二次函数的应用题--答案

二次函数的应用题--答案
图形面积问题
例1如图1，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围，墙可利用的最大长度为15m，篱笆长为24m，设平行于墙的BC边长为xm．
（1）若围成的花圃面积为40m2时，求BC的长；
（2）如图2，若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且花圃面积为50m2，请你判断能否围成花圃，如果能，求BC的长；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）由于篱笆总长为24m，设平行于墙的BC边长为xm，由此得到AB＝m，接着根据题意列出方程•x＝40，解方程即可求出BC的长；
（2）不能围成花圃；根据（1）得到•x＝50，此方程的判别式Δ＝（﹣24）2﹣4×150＜0，由此得到方程无实数解，所以不能围成花圃；
【解答】解：（1）根据题意得，
AB＝m，
则•x＝40，
∴x1＝20，x2＝4，
因为20＞15，
所以x1＝20舍去答：BC的长为4米；
（2）不能围成花圃，
根据题意得，•x＝50，
方程可化为x2﹣24x+150＝0，
△＝（﹣24）2﹣4×150＜0，
∴方程无实数解，
∴不能围成花圃；
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，同时也利用了矩形的性质，解题时首先正确了解题意，然后根据题意列出方程即可解决问题．
练习1.1 如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．
（1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）已知墙的最大可用长度为8米；
①求所围成花圃的最大面积；
②若所围花圃的面积不小于20平方米，请直接写出x的取值范围．
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【分析】（1）根据面积等于长乘宽即可解决问题．自变量的取值范围可以根据不等式4x＜24解决问题．
（2）①根据条件先确定自变量取值范围，再利用配方法，结合自变量取值范围，确定x取何值时面积最大．
②先求出﹣4x2+24x＝20方程的解，再根据二次函数的图象以及自变量的取值范围，确定x
的取值范围．
【解答】解：（1）S＝x（24﹣4x）＝﹣4x2+24x（0＜x＜6）
（2）①S＝﹣4x2+24x＝﹣4（x﹣3）2+36
由，解得4≤x＜6
当x＝4时，花圃有最大面积为32
②令﹣4x2+24x＝20时，解得x1＝1，x2＝5
∵墙的最大可用长度为8，即24﹣4x≤8
∴x≥4
∴4≤x≤5．
【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是学会构建二次函数解决实际问题，取最值注意自变量的取值范围，属于中考常考题型．
练习1.2为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m 的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．
（1）求AE的长（用x的代数式表示）；
（2）求y与x的函数解析式，并求矩形区域ABCD的面积的最大值；
（3）当矩形区域ABCD的面积108m2时，求BC的长度．
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【分析】（1）根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，可得出AE＝2BE，设BE＝a，则有AE＝2a，根据围网的总长为80m建立方程8a+2x＝80，解方程求出a的值，进而得到AE的长；
（2）根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，可得出AE＝2BE，设BE＝a，则有AE＝2a，表示出a与2a，进而表示出y与x的关系式，并求出x的范围即可；利用二次函数的性质求出y的最大值，以及此时x的值即可；
（3）根据矩形区域ABCD的面积＝AB•BC＝108建立方程3（﹣x+10）•x＝108，解方程即可．
【解答】解：（1）∵三块矩形区域的面积相等，
∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，
∴AE＝2BE，
设BE＝a，则AE＝2a，AB＝3a，
∴8a+2x＝80，
∴a＝﹣x+10，
∴AE＝2a＝﹣x+20；
（2）∵三块矩形区域的面积相等，
∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，
∴AE＝2BE，
设BE＝FC＝am，则AE＝HG＝DF＝2am，
∴DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC＝80，即8a+2x＝80，
∴a＝﹣x+10，3a＝﹣x+30，
∴y＝（﹣x+30）x＝﹣x2+30x，
∵a＝﹣x+10＞0，
∴x＜40，
则y＝﹣x2+30x（0＜x＜40）；
∵y＝﹣x2+30x＝﹣（x﹣20）2+300（0＜x＜40），且二次项系数为﹣＜0，
∴当x＝20时，矩形区域ABCD的面积的最大值为300平方米；
（3）∵矩形区域ABCD的面积＝AB•BC，
∴3（﹣x+10）•x＝108，
整理得x2﹣40x+144＝0，
解得x＝36或4，
即当y＝108m2时，x的值为36或4．
【点评】此题考查了二次函数的应用，以及列代数式，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
最大利润问题
例2我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓，我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台，经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低1元，就可多售出5台，若供货商规定这种空气净化器售价不低于330元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．（1）若某月空气净化器售价降低30元，则该月可售出多少台？
（2）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式，并求出售价x的范围；
（3）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获的利润w（元）最大，最大利润是多少？
【分析】（1）由“原销售量+5×降低的价格＝实际销售量”列式计算可得；
（2）根据销售量＝原来的销售量+降价后的销售量就可以表示出y与x之间的关系式；
（3）由总利润＝每台的利润×数量就可以得出w与x直接的关系式，由二次函数的性质就可以得出结论．
【解答】解：（1）若某月空气净化器售价降低30元，该月可售出200+5×30＝350台．
（2）由题意，得：y＝200+5（400﹣x）＝2200﹣5x．
∵售价不低于330元/台
∴x≥330
∵数量不低于450台
∴y≥450，
2200﹣5x≥450
x≤350
∴330≤x≤350．答：y与x之间的函数关系式为：y＝2200﹣5x；
（3）由题意，得：w＝（x﹣200）（2200﹣5x）＝﹣5（x﹣320）2+72000，
∵a＝﹣5＜0，
∴在对称轴的右侧w随x的增大而减小，
∴x＝330时，w最大＝71500．答：当售价为330元/台时，月利润最大为71500元．【点评】本题考查了二次函数的应用，以及对于一次函数的应用和掌握，而且还应用到将函数变形求函数极值的知识．
练2 某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现：当销售单价25元/件时，每天的销售量是250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；
（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：
方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；
方案B：每件文具的利润不低于25元且不高于29元．
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【分析】（1）根据利润＝（销售单价﹣进价）×销售量，列出函数关系式即可；
（2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值；
（3）分别求出方案A、B中x的取值范围，然后分别求出A、B方案的最大利润，然后进行比较．
【解答】解：（1）由题意得，销售量＝250﹣10（x﹣25）＝﹣10x+500，
则w＝（x﹣20）（﹣10x+500）
＝﹣10x2+700x﹣10000；
（2）w＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250．
∵﹣10＜0，
∴函数图象开口向下，w有最大值，
当x＝35时，w最大＝2250，
故当单价为35元时，该文具每天的利润最大；
（3）A方案利润高．理由如下：
A方案中：20＜x≤30，
故当x＝30时，w有最大值，
此时w A＝2000；
B方案中：
故x的取值范围为：45≤x≤49，
∵函数w＝﹣10（x﹣35）2+2250，对称轴为直线x＝35，
∴当x＝45时，w有最大值，
此时w B＝1250，
∵w A＞w B，
∴A方案利润更高．
【点评】本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x＝﹣时取得．
例3.为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件8元，出厂价为每件10元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y＝﹣10x+500．（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？
（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3410元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？
【分析】（1）把x＝20代入y＝﹣10x+500求出销售的件数，然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价；
（2）由总利润＝销售量•每件纯赚利润，得w＝（x﹣8）（﹣10x+500），把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出最大利润；
（3）令﹣10x2+600x﹣5000＝3000，求出x的值，结合图象求出利润的范围，然后设政府每个月为他承担的总差价为p元，根据一次函数的性质求出总差价的最小值．
【解答】解：（1）当x＝20时，y＝﹣10x+500＝﹣10×20+500＝300，
300×（10﹣8）＝300×2＝600元，
即政府这个月为他承担的总差价为600元．
（2）由题意得，w＝（x﹣8）（﹣10x+500），
＝﹣10x2+580x﹣4000，
＝﹣10（x﹣29）2+4410，
∵a＝﹣10＜0，
∴当x＝29时，w有最大值4410元．
即当销售单价定为29元时，每月可获得最大利润4410元．
（3）由题意得：
﹣10（x﹣29）2+4410≥3410，
当﹣10（x﹣29）2+4410＝3410时，
解得：x1＝19，x2＝39．
∵a＝﹣10＜0，抛物线开口向下，
∴结合图象可知：当19≤x≤39时，每月获得的利润不低于3410元，
又∵x≤25，
∴当19≤x≤25时，每月获得的利润不低于3410元，
设政府每个月为他承担的总差价为p元，
∴p＝（10﹣8）×（﹣10x+500）
＝﹣20x+1000．
∵k＝﹣20＜0．
∴p随x的增大而减小，
∴当x＝25时，p有最小值500元．
即销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元．
【点评】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、利润、销售量、单价之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，学会构建二次函数解决最值问题，学会利用一次函数的增减性，解决实际问题中的最值问题，属于中考常考题型．
练3.1某茶叶经销商以每千克18元的价格购进一批宁波白茶鲜茶叶加工后出售，已知加工过程中质量损耗了40%，该商户对该茶叶试销期间，销售单价不低于成本单价，且每千克获利不得高于成本单价的60%，经试销发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）符合一次函数y＝kx+b，且x＝35时，y＝45；x＝42时，y＝38．
（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；
（2）若该商户每天获得利润（不计加工费用）为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价每千克定为多少元时，商户每天可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商户每天获得利润不低于225元，试确定销售单价x的范围．
【分析】（1）待定系数法求解可得；
（2）先根据加工过程中质量损耗了40%求出宁波白茶的实际成本，再根据“总利润＝每千克的利润×销售量”列出函数解析式，由“销售单价不低于成本单价，且每千克获利不得高于成本单价的60%”得出x的范围，结合二次函数与的性质即可得函数的最值；
（3）根据“每天获得利润不低于225元”列出不等式，解不等式后结合30≤x≤48可得答案．
【解答】解：（1）将x＝35、y＝45和x＝42、y＝38代入y＝kx+b，得：
，
解得：，
∴y＝﹣x+80；
（2）∵这批白茶的实际成本为＝30元/千克，
根据题意得：W＝（x﹣30）（﹣x+80）＝﹣（x﹣55）2+625，
解得30≤x≤48，所以x＝55不在此范围内
当x＝48时，最大利润为576元；
（3）当W＝225时W＝﹣（x﹣55）2+625＝225，
解得x＝35 或x＝75，
由30≤x≤48得，
∴35≤x≤48．
【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式及二次函数的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系是解题的关键．
练3.2某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于65元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如表：
售价x（元/千克）505560
销售量y（千克）1009080（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）设商品每天的总利润为（元），求W与x之间的函数表达式（利润＝收入﹣成本），当售价定为多少元时，每天可获得最大利润？
【分析】（1）待定系数法求解可得；
（2）根据“总利润＝每千克利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式即可得最值情况．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，
将（50，100）、（60，80）代入，得：，
解得：，
∴y＝﹣2x+200 （40≤x≤65）；
（2）W＝（x﹣40）（﹣2x+200）
＝﹣2x2+280x﹣8000
＝﹣2（x﹣70）2+1800，
∵40≤x≤65，
∴当x＝65时，W取得最大值为1750，
答：W与x之间的函数表达式为W＝﹣2x2+280x﹣8000，售价为65元时获得最大利润，最大利润是1750元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质．
拱桥建系问题
例4．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，建立如图所示的平面直角坐标系：
（1）求拱桥所在抛物线的解析式；
（2）当水面下降1m时，则水面的宽度为多少？
【分析】（1）由已知得到点B、C坐标，由待定系数法求函数解析式；
（2）当水位下降1m时，设纵坐标为-1，求出点坐标，得到水面宽度．【解答】解：（1）由题意设抛物线解析式为：y=ax2+b（a≠0）
∵当拱顶离水面2m时，水面宽4m
∴点C（0，2），点B（2，0）
代入得：
⎧⎧⎧2＝b
0＝4a+b
解得a=-1
2
,b=2
∴拱桥所在抛物线的解析式为y=-1
2
x2+2
（2）当水位下降1m时，水位纵坐标为-1
令y=-1
则-1=-1
2
x2+2
解得x=±√6
∴水面宽度为√6-(-√6)=2√6
【点评】本题为二次函数应用题，考查了待定系数法和通过数形结合求出图象上点坐标．
练习4.1 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽4m．
【分析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y＝﹣2代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），
到抛物线解析式得出：a＝﹣0.5，所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，
当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y＝﹣2时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y＝﹣2代入抛物线解析式得出：
﹣2＝﹣0.5x2+2，
解得：x＝±2，所以水面宽度增加到4米，
故答案为：4．
练习4.2如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝﹣x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m．
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
【分析】（1）先确定B点和C点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，再利用配方法确定顶点D的坐标，从而得到点D到地面OA的距离；
（2）由于抛物线的对称轴为直线x＝6，而隧道内设双向行车道，车宽为4m，则货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），然后计算自变量为2或10的函数值，再把函数值与6进行大小比较即可判断．
【解答】解：（1）根据题意得B（0，4），C（3，），
把B（0，4），C（3，）代入y＝﹣x2+bx+c得
解得．
所以抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+4，
则y＝﹣（x﹣6）2+10，
所以D（6，10），
所以拱顶D到地面OA的距离为10m；
（2）由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），
当x＝2或x＝10时，y＝＞6，
所以这辆货车能安全通过．
【点评】本题考查了二次函数的应用：构建二次函数模型解决实际问题，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．。