稀疏矩阵
数组和稀疏矩阵
3
可以使用数组的修改方法来更新元素的值，例如 ：Arrays.setAll(array, i -> i * 2);
02
CATALOGUE
稀疏矩阵基础
稀疏矩阵的定义和特点
稀疏矩阵的定义
在矩阵中，如果大部分元素为零，则 称该矩阵为稀疏矩阵。
稀疏矩阵的特点
矩阵中非零元素数量较少，可以大大 节省存储空间和计算资源。
数组和稀疏矩阵
目录
• 数组基础 • 稀疏矩阵基础 • 数组和稀疏矩阵的关系 • 稀疏矩阵的常用算法 • 稀疏矩阵的应用
01
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数组基础
数组的定义
数组是一种线性数据结构，用于存储具有相同类 型的数据元素。
数组中的每个元素通过索引进行访问，索引从0开 始计数。
数组的大小在创建时确定，并且不能更改。
01
稀疏矩阵的分解算法是将稀疏矩阵分解为若干个更易于处理的矩阵形式，以便 于计算和分析。
02
常见的分解算法包括LU分解、QR分解、SVD分解等。这些分解算法可以将稀 疏矩阵转换为上三角矩阵、正交矩阵或奇异值分解等形式，从而简化计算过程 。
03
LU分解是最常用的分解算法之一，它将矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三 角矩阵的乘积。QR分解则将矩阵转换为正交矩阵和上三角矩阵的乘积。SVD分 解则将矩阵分解为若干个奇异值的乘积。
05
CATALOGUE
稀疏矩阵的应用
在数值计算中的应用
线性方程组求解
稀疏矩阵在求解大规模线性方程 组时具有高效性，因为它们只存 储非零元素，减少了存储空间和 计算复杂度。
数值积分和微分
稀疏矩阵在数值积分和微分计算 中能够提高计算效率，特别是在 处理复杂函数时。
数据结构稀疏矩阵运算器
数据结构稀疏矩阵运算器引言：稀疏矩阵是指在一个二维矩阵中，绝大多数元素为0或者没有意义的元素。
与之相对，稠密矩阵则是指大部分元素都有意义且不为0的矩阵。
稀疏矩阵在很多实际问题中经常出现，例如图论、网络分析、自然语言处理等领域。
为了高效地处理稀疏矩阵的运算，我们可以使用稀疏矩阵运算器。
一、稀疏矩阵的表示方法对于一个m×n的稀疏矩阵，我们可以使用三元组(Triplet)的方式进行表示。
三元组表示法包括三个数组：行数组row、列数组col 和值数组value。
其中，row[i]和col[i]分别表示第i个非零元素的行和列，value[i]表示第i个非零元素的值。
通过这种方式，我们可以用较少的空间来表示一个稀疏矩阵，从而提高运算效率。
二、稀疏矩阵的加法运算稀疏矩阵的加法运算可以通过遍历两个稀疏矩阵的非零元素，并将相同位置的元素相加得到结果。
具体步骤如下：1. 初始化一个新的稀疏矩阵result，其行数和列数与原始稀疏矩阵相同。
2. 遍历两个稀疏矩阵的非零元素，将相同位置的元素相加，并将结果存储在result中。
3. 返回result作为加法运算的结果。
三、稀疏矩阵的乘法运算稀疏矩阵的乘法运算可以通过矩阵的数学定义来实现。
具体步骤如下：1. 初始化一个新的稀疏矩阵result，其行数等于第一个稀疏矩阵的行数，列数等于第二个稀疏矩阵的列数。
2. 遍历第一个稀疏矩阵的每个非零元素，将其与第二个稀疏矩阵相应位置的元素相乘，并将结果累加到result中。
3. 返回result作为乘法运算的结果。
四、稀疏矩阵的转置运算稀疏矩阵的转置运算可以通过交换行数组row和列数组col来实现。
具体步骤如下：1. 初始化一个新的稀疏矩阵result，其行数等于原始稀疏矩阵的列数，列数等于原始稀疏矩阵的行数。
2. 将原始稀疏矩阵的行数组row赋值给result的列数组col，将原始稀疏矩阵的列数组col赋值给result的行数组row。
稀疏矩阵的运算
稀疏矩阵的运算稀疏矩阵的运算稀疏矩阵，顾名思义，就是矩阵中空值（0）的比例很大，而实际值（非0）的比例很小的矩阵。
它最大的特点就是，当矩阵的规模增大时，仍然可以保持较低的计算量。
在运算时，因为稀疏矩阵中的0值没有意义，所以对其做运算也没有意义。
所以，在运算中需要把稀疏矩阵转换成一维数组，即只保留其有意义的值。
下面介绍几种常用的稀疏矩阵运算技术。
1.索引表（Indextable）这是一种最简单的稀疏矩阵运算技术，在使用索引表时，需要用一个额外的一维数组来保存有意义的值的位置，而把矩阵本身变成一维数组，进行运算。
例如矩阵A：1 0 0 0 00 0 0 4 00 0 0 0 00 3 0 0 00 0 7 0 0这样的矩阵，可以使用一个一维数组来保存其有意义的值及其位置，例如：[1,(0,0); 4,(1,3); 3,(3,1); 7,(2,2)]这样，我们就可以用简单的一维数组代替复杂的二维矩阵，从而加快稀疏矩阵的运算。
2.矩阵向量乘法（Matrix-Vector Multiplication）这是一种最常用的稀疏矩阵运算技术，把一个大的稀疏矩阵A和一个向量（一维数组）V作乘法，得到一个新的向量C，即：C = A * V对于上面的实例，可以用以下方式求出C：C[0] = 1 * V[0] + 0 * V[1] + 0 * V[2] + 0 * V[3] + 0 * V[4] C[1] = 0 * V[0] + 0 * V[1] + 0 * V[2] + 4 * V[3] + 0 * V[4] C[2] = 0 * V[0] + 0 * V[1] + 0 * V[2] + 0 * V[3] + 7 * V[4] C[3] = 0 * V[0] + 3 * V[1] + 0 * V[2] + 0 * V[3] + 0 * V[4] 3.矩阵乘法（Matrix Multiplication）矩阵乘法也是一种常用的稀疏矩阵运算技术，把两个大的稀疏矩阵A和B相乘，得到一个新的稀疏矩阵C，即：C = A * B以上就是稀疏矩阵运算的一些常用技术，稀疏矩阵也可以用于解决很多复杂的运算问题，例如机器学习和深度学习等。
稀疏矩阵存储和操作稀疏矩阵的数据结构与算法
稀疏矩阵存储和操作稀疏矩阵的数据结构与算法稀疏矩阵是指具有大量零元素和少量非零元素的矩阵。
在实际场景中，由于矩阵中大部分元素为零，传统的矩阵存储方式会造成大量的存储空间的浪费以及数据操作的低效性。
因此，为了节省存储空间和提高数据操作的效率，稀疏矩阵的存储和操作需要借助于特定的数据结构和算法。
一、稀疏矩阵存储的数据结构1.1. 压缩存储方法压缩存储方法是一种常用的稀疏矩阵存储方法。
常见的压缩存储方法有三种：行压缩法（CSR）、列压缩法（CSC）和十字链表法。
1.1.1. 行压缩法（CSR）行压缩法是通过两个数组来存储稀疏矩阵的非零元素。
第一个数组存储非零元素的值，第二个数组存储非零元素在矩阵中的位置信息。
1.1.2. 列压缩法（CSC）列压缩法与行压缩法相似，只是存储方式不同。
列压缩法是通过两个数组来存储稀疏矩阵的非零元素。
第一个数组存储非零元素的值，第二个数组存储非零元素在矩阵中的位置信息。
1.1.3. 十字链表法十字链表法是一种更加灵活的稀疏矩阵存储方法。
通过使用链表的方式，将非零元素存储在链表中，并且每个非零元素还具有行和列的指针，方便进行数据操作。
1.2. 坐标存储法坐标存储法是一种简单直观的稀疏矩阵存储方法。
每个非零元素包括行列坐标和元素值，通过三元组的方式进行存储。
二、稀疏矩阵的操作算法2.1. 矩阵转置矩阵转置是指将原矩阵的行变为列，列变为行的操作。
对于稀疏矩阵，常用的转置算法为快速转置算法。
该算法通过统计每列非零元素的个数，并根据列的非零元素个数确定每个非零元素转置后的位置。
2.2. 矩阵相加矩阵相加是指将两个矩阵对应位置上的元素相加得到一个新的矩阵。
对于稀疏矩阵的相加，可以遍历两个矩阵的非零元素，对相同位置上的元素进行相加。
2.3. 矩阵相乘矩阵相乘是指将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。
对于稀疏矩阵的相乘，常用的算法为稀疏矩阵乘法算法。
该算法通过遍历两个矩阵的非零元素，按照矩阵乘法的规则计算得到新矩阵的非零元素。
稀疏矩阵名词解释
稀疏矩阵名词解释稀疏矩阵是指元素大多数为零的矩阵，它在许多实际应用中具有重要的作用。
本文将介绍稀疏矩阵的概念、性质和应用，以及与之相关的节点导纳矩阵和支路阻抗矩阵。
下面是本店铺为大家精心编写的4篇《稀疏矩阵名词解释》，供大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
《稀疏矩阵名词解释》篇1一、稀疏矩阵的概念稀疏矩阵是指元素大多数为零的矩阵。
在稀疏矩阵中，只有少数元素是非零的，其余元素均为零。
稀疏矩阵通常用斯密斯 - 马克斯韦尔方程表示，其中零元素占据了大部分，非零元素则代表了某些特定的关系。
二、稀疏矩阵的性质稀疏矩阵具有以下性质：1. 稀疏矩阵的行数和列数很大，但非零元素的数量却很少。
2. 稀疏矩阵的存储空间比密排矩阵小得多，因此可以节省存储空间。
3. 稀疏矩阵的运算速度比密排矩阵快，尤其是在大规模矩阵运算时更为明显。
三、稀疏矩阵的应用稀疏矩阵在许多实际应用中具有重要的作用，如下所述：1. 电路分析：在电路分析中，稀疏矩阵被广泛用于求解电路中的电压和电流。
由于电路中存在大量的零元素，因此使用稀疏矩阵可以大大减少计算量。
2. 数据压缩：在数据压缩中，稀疏矩阵被用于压缩图像和音频数据。
由于图像和音频数据通常具有大量的零元素，因此使用稀疏矩阵可以大大减少数据量。
3. 线性代数：在线性代数中，稀疏矩阵被用于求解线性方程组。
由于稀疏矩阵的特殊结构，可以使用一些高效的算法来求解线性方程组。
四、节点导纳矩阵和支路阻抗矩阵与稀疏矩阵相关的两个重要概念是节点导纳矩阵和支路阻抗矩阵。
节点导纳矩阵是一个规模为 (n-1) 的平方矩阵，其中对角线元素为自导纳，即与节点直接连接的支路上的导纳之和。
互导纳是直接连接两个节点的各支路导纳之和的相反数。
支路阻抗矩阵是一个规模为 b 的平方矩阵，其中包含了每个支路的阻抗。
在纯阻抗网络中，支路阻抗矩阵的对角线元素为自阻抗，非对角线元素为互阻抗。
综上所述，稀疏矩阵是一种具有重要应用价值的矩阵，它可以用于电路分析、数据压缩、线性代数等领域。
稀疏矩阵的相关操作
稀疏矩阵的相关操作稀疏矩阵是指在一个矩阵中，大部分元素为0的矩阵。
由于大部分元素为0，而非零元素相对较少，稀疏矩阵的存储和处理具有一定的特殊性。
在实际应用中，经常需要对稀疏矩阵进行各种操作，如创建、存储、加法操作等。
本文将从这些方面详细介绍稀疏矩阵的相关操作。
首先，创建稀疏矩阵需要考虑两个关键因素：矩阵的大小和矩阵的稀疏性。
对于稀疏矩阵的大小，一般可以使用行数和列数来描述。
而对于稀疏矩阵的稀疏性，可以使用一个矩阵的非零元素个数与总元素个数的比值来衡量，一般使用稀疏度来表示，即非零元素个数与总元素个数的比值。
创建稀疏矩阵的方法有多种，下面介绍两种常见的方法。
1.压缩矩阵存储法：该方法将稀疏矩阵的非零元素和对应的行列坐标存储在一个矩阵中。
其中，矩阵的每一行存储一个非零元素的值、行和列坐标。
这种方法虽然节约了存储空间，但是在进行矩阵操作时，需要通过遍历矩阵找到对应的非零元素，因此操作效率较低。
2.链表存储法：该方法将稀疏矩阵的非零元素和对应的行列坐标存储在一个链表中。
链表的每个节点包含一个非零元素的值、行和列坐标，以及下一个非零元素的指针。
这种方法在插入和删除操作时比较方便，并且节约了存储空间。
但是，链表存储法在进行矩阵操作时，也需要通过遍历链表找到对应的非零元素，因此操作效率较低。
除了创建稀疏矩阵，还需要进行其他各种操作，如稀疏矩阵的加法、乘法、转置等。
稀疏矩阵的乘法操作较为复杂。
对于两个稀疏矩阵相乘，需要根据矩阵乘法的定义，将一个矩阵的行与另一个矩阵的列进行乘法运算，然后将结果相加得到最终的乘积矩阵。
由于稀疏矩阵的特殊性，可以采用稀疏矩阵乘法算法进行计算，提高乘法操作的效率。
1.三元组转置法：该方法将稀疏矩阵的非零元素和对应的行列坐标存储在三个数组中，分别是非零元素数组、行坐标数组和列坐标数组。
将这三个数组的元素进行转置，并重新组合成转置后的稀疏矩阵。
2.链表转置法：该方法将稀疏矩阵的非零元素和对应的行列坐标存储在链表中。
十字链表法存储稀疏矩阵
十字链表法存储稀疏矩阵稀疏矩阵是指其中大部分元素为0的矩阵。
在实际应用中，稀疏矩阵的存储和计算都会带来一定的困扰。
为了高效地存储和处理稀疏矩阵，我们可以使用十字链表法。
一、稀疏矩阵的特点稀疏矩阵的特点是其中绝大部分元素为0，而只有少部分非零元素。
这导致稀疏矩阵的存储空间浪费很大，因此需要采取一种有效的存储方式。
二、十字链表法的原理十字链表法是一种组合了链表和线性表的数据结构，用于存储稀疏矩阵。
具体实现如下：1. 定义两个链表headRow和headCol，分别用于存储行和列的头节点；2. 每个非零元素都对应一个结点，结点包含四个属性：行号row、列号col、值value以及指向下一个非零元素的指针nextRow和nextCol；3. headRow链表中的每个节点都指向同一行中的第一个非零元素，而headCol链表中的每个节点都指向同一列中的第一个非零元素；4. 非零元素之间通过nextRow和nextCol指针连接。
通过这种方式，我们可以高效地存储稀疏矩阵，并可以方便地进行矩阵的各种操作。
三、十字链表法的优势相比于其他存储稀疏矩阵的方法，十字链表法有以下几个优势：1. 空间利用率高：相比于使用二维数组存储，十字链表法可以大大减少存储空间的浪费，因为只存储非零元素及其位置信息；2. 支持高效的插入和删除操作：十字链表法可以通过调整指针的指向来进行插入和删除操作，而不需要像其他方法那样移动元素；3. 方便进行矩阵操作：通过十字链表法，我们可以方便地进行稀疏矩阵的各种操作，如矩阵相加、矩阵相乘等。
四、十字链表法的应用十字链表法广泛地应用于各个领域，特别是在图论和网络分析中。
在这些领域中，往往需要处理大规模的稀疏矩阵，而十字链表法能够有效地解决这个问题。
以社交网络为例，社交网络中的用户和用户之间往往存在着复杂的关系。
通过将社交网络建模成稀疏矩阵，可以使用十字链表法来存储和处理这些关系。
这样可以方便地进行各种网络分析操作，如查找某个用户的好友、计算两个用户之间的距离等。
稀疏矩阵
37
12
1
17
4-6…… Nhomakorabeaa11
Sa[1] Sa[2] Sa[3] Sa[4] Sa[5] Sa[6] Sa[7] Sa[8] a21 a22 a31 a32 a33 a41 a42 a43
2.对角矩阵 压缩的方法:只存储非零元 =
10
5 0 0 0 0
3
7 12 0 0 0
效率分析：时间复杂度为O(M.nu×M.tu)，简写成 O(nu×tu)。当tu~nu×mu时，时间复杂度为 O(nu2×tu)。 (2)按照M.data中三元组的次序进行转置，并将转置后 的三元组置入b中恰当的位置。这种转置方法称为快速 转置。时间复杂度为Onu+tu)。
• (1)按照b.data中三元组的次序依次在a.data中找到相应 的三元组进行转置。换句话说，按照矩阵M的列序来 进行转置。为了找到M的每一列中所有的非零元素， 需要对其三元组表a.data从第一行起整个扫描一遍，由 于M.data是以M的行序为主序来存放每个非零元的， 由此得到的恰是T.data应有的顺序。具体算法描述如 下
0
87 8 -6 0 0
0
0 32 20 33 0
A
6 ´6
| 0 0 | | 0 0 | 10 0 | -3 71 | | 81 0 |
0 0
三对角矩阵
二、稀疏矩阵（Sparse Matrices） m×n矩阵的稀疏因子：δ=t/(m×n) t表示非零元的个数。 t远远小于 m×n(δ=0.05<<1)的矩阵叫稀疏矩阵。
A6 6
1 5 37 = 17 22 45
5 1 12 4 0 17
稀疏矩阵及其压缩存储方法
稀疏矩阵及其压缩存储方法1.基本概念稀疏矩阵(SparseMatrix)：是矩阵中的一种特殊情况，其非零元素的个数远小于零元素的个数。
设m行n列的矩阵含t个非零元素，则称以二维数组表示高阶的稀疏矩阵时，会产生零值元素占的空间很大且进行了很多和零值的运算的问题。
特殊矩阵：值相同的元素或0元素在矩阵中的分布有一定的规律。
如下三角阵、三对角阵、稀疏矩阵。
压缩存储：为多个值相同的元素只分配一个存储空间；对0元素不分配空间。
目的是节省大量存储空间。
n x n的矩阵一般需要n2个存储单元，当为对称矩阵时需要n(1+n)/2个单元。
2.三元组顺序表——压缩存储稀疏矩阵方法之一（顺序存储结构）三元组顺序表又称有序的双下标法，对矩阵中的每个非零元素用三个域分别表示其所在的行号、列号和元素值。
它的特点是，非零元在表中按行序有序存储，因此便于进行依行顺序处理的矩阵运算。
当矩阵中的非0元素少于1/3时即可节省存储空间。
（1）稀疏矩阵的三元组顺序表存储表示方法#define MAXSIZE 12500 // 假设非零元个数的最大值为12500typedef struct {int i, j; // 该非零元的行下标和列下标ElemType e; //非零元素的值} Triple; // 三元组类型typedef union { //共用体Triple data[MAXSIZE + 1]; // 非零元三元组表，data[0]未用int mu, nu, tu; // 矩阵的行数、列数和非零元个数} TSMatrix; // 稀疏矩阵类型（2）求转置矩阵的操作◆用常规的二维数组表示时的算法for (col=1; col<=nu; ++col)for (row=1; row<=mu; ++row)T[col][row] = M[row][col];其时间复杂度为: O(mu×nu)◆用三元组顺序表表示时的快速转置算法Status FastTransposeSMatrix(TSMatrix M, TSMatrix &T) {// 采用三元组顺序表存储表示，求稀疏矩阵M的转置矩阵TT.mu = M.nu; T.nu = M.mu; T.tu = M.tu;if (T.tu) {for (col=1; col<=M.nu; ++col) num[col] = 0;for (t=1; t<=M.tu; ++t) ++num[M.data[t].j];// 求M 中每一列所含非零元的个数cpot[1] = 1;for (col=2; col<=M.nu; ++col) cpot[col] = cpot[col-1] + num[col-1];// 求M 中每一列的第一个非零元在b.data 中的序号for (p=1; p<=M.tu; ++p) { // 转置矩阵元素col = M.data[p].j; q = cpot[col];T.data[q].i =M.data[p].j; T.data[q].j =M.data[p].i;T.data[q].e =M.data[p].e; ++cpot[col];} // for} // ifreturn OK;} // FastTransposeSMatrix其时间复杂度为: O(mu +nu)3.行逻辑联接的顺序表——压缩存储稀疏矩阵方法之二（链接存储结构）行逻辑联接的顺序表：稀疏矩阵中为了随机存取任意一行的非0元素，需要知道每一行的第一个非0元素在三元组表中的位置，因此将上述快速转置算法中指示行信息的辅助数组cpot 固定在稀疏矩阵的存储结构中，让每一行对应一个单链表，每个单链表都有一个表头指针，这种“带行链接信息”的三元组表即称为行逻辑联接的顺序表。
数据结构之特殊矩阵
数据结构之特殊矩阵特殊矩阵在数据结构中是一个重要的概念，它是一种具有特定性质的矩阵，可以帮助我们解决很多实际问题。
在本文中，我将介绍几种常见的特殊矩阵，并说明它们的结构和用途。
一、对称矩阵对称矩阵是指矩阵的第i行第j列元素等于第j行第i列元素的矩阵。
对称矩阵的主对角线上的元素对称于矩阵的副对角线上的元素。
对称矩阵在图论、物理学和金融学领域有广泛的应用。
例如，在图论中，对称矩阵常用于表示图的邻接矩阵。
二、上三角矩阵上三角矩阵是指矩阵的下三角部分全为0的矩阵。
上三角矩阵可以有效地节省内存空间，并且在矩阵乘法和矩阵求逆等运算中具有重要的作用。
在线性代数中，上三角矩阵常用于解线性方程组和计算特征值等问题。
三、下三角矩阵下三角矩阵是指矩阵的上三角部分全为0的矩阵。
和上三角矩阵一样，下三角矩阵也可以节省空间并且在矩阵运算中有重要的应用。
在数值分析中，下三角矩阵常用于求解线性方程组和计算矩阵的特征值。
四、稀疏矩阵稀疏矩阵是指矩阵中绝大部分元素为0的矩阵。
稀疏矩阵在图论、网络分析和机器学习等领域有广泛的应用。
由于稀疏矩阵的元素非常稀少，因此可以有效地压缩存储和加速计算过程。
在处理大规模数据时，稀疏矩阵的优势更加明显。
五、对角矩阵对角矩阵是指除了主对角线上的元素外，其他元素都为0的矩阵。
对角矩阵在线性代数和微分方程等领域有广泛的应用。
由于对角矩阵的特殊结构，其乘法和逆运算非常简单，可以提高计算效率。
六、压缩矩阵压缩矩阵是一种用于存储稀疏矩阵的数据结构。
常见的压缩矩阵包括行压缩矩阵、列压缩矩阵和坐标压缩矩阵。
压缩矩阵可以提高稀疏矩阵的存储效率，并且可以支持基本的矩阵运算。
总结起来，特殊矩阵是指具有一定特性的矩阵，包括对称矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵、稀疏矩阵、对角矩阵和压缩矩阵等。
这些特殊矩阵在不同的领域和问题中有广泛的应用，能够提高存储效率和计算效率，对于处理大规模数据和复杂计算任务具有重要的作用。
因此，了解和熟悉特殊矩阵的结构和特点对于数据结构的学习和实践非常重要。
稀疏矩阵PPT课件
02
03
优化存储结构
并行计算
采用稀疏矩阵的压缩存储方式， 减少存储空间占用，提高数据访 问速度。
利用多核处理器和分布式计算资 源，实现并行计算，提高计算速 度。
线性系统求解优化
预处理技术
采用预处理技术，如共轭梯度法、双共轭梯度法 等，减少迭代次数和计算量。
迭代算法
选择适合的迭代算法，如雅可比迭代法、高斯-赛 德尔迭代法等，提高求解速度。
研究现状
随着大数据和计算技术的发展，稀疏矩阵在许多领域如机器学习、图像处理、数值计算 等得到了广泛应用。目前，稀疏矩阵的研究主要集中在算法优化、存储压缩和并行计算
等方面。
挑战
尽管取得了一些进展，但稀疏矩阵的研究仍面临诸多挑战。例如，如何更有效地压缩存 储稀疏矩阵以提高计算效率，如何设计更高效的算法处理大规模稀疏矩阵等问题仍需进
稀疏矩阵PPT课件
• 稀疏矩阵简介 • 稀疏矩阵的压缩方法 • 稀疏矩阵的运算优化 • 稀疏矩阵库介绍 • 稀疏矩阵应用案例 • 总结与展望
01
稀疏矩阵简介
定义与特性
定义
稀疏矩阵是一种矩阵，其中大部分元 素为零。
特性
稀疏矩阵具有稀疏性，即矩阵中非零 元素的数量远小于矩阵元素总数。
稀疏矩阵的应用场景
MATLAB中的稀疏矩阵处理
MATLAB是一个广泛使用的科学 计算软件，支持丰富的矩阵和向 量操作、数值计算和科学计算等
功能。
MATLAB提供了多种工具箱和函 数用于处理稀疏矩阵，如 spalloc、spdiags等。
MATLAB的语法简单易懂，易于 学习和使用，同时具有高效的性
能和可视化能力。
05
02
稀疏矩阵的压缩方法
数据结构-稀疏矩阵的三元组表存储方法
a .data 3 3 1 -3
b .data 3 2 1 12
a .data 4 3 6 14 求得 b .data 4 2 5 18
a .data 5 a .data 6 a .data 7
4 3 24
5 2 18 无!
6 1 15
b .data 5 b .data 6 b .data 7
31 9 3 4 24 4 6 -7
b .data 2 1 6 15
a .data 3 3 1 -3
b .data 3 2 1 12
a .data 4 3 6 14 求解 b .data 4 2 5 18
a .data 5 4 3 24
b .data 5 3 1 9
a .data 6 5 2 18
b .data 6 3 4 24
a .data 7 6 1 15
a .data 5 4 3 24
b .data 5
a .data 6 5 2 18
b .data 6
a .data 7 6 1 15
b .data 7
a .data 8 6 4 -7
b .data 8
a. mu=6 a. nu=7 a. tu=8 注:p=1:8,寻找 j=col 的a.data[ p]
a .data 2 1 3 9 Col=6 b .data 2 1 6 15
a .data 3 a .data 4
3 1 -3
b .data 3
3 6 14 求得 b .data 4
2 1 12 2 5 18
a .data 5 4 3 24
b .data 5 3 1 9
a .data 6 5 2 18
2.求解步骤分析：p=1:8, q的值=7
稀疏矩阵
稀疏矩阵一、稀疏矩阵的定义对于那些零元素数目远远多于非零元素数目，并且非零元素的分布没有规律的矩阵称为稀疏矩阵（sparse）。
人们无法给出稀疏矩阵的确切定义，一般都只是凭个人的直觉来理解这个概念，即矩阵中非零元素的个数远远小于矩阵元素的总数，并且非零元素没有分布规律。
二、稀疏矩阵的压缩存储由于稀疏矩阵中非零元素较少，零元素较多，因此可以采用只存储非零元素的方法来进行压缩存储。
由于非零元素分布没有任何规律，所以在进行压缩存储的时侯需要存储非零元素值的同时还要存储非零元素在矩阵中的位置，即非零元素所在的行号和列号，也就是在存储某个元素比如aij的值的同时，还需要存储该元素所在的行号i和它的列号j，这样就构成了一个三元组(i,j,aij)的线性表。
三元组可以采用顺序表示方法，也可以采用链式表示方法，这样就产生了对稀疏矩阵的不同压缩存储方式。
a、稀疏矩阵的顺序实现若把稀疏矩阵的三元组线性表按顺序存储结构存储，则称为稀疏矩阵的三元组顺序表。
顺序表中除了存储三元组外，还应该存储矩阵行数、列数和总的非零元素数目，这样才能唯一的确定一个矩阵。
顺序存储结构存储三元组线性表的C#代码如下：代码struct tupletype<T>{public int i;//行号public int j;//列号public T v; //元素值public tupletype(int i, int j, T v){this.i = i;this.j = j;this.v = v;}}class spmatrix<T>{int MAXNUM;//非零元素的最大个数int md;//行数值int nd;//列数值int td;//非零元素的实际个数tupletype<T>[] data;//存储非零元素的值及一个表示矩阵行数、列数和总的非零元素数目的特殊三元组}b、稀疏矩阵的十字链表实现十字链表结点分为三类:表结点，它由五个域组成，其中i和j存储的是结点所在的行和列，right和down存储的是指向十字链表中该结点所有行和列的下一个结点的指针，v用于存放元素值。
最常用的稀疏矩阵
最常用的稀疏矩阵【原创版】目录1.稀疏矩阵的定义与性质2.稀疏矩阵的应用场景3.稀疏矩阵的存储和计算方法4.稀疏矩阵的实例：随机游走问题的转移概率矩阵5.稀疏矩阵的优点与局限性正文一、稀疏矩阵的定义与性质稀疏矩阵是指矩阵中大部分元素为零的矩阵，其非零元素较少。
由于稀疏矩阵的非零元素较少，因此在存储和计算时可以采用特殊的算法和数据结构，以提高计算效率和节省存储空间。
需要注意的是，稀疏矩阵的定义是相对的，具体的阈值取决于具体的应用场景和算法。
二、稀疏矩阵的应用场景稀疏矩阵在许多实际应用中有着广泛的应用，如线性方程组、图像处理、信号处理等领域。
由于稀疏矩阵的非零元素具有局部集中性，因此可以利用这一特点进行压缩存储和快速计算。
三、稀疏矩阵的存储和计算方法1.存储方法：稀疏矩阵的存储方法主要有三种，分别是全存储、行存储和列存储。
全存储是将稀疏矩阵的所有元素都存储在内存中，这种方法虽然简单，但是存储空间较大。
行存储和列存储则是分别按照行和列的顺序存储非零元素，可以节省存储空间，但访问非零元素时需要额外的索引信息。
2.计算方法：针对稀疏矩阵的计算方法，主要有两种，分别是稀疏矩阵向量乘法和稀疏矩阵求解线性方程组。
稀疏矩阵向量乘法是利用稀疏矩阵的局部集中性，通过递归或并行计算等方式，将稀疏矩阵与向量的乘积计算转化为非零元素与向量的乘积计算。
稀疏矩阵求解线性方程组则是利用稀疏矩阵的特性，采用前/后代法等迭代算法，通过较少的计算步骤求解线性方程组。
四、稀疏矩阵的实例：随机游走问题的转移概率矩阵随机游走问题是一个经典的概率论问题，可以用稀疏矩阵来表示转移概率。
假设有一个矩阵，其行表示状态，列表示状态转移，矩阵中的非零元素表示从一个状态转移到另一个状态的概率。
由于随机游走问题的状态转移概率矩阵具有稀疏性，因此可以利用稀疏矩阵的存储和计算方法，提高计算效率和节省存储空间。
五、稀疏矩阵的优点与局限性稀疏矩阵的优点主要体现在存储和计算方面，由于稀疏矩阵的非零元素较少，可以采用特殊的数据结构和算法，提高计算效率和节省存储空间。
稀疏矩阵
三 元 组 表 的 定 义
void Add() //向三元组添加元素 { } void Display() //显示三元组表中的元素 { } void MsTranspose(TsMatrix &T) //元素的转置 { }
};
1.三元组表的初始化
TsMatrix(int r,int c,int term) { rows=r; cols=c; maxterms=r*c; a=new Triple[maxterms]; terms=term; }
16
col 1
col
num[col] cpot[col]
1 2 1
2 2 3
3 2 5
4 1 7
5 1 8
6 0 8
M
规律： cpot[1]＝1 cpot[col] ＝ cpot[col-1] + num[col-1]
0 0 -3 0 0 15
12 0 0 0 18 0
2 3 4 5 6
9 0 0 24 0 0 0 0 0 0 0 -7 0 0 14 0 0 0
p 1 (1, 2, 12) 2 (1, 3, 9 ) 3 (3, 1, -3) 4 (3, 5, 14)
(4, 3, 24) (5, 2, 18) (6, 1, 15) (6, 4, -7)
q 1 2 3 5
三 元 组 表 M
(1, 3, -3) (1, 6, 15) (2 ,1, 12) (2, 5, 18) (3, 1, 9) (3, 4, 24) (4, 6, -7) (5, 3, 14)
14
24 18 15 -7
注意：为更可靠描述， 通常再加一行“总体” 信息：即总行数、总 列数、非零元素总个 数
数据结构-稀疏矩阵的三元组表存储方法
M=
注意:用变量 和 分别存放矩阵 注意 用变量a和 b分别存放矩阵 用变量 M和N (TSMatrix a, TSMatrix b), 和 即要从已知变量a来求得变量 来求得变量b的 即要从已知变量 来求得变量 的 值。
也既要完成如下求解工作： 也既要完成如下求解工作：
a . data p a .data 1 a .data 2 a .data 3 a .data 4 a .data 5 a .data 6 a .data 7 a .data 8 i 1 1 3 3 4 5 6 6 j 2 3 1 6 3 2 1 4 e 12 9 -3 14 24 18 15 -7 b . data q b .data 1 b .data 2 b .data 3 i 1 1 2 2 3 3 4 6 j 3 6 1 5 1 4 6 3 e -3 15 12 18 9 24 -7 14
求得
b .data 4 b .data 5
无!
b .data 6 b .data 7 b .data 8
a. mu=6 a. nu=7 a. tu=8
注:p=1:8,寻找 j=col 的a.data[ p] 寻找
2.求解步骤分析：p=1:8, q的值 求解步骤分析： 的值=8 求解步骤分析 的值
a . data p a .data 1 a .data 2 a .data 3 a .data 4 a .data 5 a .data 6 a .data 7 a .data 8 i 1 1 3 3 4 5 6 6 j 2 3 1 6 3 2 1 4 e 12 9 Col=6 -3 14 求得 24 18 15 -7 b . data q b .data 1 b .data 2 b .data 3 b .data 4 b .data 5 b .data 6 b .data 7 b .data 8 i 1 1 2 2 3 3 4 6 j 3 6 1 5 1 4 6 e -3 15 12 18 9 24 -7
稠密矩阵和稀疏矩阵
稠密矩阵和稀疏矩阵
稠密矩阵是指元素数目相对于矩阵大小较大，而稀疏矩阵则相反。
具体来说，当矩阵中非零元素的比例很高（通常大于1/3
左右）时，可以将其称为稠密矩阵；而当非零元素比例较低时（通常小于1%），则称之为稀疏矩阵。
稠密矩阵的存储和计算往往非常耗费空间和时间，尤其是当矩阵尺寸很大时。
相反，稀疏矩阵的存储和计算往往更加高效，因为大量的零值可以被省略，从而减少了存储空间和计算时间。
在实际应用中，稠密矩阵常见于一些数字处理和科学计算领域，而稀疏矩阵则更常见于图像处理、网络分析等领域。
稀疏矩阵乘法的时间复杂度
稀疏矩阵乘法的时间复杂度稀疏矩阵乘法的时间复杂度，这话一说出来，可能有些朋友会皱眉头，觉得这又是个高深的数学问题。
但实际上，咱们今天就来聊聊这个看似复杂的事情，轻松点、幽默点，让大家都能明白。
咱们得搞清楚什么是稀疏矩阵。
简单来说，就是矩阵里有很多的零。
想象一下，你在看一张桌子，上面摆着很多碗，只有几个碗里有东西，其他的都是空的。
这样的矩阵就叫稀疏矩阵。
其实在很多实际应用中，稀疏矩阵的出现是非常常见的，特别是在图像处理、机器学习和数据科学中，真是频繁得让人惊叹。
咱们就要说说稀疏矩阵乘法。
说白了，就是把两个稀疏矩阵相乘。
这个过程其实可以看作是把两个“空碗”组合成一个新碗，看看能不能得到一些“有料”的东西。
由于很多位置上都是零，所以在计算的时候，咱们可以聪明点，干脆不去计算那些零的位置，省得浪费时间和精力，简直就是把“事半功倍”发挥到了极致。
这一招可不是什么秘笈，很多程序员和数学家都用得特别溜。
不过，时间复杂度是个什么鬼呢？简单来说，它就是描述算法运行时间的一个指标。
想象一下，咱们去市场买菜，时间复杂度就像是你去菜市场的路程，如果你走的路特别绕，那肯定花的时间就长；如果你选了一条最近的路，当然就能更快到达。
对于稀疏矩阵乘法来说，时间复杂度跟矩阵的稀疏程度和大小有很大关系。
一般来说，如果你有一个稀疏矩阵A和B，那么它们相乘的复杂度大致是O(NzA + NzB)，Nz代表非零元素的数量。
别被这些符号吓到，通俗点说，就是看你非零元素有多少，越多计算的时间就越长。
再说个形象的例子。
想象你在一个派对上，跟一群朋友聊得火热，结果你发现只有几个人是你特别想交流的。
如果你一个一个去找他们，肯定费时费力。
但是如果你能知道他们在哪，直接冲过去，效率简直翻倍。
稀疏矩阵乘法就像这样，只找非零的元素，省去那些冗余的时间，简直太聪明了。
再来聊聊实际应用。
稀疏矩阵在机器学习中可是大显身手。
比如在推荐系统里，用户和物品的评分矩阵常常都是稀疏的，绝大多数用户根本没给某些物品打过分。
稀疏矩阵求逆
稀疏矩阵求逆引言稀疏矩阵是指其中大部分元素为零的矩阵。
在实际应用中，许多问题可以用稀疏矩阵表示，例如图论、网络分析、推荐系统等。
求解稀疏矩阵的逆矩阵是一项重要的数学问题，本文将深入探讨稀疏矩阵求逆的方法与应用。
稀疏矩阵的特点稀疏矩阵在实际问题中具有以下特点：1.大部分元素为零，只有少量非零元素；2.矩阵规模大，但非零元素的数量相对较小；3.矩阵的非零元素分布稀疏，通常是呈现某种模式或结构。
正是由于这些特点，稀疏矩阵在求逆时有其独特的挑战与解法。
稀疏矩阵求逆的方法稀疏矩阵求逆的方法有多种，在这里我们将介绍三种常用的方法：特殊矩阵法、LDU 分解法和迭代法。
特殊矩阵法特殊矩阵法是一种基于矩阵的结构特点进行求解的方法。
对于某些具有特殊结构的稀疏矩阵，可以通过构造特殊的矩阵来求得其逆矩阵。
例如，对于对角矩阵和三角矩阵，其逆矩阵可以通过简单的倒数运算得到。
这种方法的优点是计算简单快速，适用于某些特殊类型的稀疏矩阵。
但是，它要求矩阵具有特殊的结构，因此对于一般的稀疏矩阵并不适用。
LDU 分解法LDU 分解法是一种将矩阵分解成下三角矩阵 L、对角矩阵 D 和上三角矩阵 U 的方法。
对于稀疏矩阵，可以利用其非零元素的分布特点，通过找到合适的稀疏模式来实现矩阵的分解。
然后，可以通过求解三个矩阵的逆矩阵来得到原始矩阵的逆矩阵。
LDU 分解法的优点是可以适用于一般的稀疏矩阵，并且求解过程相对稳定。
然而，分解过程可能会涉及大量的计算和存储复杂度，在某些情况下可能不是最优的方法。
迭代法迭代法是一种通过迭代逼近的方法来求解稀疏矩阵的逆矩阵。
迭代法的基本思想是从初始矩阵开始，通过迭代计算逐步逼近最终的逆矩阵。
常见的迭代法包括雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和共轭梯度法等。
这些方法在每一次迭代中通过更新矩阵的元素来逐步逼近逆矩阵。
迭代法的优点是可以灵活地适应不同的稀疏矩阵，并且可以在计算和存储上具有一定的优势。
稀疏矩阵求逆的应用稀疏矩阵求逆在许多领域具有广泛的应用。
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111 题号：05002 第05章题型：单选题难易程度：适中
试题:稀疏矩阵的常见压缩存储方法有（）两种。
A.二维数组和三维数组
B.三元组和散列表
C.三元组和十字链表
D.散列表和十字链表
答案:C
113 题号：05004 第05章题型：单选题难易程度：适中
试题:常对数组进行两种基本操作是（）。
A. 建立和删除
B. 索引和修改
C. 查找和修改
D. 查找与索引
答案:D
115 题号：05006 第05章题型：选择题难易程度：容易
试题：设有一个10阶的对称矩阵A[10][10]，采用压缩方式按行将矩阵中下三角部分的元素存入一维数组B[]中，A[0][0]存入B[0]中，则A[8][5]在B[]中（）位置。
A) 32 B) 33C) 41 D) 65
答案:B
116 题号：05007 第05章题型：选择题难易程度：适中
试题：若对n阶对称矩阵A以行序为主序方式将其下三角形的元素(包括主对角线上所有元素)依次存放于一维数组B［1..(n(n+1))/2］中，则在B中确定aij（i<j）的位置k的关系为( )。
A) i*(i-1)/2+j B) j*(j-1)/2+i C) i*(i+1)/2+j D) j*(j+1)/2+i
答案:B
117 题号：05008 第05章题型：选择题难易程度：容易
试题：对稀疏矩阵进行压缩存储目的是（）。
A) 便于进行矩阵运算B) 便于输入和输出
C) 节省存储空间D) 降低运算的时间复杂度
答案:C
123 题号：05014 第05章题型：选择题难易程度：适中
试题: 设有一个10阶的下三角矩阵A（包括对角线），按照从上到下、从左到右的顺序存储到连续的55个存储单元中，每个数组元素占1个字节的存储空间，则A[5][4]地址与A[0][0]的地址之差为（）。
(A) 10 (B) 19 (C) 28 (D) 55
答案: B
124 题号：05015 第05章题型：选择题难易程度：适中
试题：设有一个二维数组A[m][n]，假设A[0][0]存放位置在644(10)，A[2][2]存放位置在676(10)，每个元素占一个空间，问A[3][3](10)存放在什么位置？脚注(10)表示用10进制表示。
(A)688 (B)678 (C)692 (D)696
答案：C
126 题号：05017 第05章题型：选择题难易程度：容易
试题：对于二位数组A[3][6]，当按行优先存储时，元素A[1][3]是第几个元素？（）。
(A)12 (B) 15 (C) 5 (D) 10
答案：D。