3.7 正多边形(4大题型)(分层练习)(解析版)

第3章圆的基本性质3.7 正多边形（4大题型）
分层练习
【答案】十二/12
【分析】连接OB 、OC COD BOC BOD Ð=Ð-Ð【详解】解：连接OB ∵ABC V 是O e 的内接正三角形，
∴3603
120AOC ==°Ð°∵BD 是O e 的内接正四边形的一边，
∴360904
BOD °Ð==°
30COD BOC BOD Ð=Ð-Ð=°．
5．（2020·江苏盐城·统考中考真题）如图，点O 是正方形，ABCD 的中心．
（1）用直尺和圆规在正方形内部作一点E （异于点O ），使得;EB EC =（保留作图痕迹，不写作法）（2）连接,EB EC EO 、、求证：BEO CEO Ð=Ð．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）作BC 的垂直平分线即可求解；
（2）根据题意证明EBO ECO @V V 即可求解．
【详解】()1如图所示，点E 即为所求．
()2连接OB OC
、由()1得：EB EC
=O Q 是正方形ABCD 中心，
,
OB OC \=
\在EBO V 和ECO V 中，
EB EC EO EO
OB OC =ìï=íï=î
(),
EBO ECO SSS \@V V BEO CEO \Ð=Ð．
【点睛】此题主要考查正方形的性质与证明，解题的关键是熟知正方形的性质、垂直平分线的作图及全等三角形的判定与性质．考查题型二 已知正多边形的中心角求边数
1．（2023·浙江·九年级假期作业）如果一个正多边形的中心角是45°，那么这个正多边形的边数是（ ）A ．
4
B ．6
C ．8
D ．10
【答案】C
【分析】根据正多边形的边数=周角¸中心角，计算即可得解．
【详解】解：这个多边形的边数是360458°¸°=，
故选：C ．
【点睛】本题考查的是正多边形的中心角的有关计算；熟记正多边形的中心角与边数的关系是解题的关键．
2．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，边AB 是⊙O 内接正六边形的一边，点C 在 AB 上，且BC 是⊙O 内接正八边形的一边，若AC 是⊙O 内接正n 边形的一边，则n 的值是（ ）A ．6
B ．12
C ．24
D ．48
【答案】C 【分析】根据中心角的度数=360°÷边数，列式计算分别求出∠AOB ，∠BOC 的度数，可得∠AOC =15°，然后根据边数n =360°÷中心角即可求得答案．
A．6cm B．【答案】C
【分析】如图，正六边形由等边三角形的性质得出
由正多边形的性质得，点Q点是正六边形ABCDEF O
\==== OA OB OC OD OE Q360660Ð=°¸=°
AOB
A．22.5°B．
【答案】D
【分析】连接OD、OE、
求出DPF
Ð的度数．
【详解】解：连接OD、OE
∵八边形ABCDEFGH是正八边形，
∴
360
45
8
DOE EOF
°
Ð=Ð==
∴DOF DOE EOF Ð=Ð+Ð=
∴
1
45
2
DPF DOF
Ð=Ð=°，
故选：D．
【答案】422
+【分析】如图，剪去部分为2x =，进而得出正方形边长．
【详解】解：如图，剪去部分为
【答案】24
【分析】设外接圆圆心为平分BAE Ð，可得BAF Ð60FAG Ð=°，(5BAE Ð=
根据正五边形、正三角形和外接圆的性质可知：
∴
1
2
OAF FAG
Ð=Ð，OAB
Ð
∴BAF OAB OAF Ð=Ð-Ð
∵AFG
V是等边三角形，
（2）连接BD ，根据圆内接四边形的性质便可求得结果．
【详解】（1）∵点A 、B 、C 、D 都在O e 上，
∴ AC BC
=，∵30ADC Ð=°，
∴260AOC BOC ADC Ð=Ð=Ð=°，
∴BOC Ð的度数为60°
（2）连接BD ，
∵ AC BC
=，∴30ADC BDC Ð=Ð=°，
∴60ADB Ð=°，
∵180ACB ADB Ð+Ð=°，
∴120ACB Ð=°
【点睛】此题主要考查了圆内接四边形的性质，垂径定理和圆周角定理等知识，熟练掌握和运用这些定理是解决问题的关键．
考查题型四 尺规作图—正多边形
1．（2023春·九年级课时练习）如图，AD 为O e 直径，作O e 的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下：
甲：1．作OA 的中垂线，交圆O 于,B F 两点；2．作OD 的中垂线，交圆O 于,C E 两点；3．顺次连接,,,,,A B C D E F 六个点，六边形即为所求；
乙：1．以A 为圆心，OA 长为半径作弧，交圆O 于,B F 两点；2．以D 为圆心，OA 长为半径作弧，交圆O 于,C E 两点；3．顺次连接,,,,,A B C D E F 六个点，六边形即为所求；
对于甲、乙两人的作法，可判断（ ）
A．甲对，乙不对B．甲不对，乙对
C．两人都不对D．两人都对
【答案】D
【分析】甲的做法可根据对角线垂直平分可得到菱形，从而可得到多个等边三角形和各边和各角相等，乙的做法根据等边三角的内角是60°，求出其他等边三角形，从而得出各边和各角相等
【详解】甲：
∵BF是中垂线
∴四边形OCDE是菱形
∴△OCD,△OED都是等边三角形，
同理可得△OAB,△OAF也是等边三角形
∴∠BOC=∠EOF=60°
∴△OBC,△OEF也是等边三角形
∴内接六边形各边相等，各角相等都是120°
∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形
乙：∵AB =AO =BO =AF =OF
∴△OAB, △OAF 都是等边三角形，
同理可得△OCD, △OED 也是等边三角形
∴∠BOC =∠EOF =60°
∴△OBC, △OEF 也是等边三角形
∴内接六边形各边相等，各角相等都是120°
∴圆内接六边形ABCDEF 是正六边形
故选D
【点睛】本题关键是想办法求出多个等边三角形，从而得到六条边，六个角也相等
2．（2023春·九年级课时练习）如图，已知O e ，求作：O e 内接正六边形ABCDEF ，以下是甲、乙两同学的作业：
甲：①先作直径BE ；②作OB 的垂直平分线交O e 于点A 、C ；③作OE 的垂直平分线交O e 于点D 、
F ；④依次连接®®®®®®A B C D E F A ，六边形ABCDEF 即为所求（如图①）
．乙：①O e 上任取点A ，以点A 为圆心，OA 为半径画弧，交O e 于点B ；②以点B 为圆心，OA 为半径画弧交O e 于点C ；③同上述作图方法逆时针作出点D 、E 、F ；④依次连接
®®®®®®A B C D E F A ，多边形ABCDEF 即为正六边形（如图②）．
对于两人的作业，下列说法正确的是（ ）
A．两人都不对B．甲对，乙不对C．两人都对D．甲不对，乙对【答案】C
【答案】25π见解析
【分析】（1）利用勾股定理可得答案；（2）延长AO交网格线于点D，取格点
V即为所求．
接AB，AC，则ABC
故答案为：如图，延长AO 交网格线于点D ，取格点E ，F ，连接EF 交网格线于点G ，作直线DG 交O e 于点B ，C ，连接AB ，AC ，则ABC V 即为所求．
【点睛】此题考查作图中的复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型．
5．（2022秋·河北秦皇岛·八年级统考期末）作图题：
(1)尺规作图：如图，已知线段AB ．求作线段AB 的垂直平分线l ，交AB 于点C ；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
(2)已知六边形ABCDEF 是以O 为中心的中心对称图形（如图），画出六边形ABCDEF 的全部图形，并写出作法．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）分别以A 、B 为圆心，以任意长为半径，两圆相交于两点，连接此两点即可．
（2）连接CO 并延长到F ，使得OF OC =，连接BO 并延长到E ，使得OE OB =，连接DE ，EF ，AF 即可
得出图形．
【详解】（1）（2）解：连接CO 并延长到F ，使得OF OC =，连接BO 并延长到E ，使得OE OB =，连接DE ，EF ，AF ，
如图，六边形ABCDEF 即为所求．
【点睛】本题考查了垂直平分线的作法，也考查了中心对称图形的性质，熟练掌握一般作图的步骤是解题的关键．
1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF ）放在平面直角坐标系中，若AB 与x 轴垂直，顶点A 的坐标为(2,3)-，则顶点C 的坐标为（ ）
A ．()2323
,-B 【答案】B 【分析】连接BD 、CF 【详解】解：如图，连接
∵正六边形)ABCDEF 边长为∴()2,1B ，
在Rt BCM △中，4BC =，114222CM BC \==´=，BM
A ．30°
B ．【答案】B 【分析】连接O
C O
D OQ ，，60COD DO
E Ð=Ð=°，DOQ Ð
∵正六边形ABCDEF 内接于e ∴360606COD DOE °Ð=Ð==∴COQ COD DOQ Ð=Ð+Ð=1
A ．1
4【答案】B
【分析】如图，连接AD 上的高为h ，则DF 的长为
设正六边形ABCDEF 的边长为∴正六边形ABCDEF 的面积为12AFO COD S S S =+=V V 阴影
A ．13,22æö-ç÷ç÷èø
B ．()1,0【答案】A
【分析】根据()1,0A ，O 为正六边形的中心，可得1122AG OA ==，32BG =，可得C
则1122AG OA ==，32
BG =，13,22B æö\ç÷ç÷èø
，
A．3【答案】C
【答案】72°
【分析】根据对称的定义得出当点得108CDE CD ED Ð=°=，腰三角形的性质和三角形外角的定义进行计算即可得到答案．
【详解】解：如图，当点 Q 五边形ABCDE 是正五边形，
()521805
CDE -´°\Ð==180DCE DEC °-\Ð=Ð=Q F 是CD 的中点，
【答案】1.8(答案不唯一，只要符合【分析】设正六边形的中心为为等边三角形，然后可由勾股定理求出32AM ££，最后在这个的范围内取一个值即可．
【详解】解：设正六边形的中心为 根据正六边形的性质得：AD AOF \V 为等边三角形，
1AF OA OF \===，OFA Ð同理：OEF V 为等边三角形，
60OFE Ð\=°
-，
【答案】()33
【分析】根据正六边形的性质可得出点A与点规律即可得出答案．
【详解】解：如图，由题意可知，点A与点B
∵点A的坐标为(3-，
-，
∴点B的坐标为(33
【答案】54或126
【分析】由正五边形的性质，圆周角定理，得到
Ð的度数，分两种情况，即可解决问题．从而求出BOF
，
【详解】解：连接OC OD
∵正五边形ABCDE的五个顶点把圆五等分，
∴
=，
ABC AED
Ð=Ð，
∴AOC AOD
Ð=Ð，
∴COF DOF
=，
∵OC OD
^，
∴直径AF CD
【答案】6
【分析】过点P 作PD ^角形的性质得到OA OB =出6BE BO EO =+=，然后利用
(1)求FAE
Ð的度数；
(1)连接24A A ，直接写出24A A 和4PA (2)求证：67PA PA =；
(3)求46A A 的长；
Q 将该圆等分成8份，
26A A \是O e 的直径，
24690A A A \Ð=°，
244A A PA \^，
717466A A A A
A A
\Ð=Ð，
O Qe 被8等分，
4716A A A A \=，1746A A A A =，
在16PA A △与47PA A △中，
164716
47PA A PA A P P
A A A A Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴()1647AAS PA A PA A △≌△\，
14PA PA \=，
117446PA A A PA A A \--=，即67PA PA =；
（3）解：如图：连接4OA ，5OA ，6OA ，
O Qe 被8等分，
∴4565360845A OA A OA Ð=Ð=°¸=°，
46456590A OA A OA A OA \Ð+Ð==а，
464OA OA Q ==，
(1)如图，正六边形ABCDEF 中，G 为BC 上一点，连接AG ．
①连接AE GE ，，在图1中过点G 画一条直线平分GEA V 的面积；
②将ABG V 绕点O 旋转180°得到，在图2中画出旋转中心点O 和△(2)如图3，弦AB BC CD ，，是O e 的内接正五边形ABCDE 的三条边，在图中画出另两边
②如图即为所求．
（2）解：如图即为所求．
【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，以及中心对称图形的做法，也考查了正六边形的性质、正五边形的性质．
14．（2023·河北邯郸·校考二模）摩天轮（如图1）是游乐场中受欢迎的游乐设施之一，它可以看作一个大圆和六个全等的小圆组成（如图2），大圆绕着圆心O匀速旋转，小圆通过顶部挂点（如点P，N）均匀分布在大圆圆周上，由于重力作用，挂点和小圆圆心连线（如PQ）始终垂直于水平线l．
∵挂点和小圆圆心连线始终垂直于水平线∴K ，H ，T 在同一直线上，
∵圆心H 到l 的距离等于OA ∴HT OA =，
∵HT l ^，OA l ^，
由（1）知60NOP Ð=°，
又∵10ON OP ==，
∴NOP V 是等边三角形，
∴10NP ON OP ===，
∵小圆的半径都为1，挂点和小圆圆心连线始终垂直于水平线1MN PQ ==MN PQ ∥。