6.2 任意角的三角函数课件-2023届广东省高职高考数学第一轮复习第六章三角函数

A．1
B．－1 C．2
D．－2
【解析】 原式＝ 23× 3－1×0＋ 33× 23＝32＋12＝2，故选 C.
3．已知角 θ 终边上一点的坐标为(3a，4a)(a＜0)，则sintaθn－ θc－os1θ＝
( A)
A．－35
B．－45
3 C.5
4 D.5
【解析】 因为角 θ 终边上一点的坐标为(3a，4a)(a＜0)，令 a＝－1，
D．cosC＝1
对边
【解析】 ∵△ABC 为直角三角形，BC＝3，由勾股定理得 sinC＝斜边
＝BACB＝ 36，cosC＝斜邻边边＝ABCC＝ 33，tanC＝邻对边比＝AABC＝ 22，cosC≠1，
故选 A.
6．已知 α 是第四象限角，|ssiinnαα|＋|ccoossαα|＋|ttaannαα|＝( B )
6 3
＝ 2，
cos(A＋C)＝cos90°＝0，故选 C.
【融会贯通】 在△ABC 中，已知 AC＝ 6，BC＝ 2，B＝90°，
则下列等式正确的是( C )
A．sinA＝
2 2
B．cosA＝
6 2
C．tanA＝
2 2
D．cos(A＋B)＝1
对边
【解析】 ∵△ABC 为直角三角形，由勾股定理 AB＝2，sinA＝斜边＝
【解】 因为 sinθ·tanθ＜0，则有 sinθ＞0 且 tanθ＜0，或 sinθ
＜0 且 tanθ＞0.
① 当 sinθ＞0 时，θ为第一、二象限的角或终边落在 y 轴正半轴上，
当 tanθ＜0 时，θ为第二、四象限的角，
所以 θ 为第二象限的角；
② 当 sinθ＜0 时，θ为第三、四象限的角或终边落在 y 轴负半轴上， 当 tanθ＞0 时，θ为第一、三象限的角，
所以 θ 为第三象限的角．
由①②可知，θ为第二、三象限的角．故选 C.
【融会贯通】 (1)tcaonsθθ＞0，则角 θ 为( D )
A．第一、四象限角 B．第二、三象限角
C．第三、四象限角 D．第一、二象限角
【解析】 ∵tcaonsαα＞0，∴cosθ＞0 且 tan θ＞0 或 cosθ＜0 且 tan θ
A．sinθ＝－153
B．cosθ＝1123
C．tanθ＝－152
D．tanθ＝－152
【分析】 本题考查三角函数定义，sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝xy，
直接套公式即可． 【解】 (1)因为角 α 的终边过点 P(3，－4)，即 x＝3，y＝－4，则 r ＝ x2＋y2＝ 32＋（－4）2＝5，
故 sinα＝yr＝ 22，cosα＝xr＝ 22，tanα＝xy＝1.
【融会贯通】 已知角 α 是终边在直线 y＝－2x 上的角，求 sinα.
解：y＝－2x 直线经过二、四象限，第一种：α 是终边在第二象限，取
终边上一点 P(－1，2)，
则 r＝
x2＋y2＝
5，sinα＝xy＝
2 ＝2 5
5 5.第二种：α
BACC＝ 33，cosA＝斜邻边边＝AABC＝ 36，tanA＝对 邻比 边＝BACB＝ 22，cos(A＋B)≠1.
故选 C.
例5 若sinθ·tanθ＜0，则θ为 ( C )
A．第一、二象限角 B．第一、四象限角 C．第二、三象限角 D．第三、四象限角 【分析】 本题考查象限的符号，熟记即可．
(2)cos300°
___＞___0，tan
2π 3
__＜____0，sin－π3
__＜____0(
填“＞
”或
“ ＜”)． 【解析】 300°是第四象限，cos300°＞0； 2π 3 是第二象限，tan2π 3
＜0；－π3 是第四象限，sin－π3 ＜0
1．已知 sinα＜0，cosα＞0，则角 α 为( D )
5．sinπ2 ＝___1___；cosπ4 ＝____2_2__；tan0＝___0___．
【解析】
π
π
sin 2 ＝1；cos 4 ＝
22；tan0＝0.
6．cos210°__＜____0；sin2π3 ___＞___0；tan－π3 ___＜___0.(填“＞”，
“ ＜”) 【解析】
210°是第三象限，cos210°＜0；2π 3 是第二象限，sin2π 3 ＞
6.2 任意角的三角函数
知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5
1．定义 设点 P(x，y)是角 α 终边上任一点，P 到原点的距离为 r(r＞0)，r＝
x2＋y2，
则 sinα＝yr；cosα＝xr；tanα＝xy.
说明：①三角函数比值只与角 α 的大小有关，即与角的终边位置有关，
而与点 ②当 α
∴sinα＝yr＝－52＝－255；cosα＝xr＝－51＝－ 55；tanα＝xy＝2.
(2)∵角 α 的终边过点 P(－12a，5a)，a 为正值，令 a＝1，x＝－12，y ＝5，∴r＝ x2＋y2＝ （－12）2＋52＝13，
∴sinα＝yr＝153；cosα＝xr＝－1132；tanα＝xy＝－152.
2．设角 α 终边与单位圆相交于点 P－15Hale Waihona Puke ，1123，则 sinα－cosα的值
是( D )
A．－1173
7 B.13
C．－173
17 D.13
【解析】 由题意得，r＝ x2＋y2＝ 12659＋114649＝1，sinα＝yr＝1132，
cosα＝yr＝－153，sinα－cosα＝1123－－153＝1137，故选 D.
又因为 cosα＝ 2＋2 y2＝ 22⇒ 2＋y2＝2⇒y2＝2，则有 y＝－ 2. 故 sinα＝yr＝－ 22，tanα＝xy＝－1.
【融会贯通】 30°角的终边上有一点 P(3，m)，则 m＝____3__．
【解析】 ∵30°角的终边上有一点 P(3，m)，∴tanα＝xy＝m3 ＝ 33，
是终边在第四象
限，取终边上一点 P(1，－2)，则 r＝ 5，sinα＝yr＝－52＝－255.
例3 设 α 是第四象限角，其终边上的一个点是 P( 2，y)，且
cosα＝ 22，求 sinα，tanα.
【分析】 本题考查三角函数定义，要注意象限符合． 【解】 因为 α 是第四象限角，则有 y＜0，点 P 到坐标原点 O 的距 离，则 r＝ x2＋y2＝ 2＋y2.
0；－π3 是第四象限，tan－π3 ＜0.
一、选 择 题
1．已知角 α＝2，则错误的是( A )
A．sinα＜0 B．sinα＞0 C．tanα＜0 D．cosα＜0 【解析】 α＝2≈114.6°， α 是第二象限，所以 sinα＞0，cosα＜0， tanα＜0，故选 A.
ππ ππ ππ 2．sin 3 tan 3 －tan 4 cos 2 ＋tan 6 cos 6 等于( C )
例2 已知角α是第一象限角，并且终边在y＝x上，求 sinα， cosα，tanα. 【分析】 本题考查三角函数定义，可先在终边上取一点，将问题 转化为已知终边上一点求三角函数值．
【解】 因为α是第一象限角，并且终边在 y＝x 上，所以在终边上
任取一点 P(1，1)， 则 r＝ x2＋y2＝ 12＋12＝ 2，
∴m＝ 3.
例4 在△ABC 中，已知 AB＝ 6，BC＝ 3，B＝90°，则下列
等式正确的是( C )
A．sinC＝
2 2
B．cosC＝
6 3
C．tanC＝ 2 D．cos(A＋C)＝1
【分析】 △ABC 为直角三角形，由勾股定理 AC＝3，
sinC＝斜对边边＝AABC＝ 36，cosC＝斜邻边边＝BACC＝ 33，tanC＝对 邻边 边＝ABBC＝
【解析】 当 sinθ＞0 时，θ为第一、二象限的角或终边落在 y 轴正
半轴上，
当 tan θ＞0 时，θ为第一、三象限的角，θ为第一象限，故选 A.
5．在△ABC 中，已知 BC＝3，AC＝ 3，A＝90°，则下列等式正确
的是( A )
A．sinC＝
6 3
B．cosC＝
3 2
C．tanC＝
2 2
4．设点 P(－1，－ 3)是角 α 终边上的任意一点，则 sinα＝____－___23___； cosα＝__－___12___；tanα＝_____3__． 【 解 析 】 因 为 x ＝ － 1 ， y ＝ － 3 ， 所 以 r ＝ x2＋y2 ＝
（－1）2＋（－ 3）2＝2，因此 sinα＝yr＝－ 23，cosα＝xr＝－12， tanα＝xy＝－－13＝ 3.
P
在角
α
的终边上的位置无关． π
终边在 y 轴上，即{α|α＝ 2 ＋kπ，k∈Z}，此时
x＝0，tanα
无意义．
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2．由三角函数的定义可知三角函数的定义域
三角函数
定义域
y＝sinx y＝cosx y＝tanx
R R π {x|x≠ 2 ＋kπ，k∈Z}
3．如果 sinα＞0，则 α 是第__一____或__二____象限角，或是___终__边___在__y__ _轴__的__正__半__轴__上____； 如果 cosα＜0，则 α 是第__二____或__三____象限角，或是___终__边__在__x_轴__ _的__负___半__轴__上____．
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【解析】 由 sinα＜0，可知角 α 可能为第三象限的角、第四象限的角 或终边在 y 轴负半轴上的界限角；由 cosα＞0，可知角 α 可能为第一
象限的角、第四象限的角或终边在 x 轴正半轴上的界限角．所以角 α 为第四象限的角，故选 D.
故 sinα＝yr＝－45；cosα＝xr＝35；tanα＝xy＝－43.
(2)因为角 α 的终边过点 P－153，1123，即 x＝－153，y＝1132， 则 r＝ x2＋y2＝ －1532＋11232＝1，
所以 sinα＝yr＝1123，cosα＝xr＝－153，tanα＝xy＝－152，故选 C.
3.三角函数值的符号
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三角函数在各象限的符号的记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四 余弦． 或用“才”字来记忆：横是正弦，竖是余弦，撇是正切．
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4．特殊角的三角函数值
π
π
π
π
α 0 6 (30°) 4 (45°) 3 (60°) 2 (90°)
则 x＝－3，y＝－4，r＝ x2＋y2＝5，所以 sinθ＝yr＝－45，cosθ＝yr＝ －35，tan θ＝yr＝43，则sitnaθn －θc－os1θ＝－43－45＋153＝－35，故选 A.
4．若 sinα＞0，tanα＞0，那么 α 所属的象限是( A )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
sinα 0
1 2
2 2
3 2
1
cosα 1
3 2
2 2
1 2
0
tanα 0
3 3
1
3
不存在
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5.单位圆与三角函数线 (1)单位圆：以原点为圆心，单位长度 1 为半径的圆，叫做单位圆． (2)三角函数线： 正弦线与余弦线：如图所示，设角 α 的顶点在圆心 O.始边与 x 轴的正 半轴重合，终边与单位圆相交于点 P，过点 P 作 PM 垂直于 x 轴，垂足为 M，则有向线段O→M叫做 角 α 的余弦线，有向线段M→P叫做角 α 的正弦线．
(3)角 α 的终边与单位圆的交点坐标为 P(cosα，sin α)．
学一学
例1 (1)已知角α的终边经过点P(3，－4)，求sinα，cosα和tanα.
(2)已知角 θ 的顶点与原点重合，始边为 x 轴的正半轴．如果 θ 的终边
与单位圆的交点为 P－153，1123，则下列等式正确的是( C )
【融会贯通】 (1)已知角 α 的终边经过点 P(－1，－2)，则 sinα＝ __－__2_5_5____，cosα＝__－__5_5____，tanα＝___2___． (2)已知角 α 的终边经过点 P(－12a，5a)(a＞0)，求 sinα，cosα，tanα.
解：(1)∵角 α 的终边过点 P(－1，－2)，即 x＝－1，y＝－2，∴r＝ x2＋y2 ＝ 5，
＜0.
当 cosθ＞0 时，θ为第一、四象限的角或终边落在 x 轴正半轴上， 当 tan θ＞0 时，θ为第一、三象限的角，
∴θ为第一象限的角； 当 cosθ＜0 时，θ为第二、三象限的角或终边落在 x 轴负半轴上， 当 tan θ＜0 时，θ为第二、四象限的角， ∴θ为第二象限的角． 由①②可知，θ为第一、二象限的角，故选 D.