向量且a 与α共面，则n·a ＝0； ④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 [答案] D
[解析] ①②③④均正确，故选D.
8．直线l 1的方向向量v 1＝(1,0，－1)；直线l 2的方向向量v 2＝(－2,0,2)，则直线l 1 与
l 2的位置关系是( )
A ．平行
B ．相交
C ．异面
D ．平行或重合 [答案] D
[解析] ∵v 2＝－2v 1，∴l 1∥l 2或l 1与l 2重合．
9．如图，在棱长为3的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱A 1B 1、A 1D 1的中点，则点B 到平面AMN 的距离是( )
A.9
2B. 3 C.
65
5
D ．2 [答案] D
[解析] 以AB →、AD →、AA 1→
为x 轴，y 轴，z 轴的正向建立直角坐标系，则M (32，0,3)，N (0，
3
2
，3)，A (0,0,0)， ∵n ＝(2,2，－1)，AB →
＝(3,0,0)，
∴d ＝|AB →
·n ||n |
＝2，故选D.
10．如右图所示，正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，M 是AB 的中点，则sin 〈DB ′→，CM →
〉的值为( )
A.12
B.
21015 C.
23 D.
1115
[答案] B
[解析] 以DA ，DC ，DD ′所在直线分别为x ，y ，z 轴建立直角坐标系Oxyz ，设正方体棱长为1，则D (0,0,0)，B ′(1,1,1)，C (0,1,0)，M (1，12，0)，则DB ′→＝(1,1,1)，CM →
＝(1，
－12，0)，cos 〈DB ′→，CM →〉＝1515，则sin 〈DB ′→，CM →〉＝21015
. 11．在棱长为a 的正方体OABC －O ′A ′B ′C ′中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且
AE ＝BF ，则异面直线A ′F 与C ′E 所成角的大小为( )
A ．锐角
B ．直角
C ．钝角
D ．不确定 [答案] B
[解析] 如图，以O 为原点建立空间直角坐标系，设AE ＝BF ＝x ，则A ′(a,0，a )、F (a －x ，a,0)、C ′(0，a ，a )、E (a ，x,0)，A ′F →
－(－
x ，a ，－a )，C ′E →
＝(a ，x －a ，－a )，
∴A ′F →·C ′E →＝－xa ＋a (x －a )＋a 2
＝0， ∴A ′F ⊥C ′E .
12．如图，四面体P －ABC 中，PC ⊥面ABC ，AB ＝BC ＝CA ＝PC ，那么二面角B －PA －C 的余弦值为( )
A.
22B.33 C.
77D.57
[答案] C
[解析] 如图，作BD ⊥AP 于D ，作CE ⊥AP 于E ，设AB ＝1，则易得CE ＝
22，EP ＝22
，PA ＝PB ＝2，AB ＝1，
可以求得BD ＝
144，ED ＝2
4
. ∵BC →＝BD →＋DE →＋EC →
，
∴BC →2＝BD →2＋DE →2＋2BD →·DE →＋2DE →＋EC →＋2EC →·BD →. ∴EC →·BD →
＝－14
.
∴cos〈BD →，EC →
〉＝－77.
∴cos〈DB →，EC →
〉＝77
.
二、解答题(本大题共4小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．设|m |＝1，|n |＝2,2m ＋n 与m －3n 垂直，a ＝4m －n ，b ＝7m ＋2n ，则〈a ，b 〉＝________. [答案] 0
[解析] 由于(2m ＋n )·(m －3n )＝0， 可得：m ·n ＝－2，则：
a·b ＝(4m －n )·(7m ＋2n )＝18.
|a |＝(4m －n )2
＝6， |b |＝(7m ＋2n )2＝3，
cos 〈a ，b 〉＝186×3
＝1，∴〈a ，b 〉＝0.
14．边长为1的等边三角形ABC 中，沿BC 边高线AD 折起，使得折后二面角B －AD －C 为60°，点D 到平面ABC 的距离为________．
[答案]
1510
[解析] 如图所示，AD ⊥面BCD ，AD ＝
32
， BD ＝CD ＝BC ＝12
，
∴V A －BCD ＝1
3
×AD ×S △BCD .
又∵V A －BCD ＝V D －ABC ＝1
3
×h ×S △ABC ，
15 10.
∴由等积法可解得h＝
15．如图所示，在三棱锥P —ABC 中，PA ＝PB ＝PC ＝BC ，且∠BAC ＝90°，则PA 与底面
ABC 所成的角为________．
[答案] 60°
[解析] 由于PA ＝PB ＝PC ，故P 在底面ABC 上的射影为△ABC 外心，由于△ABC 为直角三角形，不妨设OB ＝OC ，所以OP ⊥面ABC ，∠PAO 为所求角，不妨设BC ＝1，则OA ＝12，cos∠PAO ＝1
2
，所以∠PAO ＝60°.
16．已知A 、B 、C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不为零的实数λ、m 、n 使
λOA →＋mOB →＋nOC →
＝0，那么λ＋m ＋n 的值等于________．
[答案] 0
[解析] 由λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，得OA →
＝－m λ
OB →－n λ
OC →.
根据空间直线的向量参数方程有－m λ－
n
λ
＝1⇔－m －n ＝λ⇒m ＋n ＋λ＝0. 三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中心，求证：B 1O →
是平面PAC 的法向量．
[解析] 建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为 2.则
A (2,0,0)，P (0,0,1)，C (0,2,0)，
B 1(2,2,2)，O (1,1,0)，于是OB 1→
＝
(1,1,2)AC →＝(－2,2,0)，AP →＝(－2，0,1)，由于OB 1→·AC →
＝－2＋2＝0，及OB 1→·AP →＝－2＋2＝0，∴OB 1→⊥AC →，OB 1→⊥AP →.
∴AC ∩AP ＝A ，∴OB 1→
⊥平面PAC ， 即OB 1→
是平面PAC 的法向量．
18．(本小题满分12分)(2009·某某)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝
AA 1＝3，∠ABC ＝60°.
(1)证明：AB ⊥A 1C ；
(2)求二面角A －A 1C －B 的大小．
[解析] (1)证明：∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，∴AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC .
在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝3，∠ABC ＝60°， 由正弦定理得∠ACB ＝30°， ∴∠BAC ＝90°，即AB ⊥AC .
如图，建立空间直角坐标系， 则A (0,0,0)，B (1,0,0)，
C (0，3，0)，A 1(0,0，3)，
∴AB →
＝(1,0,0)，
A 1C →
＝(0，3，－3)，
∵AB →·A 1C →
＝1×0＋0×3＋0×(－3)＝0， ∴AB ⊥A 1C .
(2)解：如图，可取m ＝AB →
＝(1,0,0)为平面AA 1C 的法向量， 设平面A 1BC 的法向量为n ＝(l ，m ，n )，
则BC →·n ＝0，A 1C →·n ＝0，又BC →
＝(－1，3，0)，
∴⎩⎨
⎧
－l ＋3m ＝0，3m －3n ＝0，
∴l ＝3m ，n ＝m .
不妨取m ＝1，则n ＝(3，1,1)．
cos 〈m ，n 〉＝m ·n
|m ||n |
＝
3×1＋1×0＋1×0(3)2
＋12
＋1
2
12＋02
＋0
2
＝15
5
， ∴二面角A －A 1C －B 的大小为arccos
155
. 19．(本小题满分12分)如图的多面体是底面为平行四边形的直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，经平面AEFG 所截后得到的图形，其中∠BAE ＝∠GAD ＝45°，AB ＝2AD ＝2，∠BAD ＝60°.
(1)求证：BD ⊥平面ADG ；
(2)求平面AEFG 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值．
[解析] (1)证明：在△BAD 中，AB ＝2AD ＝2，∠BAD ＝60°，由余弦定理得，BD ＝3， ∴AB 2
＝AD 2
＋BD 2
，∴AD ⊥BD ， 又GD ⊥平面ABCD ，∴GD ⊥BD ，
GD ∩AD ＝D ，∴BD ⊥平面ADG ，
(2)以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ， 则有A (1,0,0)，B (0，3，0)，G (0,0,1)，E (0，3，2)， AG →
＝(－1,0,1)，AE →
＝(－1，3，2)，
设平面AEFG 法向量为m ＝(x ，y ，z )，
则⎩⎪⎨
⎪⎧
m ·AG →＝－x ＋z ＝0
m ·AE →＝－x ＋3y ＋2z ＝0
，取m ＝(1，－
3
3
，1)， 平面ABCD 的一个法向量n ＝DG →
＝(0,0,1)， 设平面AEFG 与面ABCD 所成锐二面角为θ， 则cos θ＝|m·n ||m ||n |＝21
7
.
20．(本小题满分12分)(2008·某某)如图，设动点P 在棱长为1正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，记D 1P
D 1B
＝λ.当∠APC 为钝角时，求λ的取值X 围．
[解析] 由题设可知，以DA →、DC →、DD 1→
为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则有A (1,0,0)，B (1,1,0)，
C (0,1,0)，
D 1(0,0,1)．
由D 1B →＝(1 ,1，－1)得D 1P →＝λD 1B →＝(λ，λ，－λ)，所以PA →＝
PD 1→＋D 1A →
＝(－λ，－λ，λ)＋(1,0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－
1)，
PC →
＝PD 1→＋D 1C →
＝(－λ，－λ，λ)＋(0,1，－1)＝(－λ，1－λ，λ－1)．
显然∠APC 不是平角，所以∠APC 为钝角等价于cos∠APC ＝cos<PA →，PC →
>＝PA →·PC →
|PA →|·|PC →|
<0，
这等价于PA →·PC →
<0，
即(1－λ)(－λ)＋(－λ)(1－λ)＋(λ－1)2
＝(λ－1)(3λ－1)<0，得13
<λ<1.
因此，λ的取值X 围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，1. 21．(本小题满分12分)(2009·某某)如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，AA 1＝2，E ，E 1，F 分别是棱AD ，AA 1，AB 的中点．
(1)证明：直线EE 1∥平面FCC 1； (2)求二面角B －FC 1－C 的余弦值．
[解析] (1)因为F 为AB 的中点，CD ＝2，AB ＝4，AB ∥CD ，所以CD 綊AF ， 因此四边形AFCD 为平行四边形， 所以AD ∥FC .
又CC 1∥DD 1，FC ∩CC 1＝C ，FC ⊂平面FCC 1，CC 1⊂平面FCC 1，所以平面ADD 1A 1∥平面FCC 1， 又EE 1⊂平面ADD 1A 1， 所以EE 1∥平面FCC 1.
(2)过D 作DR ⊥CD 交于AB 于R ，以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系． 则F (3，1,0)，B (3，3,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2) 所以FB →
＝(0,2,0)，
BC 1→＝(－3，－1,2)，DB →
＝(3，3,0)．
由FB ＝CB ＝CD ＝DF ，所以DB ⊥FC . 又CC 1⊥平面ABCD ，
所以DB →
为平面FCC 1的一个法向量．
设平面BFC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则由⎩⎪⎨
⎪⎧
n ⊥FB
→n ⊥BC 1
→得⎩⎨
⎧
(x ，y ，z )，(0，2，0)＝0
(x ，y ，z )，(－3，－1，2)＝0
即⎩⎨
⎧
2y ＝0，－3x －y ＋2z ＝0.
取x ＝1得⎩
⎪⎨⎪
⎧
y ＝0z ＝3
2，因此n ＝⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1，0，
32， 所以cos<DB →
，n >＝DB →·n |DB →||n |＝
33＋9×
1＋34
＝
17
＝
77
. 故所求二面角的余弦值为
7
7
. 22．(本小题满分14分)已知长方体AC 1中，棱AB ＝BC ＝3，棱BB 1＝4，连接B 1C ，过点
B 作B 1
C 的垂线交于CC 1于E ，交B 1C 于F .
(1)求证：A 1C ⊥平面EBD ； (2)求点A 到平面A 1B 1C 的距离； (3)求ED 与平面A 1B 1C 所成角的正弦值．
[解析] (1)证明：建立如右图所示的空间直角坐标系A －xyz ，设|CE |＝a ，则C (3,3,0)，B 1(3,0,4)，A 1(0,0,4)，B (3,0,0)，
D (0,3,0)．设
E (3,3，a )，则A 1C →
＝(3,3，－4)，
B 1
C →
＝(0,3，－4)，BD →
＝(－3,3,0)，BE →
＝(0,3，a )．
word
11 / 11 由BE ⊥B 1C ，知BE →·B 1C →＝0，
即0·0＋3·3＋a ·(－4)＝0.
∴a ＝94
. ∴E (3,3，94)，BE →＝(0,3，94
)， ∴A 1C →·BE →＝0，A 1C →·BD →＝0， ∴A 1C ⊥BE ，A 1C ⊥BD . 又BE ∩BD ＝B ，∴A 1C ⊥平面EBD .
(2)易证A 1B 1⊥BE ，∴BE →可看作平面A 1B 1C 的法向量n ＝(0,3，94
)， CA →＝(－3，－3,0)．
∴点A 到平面A 1B 1C 的距离d ＝|CA →·n ||n |＝125
. (3)ED →＝(－3,0，－94
)， 设ED 与平面A 1B 1C 所成角为θ.
则sin θ＝|DE →·n ||DE →||n |
＝
|3·0＋0·3＋94＋94
|32＋02＋(94)2·02＋32＋(94)2＝925 即ED 与平面A 1B 1C 1所成角的正弦值为925
.。