安徽省桐城市2020届高三数学考试试题理【含答案】

安徽省桐城市2020届高三数学考试试题理
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合，，若，则
A. B. C. D.
2.若复数的对应点在直线上，则
A. B. C. D. 1
3.设等比数列的前6项和，且为，的等差中项，则
A. B. 8 C. 10 D. 14
4.2021年广东新高考将实行模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史
二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率为
A. B. C. D.
5.椭圆C：的左、右焦点分别为，，左右顶点分别为A，B，
且，，点，，则的面积为
A. B. C. 1 D. 2
6.点P是所在平面上一点，若，则与的面积之
比是
A. 3
B. 2
C.
D.
7.函数其中，的部分图象如图所示，将函数的
图象向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法不正确的是
A. 函数为奇函数
B. 函数的最大值为3
C. 函数的最小正周期为
D. 函数在上单调递增
8.设函数，则不等式的解集为
A. B. C. D.
9.点D是直角斜边AB上一动点，，，将直角沿着CD翻
折，使与构成直二面角，则翻折后的最小值是
A. B. C. D.
10.设P为双曲线上且在一象限内的点，，分别是双曲
的左、右焦点，，x轴上有一点A且，E是AP的中点，线段与交于点若，则双曲线的离心率是
A. B. C. D.
11.已知函数有4个零点，则a的取值范
围为
A. B. C. D.
12.已知数列满足：，，其中为的前n
项和．若对任意的n均有恒成立，则k的最大整数值为
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.的展开式中的常数项为______用数字作答
14.随机设置某交通路口亮红绿灯的时间，通过对路口交通情况的调查，确定相邻亮一
次红灯与亮一次绿灯的时间之和为90秒，其中亮红灯的时间不超过60秒，亮绿灯的时间不超过50秒，则亮绿灯的时间不小于亮红灯的时间的概率为______．
15.在三棱锥中，，，，则
三棱锥的外接球的表面积为______．
16.已知平面四边形ABCD中，，，，，
的面积为，则______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17.已知数列的前n和为，且满足．
求数列的通项公式；
设，为数列的前n项和，求的最小值．
18.四面体ABCD中，是正三角形，是直角三角形，，
．
证明：平面平面ABC；
过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角的平面角的余弦值．
19.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，其右焦点为，且
点在椭圆C上．
求椭圆C的方程；
设椭圆的左、右顶点分别为A、B，M是椭圆上异于A，B的任意一点，直线MF 交椭圆C于另一点N，直线MB交直线于Q点，求证：A，N，Q三点在同一条直线上．
20.红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害，每只红铃虫的平均产卵
数y和平均温度x有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值．
平均温度21 23 25 27 29 32 35
平均产卵数个7 11 21 24 66 115 325
表中
根据散点图判断，与其中为自然对数的底数哪一个更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型？给出判断即可，不必说明理由并由判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程．计算结果精确到小数点后第三位
根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到以上的概率为．
记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为，求的最大值，并求出相应的概率．
当取最大值时，记该地今后5年中，需要人工防治的次数为X，求X的数学期望和方差．附：对于一组数据，，，其回归直线
想斜率和截距的最小二乘法估计分别为：．
21.已知函数．
讨论的单调性；
设，若函数的两个极值点，恰为函数的两个零点，且的范围是，求实数a的取值范围．
22.以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程
为a为常数，过点、倾斜角为的直线l的参数方程满足，为参数．
求曲线C的普通方程和直线l的参数方程；
若直线l与曲线C相交于A、B两点点P在A、B之间，且，求a 和的值．
23.设函数，．
当时，求不等式的解集；
若关于x的不等式有解，求a的取值范围．
高三数学试卷（理）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
ACBDC DDBBA AB
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13【答案】180 14【答案】 15【答案】 16【答案】2
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17【答案】解：．
时，，化为：，时，，解得．
数列是等比数列，首项为1，公比为3，
．
，，
数列的前n项和．
，
，
化为：．
的最小值是．
18【答案】证明：取AC的中点O，连接BO，OD．
是等边三角形，．
与中，，，，
≌，，
是直角三角形，
是斜边，．
，
，
，
，
又，平面ACD，平面ACD，
平面ACD，
又平面ABC，
平面平面ABC．
解：设点D，B到平面ACE的距离分别为，则，
平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，
．
点E是BD的中点．
建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨取，
则0，，0，，0，，0，，，，0，，，0，，
设平面ADE的法向量为y，，
则，即，取，
同理可得，平面ACE的法向量为1，，
由图可知此二面角的平面角为锐角，二面角的平面角的余弦值为．
19【答案】解：不妨设椭圆的方程为，，
由题意可得，解得，，
故椭圆的方程，
证明：设，，直线MN的方程为，
由方程组，消去x整理得
，，
直线BM的方程可表示为，
将此方程与直线成立，可求得点Q的坐标为，
，，
，，
向量和有公共点A，
，N，Q三点在同一条直线上．
20【答案】解：根据散点图可以判断，
更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型；对两边取自然对数，得；
令，，，得；
因为，
；
所以z关于x的回归方程为；
所以y关于x的回归方程为；
由，得，因为，令，得，解得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以有唯一的极大值为，也是最大值；
所以当时，；
由知，当取最大值时，，
所以，
所以X的数学期望为，
方差为．
21【答案】解：的定义域为，．若，则，当且仅当，时，，
若，令得，．
当时，；
当时，，
所以，当时，单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，单调递减区间为，；单调递增区间为
由知：且，．
又，
，
由得
．
令，
，
，
所以y在上单调递减．
由y的取值范围是，得t的取值范围是，
，
，
又，
故实数a的取值范围是．
22【答案】解：由得，
--------------------------------------分
又，，得，
的普通方程为，
-------------------------------------------------------------------分
过点、倾斜角为的直线l的普通方程为，--------------分
由得
直线l的参数方程为为参数；
-------------------------------------------分
将代入，
得，
----------------------------------------------------------------分
依题意知
则上方程的根、就是交点A、B对应的参数，，
由参数t的几何意义知，得，
点P在A、B之间，，
，即，解得满足，，-------------分
，又，
-------------------------------------------------------------------------分
23【答案】解：当时，，即，
即或或，
所以或，
所以原不等式的解集为；
，
因为不等式有解，
所以，即，
所以a的取值范围是．。