2021年浙江省杭州市上城区中考数学二模试卷及解析

2021年浙江省杭州市上城区中考数学二模试卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）下列计算正确的是( ) A ．2(7)5-++=-
B ．4
3(4)3
÷-=-
C ．45555⨯=
D ．93=±
2．（3分）人体中成熟的红细胞平均直径为0.00077厘米，将数字0.00077用科学记数法表示为( ) A ．37.710-⨯
B ．47710-⨯
C ．37710-⨯
D ．47.710-⨯
3．（3分）从某服装厂即将出售的一批休闲装中抽检200件，其中不合格的休闲装有15件，则此抽样样本中，样本容量和不合格的频率分别是( ) A ．15，0.75
B ．15，0.075
C ．200，0.75
D ．200，0.075
4．（3分）已知四边形ABCD 为平行四边形，要使四边形ABCD 为矩形，则可增加条件为( )
A ．A
B B
C =
B ．A
C B
D =
C ．AC B
D ⊥
D ．AC 平分BAD ∠
5．（3分）学校组织植树活动，已知在甲处植树的有48人，在乙处植树的有42人，由于甲处植树任务较重，需调配部分乙处的人员去甲处支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍，设从乙处调配x 人去甲处，则( ) A ．482(42)x =-
B ．48242x +=⨯
C ．482(42)x x -=+
D ．482(42)x x +=-
6．（3分）等腰三角形两边长分别是2和6，则它的周长( ) A ．8
B ．10
C ．14
D ．10或14
7．（3分）下列四个选项中，经过变形一定能得到a b >的是( ) A ．33a b ->-
B ．33a b >
C ．1m a m b ++>+
D ．
33
a b
< 8．（3分）已知正比例函数11(0)y k x k =≠的图象与反比例函数2
2(0)k y k x
=
≠的图象交于A ，B 两点，其中点A 在第二象限，横坐标为2-，另一交点B 的纵坐标为1-，则1k 与2k 的关系正确的是( ) A ．12k k =
B ．122k k =
C ．124k k =
D ．124k k =
9．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，4BC =．把ABC ∆分别绕直线AB ，BC 和AC 旋转一周，所得几何体的表面积分别记作1S ，2S ，3S ，则表面积最大的是( )
A ．1S
B ．2S
C ．3S
D ．无法确定
10．（3分）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象与x 轴正半轴交于(,0)A p 和(,0)B q 两点（点A 在点B 的左边），方程2(0)x ax bx c a =++>的解为x m =或()x n m n =<，则p ，q ，m ，n 的大小关系可能是( ) A ．p q m n <<<
B ．m n p q <<<
C ．m p q n <<<
D ．p m n q <<<
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分.
11．（4分）某一公园有4个入口和3个出口，小明从进入公园到走出公园，一共有 种不同出入路线的可能．
12．（4分）已知1a =，则244a a ++= ．
13．（4分）比较sin30︒和cos30︒的大小，用“<”连接 ．
14．（4分）某函数满足当1x >时，函数随x 的增大而减小，且过点(1,2)，写出一个满足条件的函数表达式 ．
15．（4分）如图，桌面上有一根笔直的杆AD ，杆AD 的质量不计．杆两端A ，D 悬挂两个物体，其中一个物体的质量为10kg ，已知60AB BC cm ==，40CD cm =．当另一物体过重或过轻时，杆AD 都会向一端倾斜．要保持杆水平静止不动，则另一个物体质量m 的取值范围是 ．
16．（4分）正方形ABCD 中，点E 为边AD 上一点，将ABE ∆沿BE 翻折，点A 的对应点F 落在正方形ABCD 内，延长EF 交边CD 于点G ，若点G 为边CD 的三等分点，则
AE
ED
= ． 三、解答题：本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算. 17．（8分）以下是琦琦同学解《作业本》中的一个分式方程
51
144x x x
-+=--的解答过程．
解：去分母，得511x --=， 移项，合并同类项，得3x =，
检验：将3x =代入最简公分母43410x -=-=-≠， 3x ∴=是原方程的根．
琦琦的解答过程对吗？如果不对，请写出正确的解答过程．
18．（10分）某校九年级共320位同学参加体育中考的立定跳远项目，抽取部分同学的立定跳远成绩作为样本进行统计，得到如图频数分布直方图． （1）求被抽取同学的立定跳远成绩的中位数．
（2）请估计该校九年级同学立定跳远成绩在9分以上的人数．
19．（8分）有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放．每本书的厚度为4cm ，高度为20cm ． （1）找出图中的相似三角形，并证明． （2）当16CD cm =时，求书架的宽BF ．
20．（8分）身体质量指数()BMI 的计算公式是：2
w
BMI h =
．这里W 为身体的体重（单位：)kg ，h 为身高（单位：)m ．男性的BMI 指数正常范围是18.523.9BMI ． （1）有一位男运动员身高1.8m ，体重81kg ，请问他的BMI 正常吗？ （2）有一位成年男性身高2m 且他的BMI 正常，请求出他的体重范围． 21．（10分）如图，已知ABC ∆．
（1）用直尺和圆规作一点D ，使ADB C ∠=∠．
（2）在（1）的条件下，当120C ∠=︒，3AB =时，求点D 到线段AB 的最大距离，并说明理由．
22．（10分）已知二次函数223y mx mx =-+，其中0m ≠． （1）若二次函数经过(1,6)-，求二次函数解析式．
（2）若该抛物线开口向上，当12x -时，抛物线的最高点为M ，最低点为N ，点M 的纵坐标为6，求点M 和点N 的坐标．
（3）在二次函数图象上任取两点1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，当122a x x a <+时，总有12y y >，求a 的取值范围．
23．（12分）如图O 中直径2AB =，点E 是AB 的中点，点C 是AE 上的一个动点，将CB 沿线段BC 折叠交AB 于点D ．
（1）如图1，当20ABC ∠=︒时，求此时AC 的长．
（2）如图2，连结AC ，当点D 与点O 重合时，求此时AC 的长．
（3）设AC x =，DO y =，请直接写出y 关于x 的函数表达式及自变量x 的取值范围．
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．【解答】解：选项A ，原式275=-+=，计算不正确； 选项B ，原式3
4
=-，计算不正确；
选项C ，原式45555=⨯=，计算正确； 选项D ，原式3=，计算不正确． 故选：C ．
2．【解答】解：40.000777.710-=⨯．
故选：D ．
3．【解答】解：从某服装厂即将出售的一批休闲装中抽检200件，其中不合格的休闲装有15件，
∴此抽样样本中，样本容量为：200，
不合格的频率是：15
0.075200
=． 故选：D ．
4．【解答】解：A 、四边形ABCD 是平行四边形，AB BC =，
∴四边形ABCD 是菱形，故A 不符合题意；
B 、四边形ABCD 是平行四边形，A
C B
D =，
∴四边形ABCD 是矩形，故B 符合题意；
C 、四边形ABC
D 是平行四边形，AC BD ⊥，
∴四边形ABCD 是菱形，故C 不符合题意；
D 、四边形ABCD 是平行四边形，
//AD BC ∴， DAC ACB ∴∠=∠， AC 平分BAD ∠， DAC BAC ∴∠=∠， BAC ACB ∴∠=∠， AB AC ∴=，
∴四边形ABCD 是菱形，故D 不符合题意；
故选：B ．
5．【解答】解：设从乙处调配x 人去甲处， 根据题意得，482(42)x x +=-， 故选：D ．
6．【解答】解：当腰为2时，则三边为2、2、6，此时226+<，不满足三角形的三边关系，
不满足题意；
当腰为6时，则三边为6、6、2，满足三角形的三边关系，周长为14； 故选：C ．
7．【解答】解：A ．由33a b ->-可得a b <，故本选项不合题意；
B ．由33a b >可得a b >，故本选项符合题意；
C ．由1m a m b ++>+可得1a b +>，故本选项不合题意；
D ．由
33
a b
<可得a b <，故本选项不合题意； 故选：B ．
8．【解答】解：正比例函数11(0)y k x k =≠的图象与反比例函数2
2(0)k y k x
=≠的图象交于A ，B 两点，其中点A 在第二象限，横坐标为2-，另一交点B 的纵坐标为1-， ∴21212211k k k k ⎧
-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，
化简，得1212
41k k k k =⎧⎨=⎩，
故选项C 正确； 故选：C ．
9．【解答】解：90ABC ∠=︒，3AB =，4BC =，
5AC ∴==．
ABC ∆绕直线AB 旋转一周，所得几何体为圆锥，底面半径为4BC =，此圆锥的表面积为底面圆面积加
扇形表面积，即2144536S πππ=⨯+⨯⨯=；
ABC ∆绕直线BC 旋转一周，所得几何体为圆锥，底面半径为3AB =，此圆锥的表面积为底面圆面积加扇
形表面积，即2233524S πππ=⨯+⨯⨯=；
ABC ∆绕直线AC 旋转一周，所得几何体为两个共底面的圆锥，底面半径为
12
5
，此圆锥的表面积为两个扇形表面积之和，即312128434555
S π
ππ=⨯⨯+⨯⨯=
． 123S S S ∴>>．
故选：A ．
10．【解答】解：依据题意2y ax bx c =++的大致图象如下图所示，
在此基础上，作出直线y x =的图象，设两个函数图象的交点为C 、D ， 则C 、D 的横坐标为m ，n ， 故m p q n <<<， 故选：C ．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分.
11．【解答】解：用A 、B 、C 、D 表示入口，1A 、1B 、1C 表示出口，如图所示：
小明从进入公园到走出公园，一共有3412⨯=种不同出入路线的可能． 故答案为：12．
12．【解答】解：1a =，
222244(2)(12)39a a a ∴++=+=+==． 故答案为：9．
13．【解答】解：cos30sin60︒=︒，正弦的锐角三角函数值随角度的增大而增大，
sin30sin60∴︒<︒，
故答案为：sin30cos30︒<︒． 14．【解答】解：2
y x
=，当1x =时，2y =且函数y 的值始终随自变量x 的增大而减小， 故答案为：2
y x
=
． 15．【解答】解：由题意可得，
当以C 为支点处于平衡时，10(6060)40m ⨯+=，解得30m =， 当以B 为支点处于平衡时，1060(6040)m ⨯=+，解得6m =， 由上可得，另一个物体质量m 的取值范围是630m ， 故答案为：630m ．
16．【解答】解：四边形ABCD 是正方形， 90A C D ∴∠=∠=∠=︒，AB BC CD AD ===，
设3BC CD AD a ===， 分两种情况：
①2DG CG =时，连接BG ，如图1所示： 则2DG a =，CG a =，
由折叠的性质得：FE AE =，90EFB A ∠=∠=︒，FB AB =， 90BFG C ∴∠=︒=∠，BF BC =，
在Rt BFG ∆和Rt BCG ∆中， BG BG
BF BC =⎧⎨
=⎩
， Rt BFG Rt BCG(HL)∴∆≅∆， FG CG a ∴==，
设AE FE x ==，则3DE a x =-，EG x a =+，
在Rt DEG ∆中，由勾股定理得：222(3)(2)()a x a x a -+=+， 解得：3
2x a =，
32AE a ∴=，3
2
DE a =，
AE DE ∴=，
∴
1AE
ED
=；
②2CG DG =时，连接BG ，如图2所示： 同①得：Rt BFG Rt BCG(HL)∆≅∆， 2FG CG aa ∴==，
设AE FE x ==，则3DE a x =-，2EG x a =+，
在Rt DEG ∆中，由勾股定理得：222(3)(2)a x a x a -+=+， 解得：3
5
x a =，
35AE a ∴=，12
5
DE a =，
∴315124
5a
AE ED a ==； 综上所述，
1AE ED =或1
4
， 故答案为：1或
1
4
．
三、解答题：本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算. 17．【解答】解：琦琦的解答不对，正确的解答过程如下： 方程两边都乘以(4)x -得：514x x --=-， 解得：4x =．
检验：当4x =时，40x -=， 4x ∴=是原方程的增根，原方程无解．
18．【解答】解：（1）由直方图可知，
本次抽取的有：1225151540+++++=（人)，
被抽取同学的立定跳远成绩的中位数：(99)29+÷=（分)， 即被抽取同学的立定跳远成绩的中位数是9分； （2）15
32012040
⨯
=（人)， 答：估计该校九年级同学立定跳远成绩在9分以上的有120人． 19．【解答】解：（1）CDE EFG ∆∆∽． 证明：90CDE EFG CEG ∠=∠=∠=︒， 90CED GEF ∴∠+∠=︒，90EGF GEF ∠+∠=︒， CED EGF ∴∠=∠， 90CDE EFG ∠=∠=︒， CDE EFG ∴∆∆∽；
（2）由题意可知4EG cm =，20CE cm =，16CD cm =， 90CDE ∠=︒，
12()DE cm ∴==，
CDE EFG ∆∆∽，
∴EF EG
CD CE =
, ∴
4
1620
EF =
， 165
EF ∴=
， 4416()BD cm =⨯=， 161561612()55
BF BD DE EF cm ∴=++=++
=， 答：书架的宽BF 为
156
5
cm ． 20．【解答】解：（1）281 1.881 3.2425÷=÷=， 2523.9>，
∴该运动员的BMI 不正常．
（2）设他的体重为x kg ， 依题意得：2
2
18.5223.92x
x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，
解得：7495.6x ，
答：他的体重不少于74kg ，不超过95.6kg ．
21．【解答】解：（1）如图，点D 为所作；
（2）当D 点为AB 的中点时，D 点到AB 的距离最大． 连接OD 交AB 于E ，如图，
AD BD =，
OD AB ∴⊥，AD BD =，
32
AE BE ∴==， 120ADB ACB ∠=∠=︒，
30DAB ∴∠=︒，
33332DE AE ∴==． 22．【解答】解：（1）把(1,6)-代入函数解析式得， 236m m ++=，
1m ∴=，
∴函数解析式为：223y x x =-+；
（2）抛物线开口方向向上，
0m ∴>，
2223(1)3y mx mx m x m =-+=-+-， ∴抛物线的顶点为(1,3)m -，
∴当1x <时y 随x 增大而减小，
当1x 时，y 随x 增大而增大，
∴最低点(1,3)N m -，
当1x =-时，33y m =+，
当2x =时，3y =，
且0m >，
333m ∴+>，
∴最高点(1,33)M m -+，
336m ∴+=，
1m ∴=，
代入M 点和N 点坐标得：(1,6)M -，(1,2)N ；
（3）①当0m >时，
则有当1x 时y 随x 增大而减小， 当1x 时，y 随x 增大而增大， 又当122a x x a <+时，总有12y y >， 此时21a +，
1a ∴-，
②当0m <时，
则有当1x 时y 随x 增大而增大， 当1x 时，y 随x 增大而减小， 又当122a x x a <+时，总有12y y >， 此时1a ，
综上，当0m >时1a -；当0m <时，1a ．
23．【解答】解：（1）如图1，连接OC ， 20ABC ∠=︒，
240AOC ABC ∴∠=∠=︒， O 中直径2AB =，
1OA ∴=，
∴AC 的长为40121809
ππ⋅=； （2）如图2，作点D 关于BC 的对称点F ，连接CF ，BF ，DF ，DC ， 由折叠知，BD BF =，CD CF =， 点D 与点O 重合，
BD DC ∴=，
BD DC CF BF ∴===，
DF BD =，
BD DF BF ∴==，
BDF ∴∆是等边三角形，
60ABF ∴∠=︒，
BD DC CF BF ===，
∴四边形BDCF 是菱形，
60AOC ABC ∴∠=∠=︒，
OA OC =，
AOC ∴∆是等边三角形，
1AC OA ∴==；
（3）如图3，
作点D 关于BC 的对称点G ，连接CD ，CG ，BG ， 由折叠知，CD CG =，CBG CBA ∠=∠， CG AC ∴=，
AC CD ∴=，
过点C 作CH AB ⊥于H ， 2AD AH ∴=， AB 是O 的直径，
90ACB ∴∠=︒，
cos 2
AC x BAC AB ∴∠==， 在Rt ACH ∆中，cos AH AH BAC AC x ∠=
=， ∴2x AH x
=， 212AH x ∴=
， 22AD AH x ∴==，
由（2）知，当点D 与点O 重合时，1AC =，即1x =， 当点C 与点E 重合时，连接OE ，AE ， 点E 是AB 的中点，AB 为直径， 90AOE ∴∠=︒，
AE ∴=
点C 是AE 上的一个动点， 02x ∴<，
当点D 在半径OA （包括点)O 上时，01x <，21y DO OA AD x ==-=-， 当点D 在半径OB （不包括)O 上时，12x <，21y DO AD OA x ==-=-，
即
2
2
1(01)
1(12)
x x
y
x x
⎧-<
⎪
=⎨
-<
⎪⎩
．。