高三数学一轮复习 阶段检测卷二 三角函数、解三角形与平面向量 理(2021年整理)

2018届高三数学一轮复习阶段检测卷二三角函数、解三角形与平面向量理
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阶段检测二三角函数、解三角
形与平面向量
（时间：120分钟总分:150分)
一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1。

已知sin=cos(π—α）,则α的取
值范围是( ）
A 。

B 。

C. D.
2。

已知角α的顶点在原点,始边为x轴正半
轴,终边与圆心在原点的单位圆交于点A(m ，
m），则sin 2α=（)
A.±
B.
C.±
D.
3.已知向量与向量a=(1，—2)的夹角为
π,｜｜=2,点A的坐标为（3，—4）,则
点B的坐标为( )
A。

(1,0）B。

（0,1）
C.(5，-8) D。

(-8，5)
4.已知tan（α—2β)=-,tan（2α—β）
=-,则tan(α+β）=( ）
A。

- B 。

C.D 。

5。

已知函数f（x）=sin(2x+φ）的图象关
于直线x=对称,则φ可能是（）
A 。

B 。

C 。

—
D 。

6。

已知△ABC的内角A,B，C所对的边分别为a,b,c,且a,b，c成等比数列，若sin
B=，cos B=，则a+c的值为（)
A。

13 B.3C。

37 D.13
7.已知函数f(x)=2sin（ωx+φ），其中ω〉0，—π<φ≤π.若f（x)的最小正周期为6π，且当x=时, f（x)取得最大值,则（）
A.f(x)在区间[—2π，0］上单调递增
B.f(x)在区间[—3π，—π］上单调递增
C.f(x）在区间[3π，5π］上单调递减
D。

f(x)在区间[4π,6π]上单调递减
8.已知△ABC的三个内角A，B,C所对的边分别为a，b,c,向量m=(—sin B,cos
B),n=(sin C，cos C),若m·n=—,且
a=1，b=，则B=（)
A 。

或
B 。

C. D.或9。

已知函数f(x）=sin，若将函数
f（x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x）的图象，则下面结论错误的是（）
A.函数g（x)的最小正周期为10π
B.函数g（x）是偶函数
C。

函数g（x）的图象关于直线x=对称
D。

函数g（x）在区间[π,2π]上是增函数
10。

如图,在菱形ABCD中，
∠BAD=60°,AB=3,DF=DC，AE=AC ，则
·=( ）
A.B 。

— C.- D.
11。

在△ABC中,角A，B，C所对的边分别为
a,b,c,已知=,c=2，则△ABC
面积的最大值为( )
A。

2 B.2C 。

D.
12。

已知O是锐角△ABC的外心，tan A=,
若+=2m,则m=( ）
A 。

B 。

C.3 D.
3456789101112得分
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共
20分.请把正确答案填在题中的横线上）
13。

已知向量a=(1,x），b=(1，x-1），若
（a—2b）⊥a,则|a—2b｜= 。

14.在△ABC中,内角A，B,C所对的边分别是
a，b，c。

已知b—c=a,2sin B=3sin C,则cos A的值为.
15.已知x∈（k∈Z),且
cos=-，则cos 2x的值
是.
16.下图是函数f(x)=Asin
（2x+φ)图象的一部分，对不同的x1，x2∈[a,b］,若f(x1)=f（x2), f
（x1+x2）=,则函数f（x）在区间
内的增区间为。

三、解答题（共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知△ABC是边长为3的等边三角形，=2λ，
=λ，过点F作DF⊥BC，交AC 边于点D,交BA的延长线于点E。

(1）当λ=时，设=a ，=b，用向量a，b 表示；
(2）当λ为何值时,·取得最大值?
18。

(本小题满分12分)在△ABC中,角A，B，C的对边分别为a,b,c,且满足bcos
A=(2c+a)cos（π-B).
(1）求角B的大小;
(2）若b=4，△ABC 的面积为，求a+c的值.19。

（本小题满分12分）已知函数
f(x)=sin x+acos x(x∈R），是函数f（x)的一个零点.
(1)求a的值,并求函数f（x）的单调递增区间;
(2)若α，β∈,且f =,
f =,求sin(α+β)的值.
20。

（本小题满分12分)如图，在一条海防警戒线上的点A、B、C处各有一个水声监测点，B、C两点到A的距离分别为20千米和50千米,某时刻,B收到发自静止目标P的一个声波信号,8秒后A、C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1。

5千米/秒。

(1)设A到P的距离为x千米，用x表示B、C到P的距离,并求x的值;
（2)求P到海防警戒线AC的距离。

21。

(本小题满分12分）已知f(x）=cos
2x+2sin sin(π—x）,x∈R.
(1）求f(x)的最小正周期及单调递增区间;
(2)已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边
分别为a,b，c,且f(A）=—,a=3，求BC 边上的高的最大值。

22.（本小题满分12分)设向量a=（sin x，cos x）,b=（cos x，cos x)，记
f(x)=a·b.
(1)求函数f(x）的最小正周期；
（2)试用“五点法”画出函数f(x ）在区间上的简图,并指出该函数的图象可由y=sin x(x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到；
(3)若函数g(x）=f（x ）+m,x∈的最小值为2,试求出函数g（x)的最大值。

阶段检测二三角函数、解三角形与平
面向量
一、选择题
1.C 根据诱导公式可知，sin=cos α,cos（π-α)=-cos α，
∵sin=cos(π-α)，∴cos α=
-cos α，∴cos α=0,∴α=kπ+,k∈Z. 2.D 由题意得tan α=，则sin
2α=2sin αcos
α====。

3.A 依题意,设=λa,其中λ<0，则有｜
｜=|λa|=—λ|a｜，2=—λ，λ=-2,=-2a=(—2,4),因此点B的坐标是（—2，4)+（3，-4)=（1，0）,故选A.
4.B ∵tan(α-2β)=-，tan(2α—β)=—，∴tan（α+β)=tan［(2α—β）—(α-2β）]==
=,故选B。

5。

B ∵函数f（x)=sin（2x+φ）的图象关于直线x=对称，∴2×+φ=kπ+，k∈Z，∴φ=kπ+，k∈Z，当k=0时，φ=，故选B。

6。

B 因为a,b,c成等比数列，所以b2=ac，
因为sin B=，cos B=，所以ac=13，又b2=a2+c2—2accos B,所以a2+c2=37，所以
（a+c)2=63,所以a+c=3.
7。

A ∵f（x)的最小正周期为6π，
∴ω=，
∵当x=时, f（x)取得最大
值,∴×+φ=+2kπ（k∈Z)，则
φ=+2kπ(k∈Z),
∵—π〈φ≤π，∴φ=，∴f(x）
=2sin。

验证易得,函数f（x)在区间[—2π，0］上单调递增，在区间［-3π，—π］,[3π,5π］上均不单调，在区间[4π，6π]上单调递增。

8.A 由m·n=-，得—sin Bsin C+cos Bcos C=—，即cos(B+C）=-，所以cos A=,由0<A〈π,知A=。

由正弦定理，得sin B==，结合〈B 〈，知B=或
,故选A。

9.C 因为f(x)=sin =sin，所以g
（x)=sin ·+=sin=-
cos x,故函数g(x)的最小正周期T==10π,函数g(x）为偶函数,排除A，B.易知函数g(x)的增区间为［10kπ，10kπ+5π]
（k∈Z），因为［π，2π］⊆[10kπ，
10kπ+5π］(k∈Z），所以函数g(x）在区间［π,2π]上是增函数，排除D。

因为
g=—cos≠±1,故选项C中结论不正确，故选C.
10.B 依题意知,=—++=—
++=—+，=—+=—
+=-+(+)=—，∴·=·=—｜｜2-||2+·=—×32—
×32+×3×3×=-。

11.C 由=得=-，由正弦定理得=-,则(2sin A+sin B）cos C=-cos Bsin C,化简得2sin Acos C=—sin A，又因为角A为△ABC的内角,所以sin A〉0，则cos C=—,C=。

在△ABC中，由余弦定理c2=a2+b2—2abcos C及c=2,得4=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab,解得ab≤,当且仅当a=b时，等号成立，此时A=B=，
则△ABC的面积S=absin
C≤××sin =，所以△ABC面积的最大值为.
12。

A 取AB的中点D,连接OD，则OD⊥AB,∴·=0，
∵=+,∴+=2m =2m(+ )，∴+·=
2m ·+2m ·,∴｜｜2+｜｜|｜cos A=2m·｜|2=m ｜|2，由正弦定理可得·sin2C+sin Bsin Ccos A=msin2C，又在△ABC中,sin C≠0，∴cos B+cos C·cos A=msin C，又cos
B=—cos（A+C）=—cos Acos C+sin Asin C,∴sin Asin C=msin C,∴m=sin A,又tan A=,
∴m=sin A=。

二、填空题
13。

答案
解析由已知得a-2b=（—1,2-x）,由（a—2b)⊥a,得（a-2b）·a=0，即1×（—1）+x(2-x)=0，解得x1=x2=1,所以|a-2b｜
==.
14。

答案—
解析由已知及正弦定理得2b=3c，因为b—c=a，不妨设b=3，c=2，所以a=4，所以cos A==-。

15.答案—
解析∵x∈(k∈Z），
∴cos x—sin x>0，∴sin =（cos x-sin x）>0，∴sin =，又cos
2x=sin =2sin ·cos,∴co s 2x=2××=—。

16。

答案
解析由函数图象可得A=2,由题意知函数的图象关于直线x==对称，所以a+b=x1+x2.易得2a+φ=2kπ，2b+φ=
（2k+1）π,k∈Z,所以a+b=2kπ+—φ.再
根据f(a+b)=2sin（4kπ+π-2φ+φ）=2sin φ=f(x1+x2)=,可得sin φ=，又|φ｜
≤,∴φ=,∴f（x)=2sin。

由
2kπ-≤2x+≤2kπ+（k∈Z),得k π—
≤x≤kπ+（k∈Z)。

令k=0,得f(x）在
区间内的增区间为。

三、解答题
17.解析(1)由题意可知==b ，
==a,故=—=—a+b.
（2)由题意知｜｜=3λ,｜|=3—3λ，
||=6λ，|｜=6λ—3,所以·=
（6λ-3）（3—3λ)cos 60°=-9λ2+λ—,
又λ∈，所以当λ=—=时,·取得最大值.
18。

解析(1)已知bcos A=（2c+a）cos （π-B），由正弦定理及诱导公式可得，sin Bcos A=（-2sin C-sin A）cos
B,∴sin(A+B)=-2sin Ccos B.∴sin C=-2sin Ccos B，又在△ABC中,sin C≠0,∴cos B=-。

∴B=。

(2）由S△ABC =acsin B=，得ac=4.又
b2=a2+c2+ac=（a+c)2—ac=16，∴a+c=2.
19。

解析（1）∵是函数f(x）的一个零点,
∴f =sin +acos=0,∴a=-1,
∴f(x）=sin x-cos x
==sin.
由2k π—≤x—≤2kπ+(k∈Z）得
2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z)，
∴函数f(x ）的单调递增区间是
(k∈Z)。

(2）∵f =,∴sin α=,
∴sin α=。

∵α∈,∴cos
α==。

∵f =，
∴sin =,∴cos β=。

∵β∈,∴sin β==，
∴sin（α+β）=sin αcos β+cos αsin β=×+×=.
20。

解析（1）依题意,有PA=PC=x千米,PB=x-1。

5×8=(x-12）千米。

在△PAB中,AB=20千米，
cos∠PAB==
=，
在△PAC中，AC=50千米，
cos∠PAC===.∵cos∠PAB=cos∠PAC，∴=,解得x=31。

（2)作PD⊥AC于点D,
在△ADP中,由（1）可知cos∠PAD=，
则sin∠PAD==,
∴PD=PAsin∠PAD=31×=4千米.
故静止目标P到海防警戒线AC的距离为
4千米。

21.解析（1)f（x）=cos 2x-sin
2x=—2sin,所以f(x)的最小正周期为π,由2kπ+≤2x—≤2kπ+（k∈Z）得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z）.
所以f(x)的单调递增区间是
(k∈Z).
（2)由f(A）=-,得sin =，因为A∈,所以A=.
由a2=b2+c2-2bccos A，得9=b2+c2—bc,又
b2+c2—bc≥bc，则bc≤9(当且仅当b=c时取等号）,设BC边上的高为h,由三角形等面积法知ah=bcsin A,得3h=bc≤。

所以h≤,即h 的最大值为。

22。

解析（1）f(x ）=a·b=sin xcos x+cos2x=sin 2x+=sin +,∴函数f(x）的最小正周期T==π.
（2)列表如下：
2018届高三数学一轮复习 阶段检测卷二 三角函数、解三角形与平面向量 理
11 — 0 π 2π 0 1 0 —1 0 - 描点,连线得函数f （x)在区间上
的简图如图所示：
y=sin x 的图象向左平移个单位长度得到y=sin 的图象,再保持纵坐标不变，横坐标缩短为原来的得到y=sin 的图象,
最后将y=sin 的图象向上平移个单
位长度得到f （x ）=sin +的图象.
（3)g （x ）=f(x)+m=sin ++m 。

∵x∈,∴2x+∈， ∴sin ∈， ∴g(x）的值域为.
又函数g(x)的最小值为2, ∴m=2,∴g(x）max =+m=。