2019版高考数学(理)高分计划一轮狂刷练：第2章 函数、导数及其应用 2-5a Word版含解析

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一、选择题 1．给出下列结论： ①当a <0
时，(a 2)
32
＝a 3；
②n
a n ＝|a |(n >1，n ∈N *，n 为偶数)；
③函数f (x )＝(x －2)
1
2 －(3x －7)0
的定义域是
⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x |x ≥2且x ≠73； ④若5a ＝0.3,0.7b ＝0.8，则ab >0. 其中正确的是( )
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．②④ 答案 B 解析 当a <0
时，(a 2)
3
2
>0，a 3<0，故①错误，∵a <0，b >0，∴
ab <0，④错误．故选B.
2．设函数y ＝x 3
与y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －2
的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在
的区间是( )
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(3,4) 答案 B
解析 如图所示，设f (x )＝x 3
，g (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －2
，
f (0)<
g (0)，f (1)<g (1)，f (2)>g (2)，f (3)>g (3)，…. ∴x 0∈(1,2)．故选B.
3．(2017·北京模拟)已知函数f (x )＝a x ，其中a >0且a ≠1，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于( )
A ．1
B ．a
C ．2
D ．a 2 答案 A
解析 ∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，∴x 1＋x 2＝0.
又∵f (x )＝a x ，∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝ax 1＋x 2＝a 0＝1，故选A. 4．(2018·沈阳模拟)若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围为( )
A ．(－∞，－8)∪[0，＋∞)
B ．(－8，－4)
C ．[－8，－4]
D ．(－∞，－8]
答案 D
解析 ∵a ＋4＝－32x ＋43x ，
令3x
＝t (t >0)，则－32x ＋43x ＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫t ＋4t ，
因为⎝ ⎛⎭⎪⎫
t ＋4t ≥4，所以－32x
＋43x ≤－4， ∴a ＋4≤－4，
所以a 的范围为(－∞，－8]．故选D.
5．(2018·南昌质检)定义在R 上的偶函数f (x －2)，当x >－2时，f (x )＝e x ＋1－2(e 为自然对数的底数)，若存在k ∈Z ，使方程f (x )＝0的实数根x 0∈(k －1，k )，则k 的取值集合是( )
A．{0} B．{－3} C．{－4,0} D．{－3,0}
答案 D
解析∵偶函数f(x－2)的图象关于y轴对称，
∴函数y＝f(x)的图象关于x＝－2对称．
∵当x>－2时，f(x)＝e x＋1－2，
∵f(x)＝e x＋1－2在(－2，＋∞)上单调递增，且f(－1)<0，f(0)＝e －2>0.
由零点存在定理可知，函数f(x)＝e x＋1－2在(－1,0)上存在零点．由函数图象的对称性可知，当x<－2时，存在唯一零点x∈(－4，－3)．
由题意，方程f(x)＝0的实数根x0∈(k－1，k)，则k－1＝－4或k －1＝－1，k＝－3或k＝0.故选D.
6．(2017·安徽三模)函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)且f(0)＝3，则f(b x)和f(c x)的大小关系是()
A．f(b x)≤f(c x)
B．f(b x)≥f(c x)
C．f(b x)>f(c x)
D．大小关系随x的不同而不同
答案 A
解析∵f(1＋x)＝f(1－x)，
∴f(x)图象的对称轴为直线x＝1，由此得b＝2.
又f(0)＝3，
∴c＝3.
∴f(x)在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增．
若x≥0，则3x≥2x≥1，
∴f(3x)≥f(2x)．
若x<0，则3x<2x<1，
∴f(3x)>f(2x)．
∴f(3x)≥f(2x)．故选A.
7．(2018·长春模拟)若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( )
A ．(－∞，＋∞)
B ．(－2，＋∞)
C ．(0，＋∞)
D ．(－1，＋∞)
答案 D
解析 不等式2x
(x －a )<1可变形为x －a <⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
.在同一平面直角坐
标系内作出直线y ＝x －a 与y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
的图象．由题意，在(0，＋∞)上，
直线有一部分在曲线的下方．观察可知，有－a <1，所以a >－1.故选D.
8．(2017·江西南昌二模)已知函数y ＝f (x )是周期为2的周期函数，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝2|x |－1，则函数F (x )＝f (x )－|lg x |的零点个数是( )
A ．9
B ．10
C ．11
D ．18 答案 B
解析 依题意，在坐标平面内画出函数y ＝f (x )与y ＝|lg x |的大致图象(如图)，由图象可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F (x )＝f (x )－|lg x |的零点个数是10，故选B.
9．(2018·宜宾模拟)已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1
，x ∈(0,4)，当x
＝a 时，f (x )取得最小值b ，则函数g (x )＝a |x ＋b |的图象为( )
答案 A
解析 ∵x ∈(0,4)，∴x ＋1>1， ∴f (x )＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9
x ＋1－5
≥2
9x ＋1
·(x ＋1)－5＝1， 当且仅当x ＝2时取等号，此时函数有最小值1. ∴a ＝2，b ＝1，
此时g (x )＝2|x ＋1|＝⎩⎨⎧
2x ＋1，x ≥－1，
⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x ＋1
，x <－1，
此函数可以看成函数y ＝⎩⎨⎧
2x
，x ≥0，
⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x ，x <0的图象向左平移1个单
位，结合指数函数的图象及选项可知A 正确．故选A.
10．(2018·蒙城模拟)设x 1，x 2∈R ，函数f (x )满足e x
＝1＋f (x )
1－f (x )
，若
f (x 1)＋f (x 2)＝1，则f (x 1＋x 2)最小值是( )
A ．4
B ．2 C.45 D.1
4 答案 C 解析
二、填空题
11．(2018·浦东检测)关于x 的方程πx
＝a ＋1
2－a
只有正实数解，则a
的取值范围是________．
答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，2 解析 ∵方程πx
＝a ＋12－a
只有正实数解，
∴a ＋12－a >1，即a ＋12－a －1>0，整理得2a －12－a
>0.
解得1
2<a <2.
∴a 的取值范围为⎝
⎛⎭
⎪⎫
12，2.
12．(2018·东湖调研)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x ，且a >b >c >0，则f (a )a ，f (b )
b ，
f (c )
c 的大小关系为________．
答案 f (a )a <f (b )b <f (c )c
解析 由题意f (x )
x 可以转化为f (x )上的点与原点连线的斜率，
根据函数f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
，
设A (a ，f (a ))，B (b ，f (b ))，C (c ，f (c ))， 观察图象知 k OA <k OB <k OC ， ∴f (a )a <f (b )b <f (c )c .
13．(2018·深圳一模)下列四个函数中：①y ＝－x ；②y ＝log 2(x ＋1)；③y ＝－
1
x ＋1
；④y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，在(0，＋∞)上为减函数的是
________．(填上所有正确选项的序号)
答案 ①④
解析 当x ∈(0，＋∞)时：
①x 增大时，x 增大，－x 减小，即y 减小，
∴函数y ＝－x 在(0，＋∞)上为减函数；
②x 增大时，x ＋1增大，log 2(x ＋1)增大，即y 增大， ∴函数y ＝log 2(x ＋1)在(0，＋∞)上为增函数；
③x 增大时，x ＋1增大，1x ＋1减小，－1
x ＋1增大，即y 增大，
∴函数y ＝－1
x ＋1
在(0，＋∞)上为增函数；
④x 增大时，x －1增大，⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12x －1减小，即y 减小，
∴函数y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －1
在(0，＋∞)上为减函数．
∴在(0，＋∞)上为减函数的是①④.
14．(2018·济南模拟)已知g (x )＝ax ＋1，f (x )＝
⎩⎪⎨⎪⎧
2x －1，0≤x ≤2，－x 2，－2≤x <0，
对任意x 1∈[－2,2]，存在x 2∈[－2,2]，使g (x 1)＝f (x 2)成立，则a 的取值范围是________．
答案 [－1,1]
解析 由题意可得g (x )，x ∈[－2,2]的值域⊆f (x )，x ∈[－2,2]的值域．由函数图象可得f (x )，x ∈[－2,2]的值域是[－4,3]，当a ＝0时，g (x )＝1，符合题意；当a >0时，g (x )，x ∈[－2,2]的值域是[－2a ＋1，2a ＋1]，所以[－2a ＋1，2a ＋1]⊆[－4,3]，所以
⎩⎪⎨⎪⎧
－2a ＋1≥－4，2a ＋1≤3，
则0<a ≤1；当a <0时，g (x )，x ∈[－2，2]的值域是[2a ＋1，－2a ＋1]，所以[2a ＋1，－2a ＋1]⊆[－4,3]，所以
⎩
⎪⎨⎪⎧
2a ＋1≥－4，－2a ＋1≤3，则－1≤a <0，综上可得－1≤a ≤1. 三、解答题
15．(2018·济南质检)已知函数f (x )＝4x ＋m
2x 是奇函数． (1)求实数m 的值；
(2)设g (x )＝2x ＋1－a ，若函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点，求实数a 的取值范围．
解 (1)由函数f (x )是奇函数可知f (0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1. (2)函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点，即方程4x －12x ＝2x ＋1－a 至少有一个实根，
即方程4x －a ·2x ＋1＝0至少有一个实根．
令t ＝2x >0，则方程t 2－at ＋1＝0至少有一个正根． 解法一：由于a ＝t ＋1
t ≥2，∴a 的取值范围为[2，＋∞)． 解法二：令h (t )＝t 2－at ＋1，由于h (0)＝1>0，
∴只需⎩⎨⎧
Δ≥0，a
2>0，
解得a ≥2，
∴a 的取值范围为[2，＋∞)．
16．(2017·青岛模拟)已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －1
2|x |. (1)若f (x )＝3
2，求x 的值；
(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．
解 (1)当x ＜0时，f (x )＝0，此时f (x )＝3
2无解； 当x ≥0时，f (x )＝2x
－1
2x ，
由2x －12x ＝3
2，得2·22x －3·2x －2＝0， 看成关于2x 的一元二次方程，
解得2x
＝2或2x
＝－1
2，∵2x ＞0，∴x ＝1.
(2)当t ∈ [1,2]时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t
－122t ＋m ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2t －12t ≥0，
即m (22t －1)≥－(24t －1)，∵22t －1＞0，
∴m≥－(22t＋1)．
∵t∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5] ，故m的取值范围是[－5，＋∞)．。