2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测七基本不等式含解析

课时跟踪检测（七） 基本不等式
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，3上的最小值为( )
A.12
B.4
3
C ．－1
D ．0 解析：选D 因为x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，3，所以f (x )＝x 2
－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x
＝1
x
，即x ＝1时取等号．
所以f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，3上的最小值为0. 2．当x ＞0时，f (x )＝2x
x 2
＋1
的最大值为( ) A ．12 B ．1 C ．2
D ．4
解析：选B ∵x ＞0， ∴f (x )＝
2x x 2＋1＝2x ＋
1x
≤2
2
＝1， 当且仅当x ＝1
x
，即x ＝1时取等号．
3．(2018·哈尔滨二模)若2x ＋2y
＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞)
D ．(－∞，－2]
解析：选D 由1＝2x
＋2y
≥22x
·2y
，变形为2x ＋y
≤1
4
，即x ＋y ≤－2，当且仅当x ＝y 时取等号，故x ＋y 的取值范围是(－∞，－2]．
4．(2018·宁波模拟)已知实数x ，y 均大于零，且x ＋2y ＝4，则log 2x ＋log 2y 的最大值为________．
解析：因为log 2x ＋log 2y ＝log 22xy －1≤log 2⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋2y 22－1＝2－1＝1，
当且仅当x ＝2y ＝2，即x ＝2，y ＝1时等号成立， 所以log 2x ＋log 2y 的最大值为1. 答案：1
5．若正数x ，y 满足4x 2
＋9y 2
＋3xy ＝30，则xy 的最大值为________．
解析：因为x ＞0，y ＞0，所以30＝4x 2
＋9y 2
＋3xy ≥236x 2y 2
＋3xy ＝15xy ， 所以xy ≤2，
当且仅当4x 2＝9y 2
，即x ＝3，y ＝233时等号成立．
故xy 的最大值为2. 答案：2
二保高考，全练题型做到高考达标
1．若a ，b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2
＋b 2
＞2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b
＞2ab
D.b a ＋a
b
≥2
解析：选D ∵ab ＞0，∴a ，b 是同号，∴b a ＋a b ≥2 b a ·a
b
＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立．故选D.
2．已知a ＞0，b ＞0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1
b
，则m ＋n 的最小值
是( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
解析：选B 由题意知ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1
b
＝2a ，∴m ＋n ＝
2(a ＋b )≥4ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时取等号．
3．(2018·义乌六校统测)a ，b ∈R ，且2a ＋3b ＝2，则4a ＋8b
的最小值是( ) A ．2 6 B ．4 2 C ．2 2
D ．4
解析：选D 4a
＋8b
＝22a
＋23b
≥222a ＋3b
＝4，当且仅当a ＝12，b ＝1
3
时取等号，∴最小值
为4.
4．把长为12 cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )
A.
32
3 cm 2
B ．4 cm 2
C ．3 2 cm 2
D ．2 3 cm 2
解析：选 D 设两段长分别为x cm ，(12－x )cm ，则S ＝
34⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32＋34⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 32＝3
36
[]x 2
＋
－x
2
≥336×
x ＋12－x
2
2
＝23，当且仅当x ＝12－x ，即x ＝6时取等号．故
两个正三角形面积之和的最小值为2 3 cm 2
.
5．若实数a ，b 满足1a ＋2
b
＝ab ，则ab 的最小值为( )
A. 2 B ．2 C ．2 2
D ．4
解析：选C 因为1a ＋2
b
＝ab ，所以a ＞0，b ＞0，
由ab ＝1a ＋2
b ≥2
1
a ·2b
＝2
2
ab
，
得ab ≥22(当且仅当b ＝2a 时取等号)， 所以ab 的最小值为2 2.
6．已知a ＞0，b ＞0，若不等式3a ＋1b ≥m
a ＋3
b 恒成立，则m 的最大值为( )
A ．9
B ．12
C ．18
D ．24
解析：选B 由3a ＋1b ≥m
a ＋3b
，
得m ≤(a ＋3b )⎝ ⎛⎭
⎪⎫3a ＋1b ＝9b a
＋a
b
＋6.
又9b a ＋a
b
＋6≥29＋6＝12，
当且仅当9b a ＝a
b
，即a ＝3b 时等号成立，
∴m ≤12，∴m 的最大值为12.
7．(2018·金华十校联考)已知实数x ，y ，z 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
xy ＋2z ＝1，x 2
＋y 2
＋z 2
＝5，
则xyz 的最小值
为________．
解析：由xy ＋2z ＝1，得z ＝
1－xy
2
， 所以5＝x 2
＋y 2
＋⎝ ⎛⎭
⎪
⎫1－xy 22≥2|xy |＋
－xy 2
4
，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
xy ≥0，x 2y 2
＋6xy －19≤0或⎩
⎪⎨⎪⎧
xy ＜0，
x 2y 2
－10xy －19≤0，
解得0≤xy ≤－3＋27或5－211≤xy ＜0， 所以xyz ＝xy ·1－xy 2＝－12⎝
⎛
⎭⎪⎫xy －122＋18.
综上，知当xy ＝5－211时，xyz 取得最小值911－32. 答案：911－32
8．已知函数f (x )＝log a (x ＋4)－1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若直线x m ＋y
n
＝－2(m ＞0，n ＞0)也经过点A ，则3m ＋n 的最小值为________．
解析：由题意，函数f (x )＝log a (x ＋4)－1(a ＞0且a ≠1)， 令x ＋4＝1，可得x ＝－3，代入可得y ＝－1， ∴图象恒过定点A (－3，－1)．
∵直线x m ＋y n
＝－2(m ＞0，n ＞0)也经过点A ， ∴3m ＋1n ＝2，即32m ＋1
2n
＝1. ∴3m ＋n ＝(3m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫32m ＋12n ＝92＋12＋3n 2m ＋3m
2n
≥2
3n 2m ·3m
2n
＋5＝8，当且仅当m ＝n ＝2时，取等号，
∴3m ＋n 的最小值为8. 答案：8
9．(1)当x ＜32时，求函数y ＝x ＋8
2x －3的最大值；
(2)已知a ＞b ＞0，求a 2
＋
16
b
a －b
的最小值． 解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋3
2
＝－⎝
⎛⎭⎪⎫3－2x 2
＋83－2x ＋32.
当x ＜3
2时，有3－2x ＞0，
∴
3－2x 2＋8
3－2x
≥2 3－2x 2·8
3－2x
＝4， 当且仅当3－2x 2＝8
3－2x
，
即x ＝－1
2
时取等号．
于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－5
2
.
(2)∵b (a －b )≤⎝ ⎛⎭⎪
⎫b ＋a －b 22＝a 2
4
，
∴a 2
＋
16b
a －
b ≥a 2
＋64a
2≥16. 当且仅当⎩⎪⎨
⎪⎧
b ＝a －b ，a 2
＝8，
即⎩⎨
⎧
a ＝22，
b ＝2
时取等号．
故a 2
＋
16
b
a －b
的最小值为16. 10．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．
解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2
y
＝1，
又x ＞0，y ＞0， 则1＝8x ＋2
y ≥2
8
x ·2y
＝8xy
，得xy ≥64，
当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.
(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2
y
＝1，
则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫8x ＋2y (x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x
≥10＋2
2x y
·8y
x
＝18.
当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．(2017·浙江新高考研究联盟联考)已知非负实数x ，y 满足2x 2
＋4xy ＋2y 2
＋x 2y 2
＝9，则22(x ＋y )＋xy 的最大值为________．
解析：由题意，得2(x ＋y )2
＋(xy )2
＝9， 记x ＋y ＝m ，xy ＝n ，mn ≥0，
则2m 2＋n 2
＝9，令⎩⎨
⎧
2m ＝3sin θ，n ＝3cos θ，
∵(x ＋y )2
＝x 2
＋y 2
＋2xy ≥4xy ， ∴m 2
≥4n ，即⎝
⎛⎭
⎪⎫32sin θ2
≥12cos θ，
∴sin 2
θ≥83
cos θ，
∴1－cos 2
θ≥83cos θ，解得0≤cos θ≤13，
∴
22
3
≤sin θ≤1. 故22(x ＋y )＋xy ＝22m ＋n ＝6sin θ＋3cos θ＝35sin(θ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝12， 当sin θ＝223，cos θ＝1
3时，22(x ＋y )＋xy 取得最大值，最大值为42＋1.
答案：42＋1
2．(2018·台州三区适应性测试)设a ＞b ＞c ＞0，若不等式log a b
2 018＋log b c
2 018≥
d ·log a c
2 018对所有满足题设的a ，b ，c 均成立，则实数d 的最大值是________．
解析：不等式log a b
2 018＋log b c
2 018≥d ·log a c
2 018⇔lg 2 018lg a －lg b ＋lg 2 018
lg b －lg c
≥d ·lg 2 018lg a －lg c
，
即
1lg a －lg b ＋1lg b －lg c ≥d
lg a －lg c
，
又a ＞b ＞c ＞0，故lg a ＞lg b ＞lg c ， 即d ≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫1lg a －lg b ＋1lg b －lg c (lg a －lg c ) ＝⎝
⎛⎭
⎪⎫1lg a －lg b ＋1lg b －lg c ·(lg a －lg b ＋lg b －lg c ) ＝2＋lg b －lg c lg a －lg b ＋lg a －lg b lg b －lg c .
又
lg b －lg c lg a －lg b ＋lg a －lg b
lg b －lg c
≥2
lg b －lg c lg a －lg b ·lg a －lg b
lg b －lg c
＝2，
当且仅当lg b －lg c lg a －lg b ＝lg a －lg b lg b －lg c ，即ac ＝b 2
时取等号，
故d ≤4，即d max ＝4.
答案：4。