高中数学选修22人教A课时跟踪检测：第1章 导数及其应用 1 2 含解析

第一章 导数及其应用
1.5 定积分的概念 1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程
课时跟踪检测
一、选择题
1．在计算y ＝6
x 2与直线x ＝1，x ＝3，y ＝0围成的图形的面积时，把区间[1,3]n 等分，则每个小区间的长度为( )
A.1
n B ．2n C.3n
D.12n
解析：每个小区间的长度为3－1n ＝2
n . 答案：B
2．求由曲线y ＝1
2x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是( )
A ．1.02
B ．2.02
C ．2.52
D.1.52
解析：S ＝15×⎣⎢⎡ 1
2×12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫652＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫752＋
⎦⎥⎤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫852＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫952 ＝15×25＋36＋49＋64＋8150＝255
250＝1.02.
答案：A
3．(2019·吉林省实验中学高二期中)设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式S n ＝∑n
i ＝1
f (ξi )Δx (其中Δx 为小区间的
长度)，那么S n 的大小( )
A ．与f (x )、区间[a ，b ]有关，与分点的个数n 和ξi 的取法无关
B ．与f (x )、区间[a ，b ]和分点的个数n 有关，与ξi 的取法无关
C ．与f (x )、区间[a ，b ]、分点的个数n 和ξi 的取法都有关
D ．与f (x )、区间[a ，b ]和ξi 的取法有关，与分点的个数n 无关
解析：因为S n ＝∑n
i ＝1f (ξi )Δx ＝∑n
i ＝1
f (ξi )·b －a
n ，所以S n 的大小与f (x )、区间、分点的个数和变量的取法都有关．故选C.
答案：C
4．下列关于函数f (x )＝x 2
在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤i －1n ，i n 的端点处的函数值的说法正确的
是( )
A ．f (x )的值变化很小
B ．f (x )的值变化很大
C ．f (x )的值不变化
D ．当n 很大时，f (x )的值变化很小 答案：D
5．在等分区间的情况下，f (x )＝1
1＋x 2
(x ∈[0,2])及x 轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是( )
A.lim n →∞∑n
i ＝1 ⎣
⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1
1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2·2n B.lim n →∞∑n
i ＝1 ⎣
⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1
1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n 2·2n C.lim n →∞∑n
i ＝1 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫11＋i 2·1n D.lim n →∞∑n
i ＝1 ⎣
⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2·n 解析：若将区间[0,2] n 等分，则每一区间的长度为2
n ，第i 个区间为
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
2(i －1)n ，2i n ，若取每一区间的右端点进行近似代替，则和式极限形式为lim n →∞∑n i ＝1 ⎣
⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1
1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n 2·2n . 答案：B
6．(2019·鄂东南九校高二上学期期中)若做变速直线运动的物体v (t )＝t 2，在0≤t ≤a 内经过的路程为9，则a 的值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D.4
解析：将区间[0，a ] n 等分，记第i 个区间为a (i －1)n ，ai
n (i ＝1,2，…，n )，此
区间长为a n ，用小矩形面积ai n 2·a n
近似代替相应的小曲边梯形的面积，则∑n i ＝1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ai n 2
·a n ＝a 3n 3·(12＋22＋…＋n 2
)＝a 331＋1n 1＋12n 近似地等于速度曲线v (t )＝t 2与直线t ＝0，t ＝a ，t 轴围成的曲边梯形的面积．依题意得lim n →∞ a 331＋1n 1＋12n ＝9，所以a 33＝9，解得a ＝3.
答案：C 二、填空题
7．(2019·泉港一中高二期中)对于由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边三角形，把区间3等分，则曲边三角形面积的近似值(取每个区间的左端点)是________．
解析：将区间[0,1]三等分为0，13，13，23，2
3，1，各小矩形的面积和为S 1＝
03·
13＋133·13＋233·13＝19.
答案：19
8．已知某物体运动的速度v ＝2t －1，t ∈[0,10]若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为
________．
解析：若把区间[0,10]进行10等分，则第i 个小区间为[i －1，i ](i ＝1,2，…，10)，其右端点为i ，那么物体运动的路程的近似值为s ＝∑10
i ＝1 (2i －1)＝2∑10
i ＝1i －10＝2×(1＋10)×102
－10＝100.
答案：100
9．由直线x ＝1，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝1
x 所围成的曲边梯形，将区间[1,2]等分成4份，将曲边梯形较长的边近似看作高，则曲边梯形的面积是________．
解析：将区间[1,2]等分成4份，将曲边梯形较长的边近似看作高，则高分别为1，45，23，47，
∴曲边梯形的面积是14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋45＋23＋47＝319420. 答案：319
420 三、解答题
10．利用分割、近似代替、求和、取极限的方法求函数y ＝1＋x ，x ＝1，x ＝2的图象与x 轴围成的梯形的面积，并用梯形的面积公式加以验证．
解：f (x )＝1＋x 在区间[1,2]上连续，将区间[1,2]分成n 等份，则每个区间的长度为Δx i ＝1
n ，
在[x i －1，x i ]＝⎣⎢⎡
⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n 上取ξi ＝x i －1＝1＋i －1n (i ＝1,2,3，…，n )， 于是f (ξi )＝f (x i －1)＝1＋1＋i －1n ＝2＋i －1
n ， 从而S n ＝∑i ＝1n
f (ξi )Δx i ＝
∑i ＝1n
⎝ ⎛
⎭⎪⎫2＋i －1n ·1n ＝∑i ＝1
n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋i －1n 2＝
2n ·n ＋1n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝ 2＋1n 2·n (n －1)
2＝2＋n －12n ＝52－12n . ∴S ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－12n ＝52. 验证如下：由梯形的面积公式得 S ＝12×(2＋3)×1＝5
2.
11．(2019·榆林二中高二月考)一辆汽车做变速直线运动，设汽车在时刻t 的速度v (t )＝6
t 2(t 的单位：h ，v 的单位：km/h)，求汽车在t ＝1到t ＝2这段时间内运动的路程s (单位：km)．
解：把区间[1,2]等分成n 个小区间n ＋i －1n ，n ＋i
n (i ＝1,2，…，n )，每个区间的长度Δt ＝1
n ，每个时间段行驶的路程记为Δs i (i ＝1,2，…，n )．
故路程和s n ＝∑n
i ＝1Δs i . Δs i ≈v n ＋i －1n ·Δt ＝6·n n ＋i －12·1
n
＝
61＋i －1n
2·1n ＝6n (n ＋i －1)2 ≈
6n
(n ＋i －1)(n ＋i )
(i ＝1,2,3，…，n )．
s n ＝∑n
i ＝1
6n
(n ＋i －1)(n ＋i )
＝6n (1n －1n ＋1＋1n ＋1－1n ＋2＋…＋12n －1－12n )
＝6n (1n －12n ).
s ＝lim n →∞s n ＝lim n →∞
6n 1n －1
2n ＝3. 12．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0及曲线y ＝x 2＋2x 所围成的图形的面积S . 解：①分割
在区间[0,1]上等间隔地插入n －1个点，将它等分为n 个小区间：⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，1n ，
⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ，2n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤
2n ，3n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1n ，1，记第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )，其长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n .
分别过上述n －1个分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形(如图)，它们的面积记作：ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n ，则小曲边梯形面积的和为S ＝∑n
i ＝1
ΔS i .
②近似代替
记f (x )＝x 2＋2x ，当n 很大，即Δx 很小时，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤
i －1n ，i n 上，
可以认为f (x )的值变化很小，不妨用f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
i n 来近似地作为f (x )在该区间上的函数值．从图形上看
就是用平行于x 轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边，这样在区间⎣⎢⎡⎦⎥
⎤
i －1n ，i n 上，用小矩形的面积ΔS i ′近似地代替ΔS i ，则有ΔS i ≈ΔS i ′＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
i n ·Δx ＝
1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2
＋2·i n . ③求和
小曲边梯形的面积和S n ＝∑n
i ＝1ΔS i ≈∑n
i ＝1
ΔS i ′ ＝∑n i ＝1 1n ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2
＋2·i n ＝1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 2＋22n 2＋…＋n 2n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2
n ＋…＋n n
＝(n ＋1)(2n ＋1)6n 2＋n ＋1n
＝16⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n .
④取极限
分别将区间[0,1]等分成8,16,20，…等份时，S n 越来越趋向于S ，从而有 S ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝43.
即由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0及曲线y ＝x 2＋2x 所围成的图形的面积等于4
3.
13．(2019·张家口模拟)由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2＋1围成的曲边梯形，将区间[0,2]5等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为________、________.
解析：将区间[0,2]5等分，每个区间长度为0.4，按照区间左端点和右端点对应的小曲边梯形的面积近似为小矩形的面积，所以按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为0.4×(0.42＋1)×5和0.4×(22＋1)×5，即为2.32 和10.
答案：2.32 10。