辽宁省大连市甘井子区2013年中考数学一模试卷及试卷分析

图2
某某省某某市甘井子区2013年中考数学一模试卷及试卷分析
一．选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确） 1．2的绝对值是
A.2-
B.2
C.22-
D.2
2 2.在平面直角坐标系中，点P （1，－3）所在的象限为
3.如图1是两个长方体堆成的物体，则这一物体的俯视图是
A. B. C. D.
4. 如图2，直线a ⊥直线c ，直线b ⊥直线c ，若∠1=70°，则∠2的度数是
A ．70° B．90° C．110° D．80° 5.下列运算正确的是
A ．x 4
·x 3
＝x 12
B ．（x 3
）2
＝x
9
C ．x 4
÷x 3
＝x （x ≠0）D ．x 3
+x 4
＝x 7
6.某种绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：
每批粒数n 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数m 96 282 382 570 948 1912 2850 发芽的频率
m
n
则这种绿豆发芽的概率估计值是
7.某校足球队的18名队员的年龄情况如下表：
图1
则这些队员年龄的众数和中位数分别是
A ．15，15
B ．15，15.5
C ．15，16
D ．16，15
8.如图3，抛物线y=x 2
与直线y=x 交于A 点，沿直线y=x 平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点恰好为A 点，则平移后抛物线的解析式是
A ．2
(1)1=+-y x B ．2
(1)1=++y x C ．2
(1)1=-+y x D ．2
(1)1=--y x
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9.方程
x
x 1
42=+的解是. 10. 如图4，在△ABC 中，
∠A=60°
，
∠B=40°，点D 在BC 的延长线上，则∠ACD=.
图4 图5 图6
年龄（单位：岁）
14 15 16 17 18 人数
3
6
4
4
1
图3
A
B C D
O B
A
x
y
O
D
B
A
C
11.一个不透明的袋子中有3个白球、2个黄球和5个红球，这些球除颜色不同外其他完全相同．从袋子中随机摸出一个球，则它是黄球的概率为. 12. 已知关于x 的方程2
60x mx +-=的一个根为2，则m 的值．
13. 不等式组235
324x x +>⎧⎨-<⎩
的解集是.
14. 如图5，直线b x k y +=1与双曲线x
k y 2
=
相交于A （m ，2），B 0>x 时，不等式x
k b x k 2
1>
+的解集为. 15.如图6，在⊙O 中，弦AB∥CD,若∠BOD＝80°，则∠ABC 的度数是.
16. 如图7，直线43
4
+-=x y 交y 轴于点A ，交x 轴于
点B ，点C 为
OA 中点，则点C 关于直线AB 对称点C′的坐标是.
三．解答题(本题共4小题，其中17、18、19题各9
20题12分，
共39分)
17.计算：25)2
1()25)(25(2
-+-+-
18. 先化简，再求值∶2214(1)144
--÷-++x x x x ， 其中x =13+．
19．如图8，点E 、F 在AC 上，AB∥CD，AB ＝CD ，AE ＝CF ，求证：∠B=∠D.
图7
D
图8
20.某中学艺术节期间，向全校学生征集书画作品．王老师从全校14个班中随机抽取了4个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作
了两幅不完整的统计图（如图9-1、9-2）．
图9-1
图9-2
（1）王老师所调查的4个班征集到作品共件，其中B 班征集到作品件，请把图9-2补充
完整；
（2）王老师所调查的四个班平均每个班征集作品多少件？请估计全校共征集到作品多少件？
（3）如果全校参展作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生．现
在要在其中抽两人去参见学校总结表彰座谈会，用树状图或列表法求出恰好抽中一男一女的概率．
1）
四．解答题(本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分)
（如图10），请你根据图中的数据计算出BE 、CD 的长度（计算结果精确到0.1，参考数据：
3≈1.73）.
22.底面积为3:2的A 、B 两个长方体蓄水池，现将A 池中18立方米的水全部注入B 池，
用时3小时.B 池中水面高度y （米）与注水时间x （时）之间的函数图象如图11所示，结合图象回答下列问题：
（1）注水速度为立方米/时，B 水池水面上升了米； （2）从注水开始计时，多长时间两个水池的蓄水量相同；
（3）在所给坐标系中画出A 池水面高度y （米）与注水时间x （时）之间的函数图象，
并结合图象求出何时两水池的水面高度相差1
图11
23．如图12，AB 是⊙O 的直径，CA 是⊙O 的切线，在⊙O 上取点D ，连接CD ，使得AC=DC ，
延长CD 交直线AB 于点E ．
) D
F 图10
（1）求证：CD 是⊙O 的切线；
（2）作AF⊥CD 于点F ，交⊙O 于点G ，若⊙O 的半径是6cm ，ED ＝8cm ，求GF 的长．
图12
五．解答题（本题共3小题，其中24题11分，25、26题各12分，共35分） 24．如图13，在△MNQ 中，MN=11，NQ=53，5
5
cos
N ，矩形ABCD ，BC=4，CD=3，点A 与M 重合，AD 与MN 重合．矩形ABCD 沿着MQ 方向平移，且平移速度为每秒5个单位，当点A 与Q 重合时停止运动． （1）MQ 的长度是；
（2）运动秒，BC 与MN 重合；
（3）设矩形ABCD 与△MNQ 重叠部分的面积为S ，运动时间为t ，求出S 与t 之间的函
数关系式．
M (
A M
图13 备用图
25. 如图14-1，在△ABC 和△ADE 中，AC=AB ，AE=AD ，∠BAC=∠DAE=m，CE 、DB 交于点
F ，连接AF ．
C
D
E
F
（1）如图14-2，当m=90°时，猜想BD 、CE 的关系，并证明你的结论； （2）在（1）的条件下，猜想线段AF 、BF 、CF 数量关系，并证明你的结论； （3）直接写出AF 、BF 、CF 数量关系(用含m 的三角函数表示)．
图14-1 图14-2
26. 如图15，顶点为D 的抛物线6)5(2
--=x a y 经过点A （2
13
，－5），直线CD 交y 轴于点C （0,4），交x 轴于点B ． （1）求抛物线和直线CD 解析式；
（2）在直线CD 右侧的抛物线上取点E ，使得∠EDB =∠CBO ，则求点E 坐标；
（3）点P 为射线CD 上一点，在（2）条件下，作射线PE ，以P 为旋转中心逆时针旋转
PE ，使得旋转后的射线交x 坐标轴于点R ，且∠EPR =∠CBO ．是否存在点R ，使得PE=PR ，如果存在，请直接写出点R
图15
答案与评分标准
数学
说明：
各位老师辛苦了！
本次试卷是模仿2012年某某中考试卷风格命制的，不全部代表今年的考试方向和趋势，其难度低于2012年中考试卷，也一定低于2013年中考试卷。

本次考卷重点考查基础部分内容及常用的数学思想、方法，并不是针对2013年中考试卷的考试方向做预测，请大家在使用时不要关注命题风格和题型变化，而要关注学生的基础掌握情况，从而评估第一阶段复习效果，同时要注重培养学生的答题经验、答题细节和应试心理的调节。

水平有限，试卷和评分标准一定会有不合适之处，敬请多多担待。

试题的解答方法不
唯一，参考评分标准，备课组统一意见即可。

讲解时，注意引导学生掌握解决问题的“通性通法”。

一．选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1、B
2、D
3、D
4、A
5、C
6、B
7、B
8、C 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9、4=x 10、100° 11、5
1
12、1 13、21<<x 14、1>x 15、40° 16、)25
86,2548(
三．解答题(本题共4小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分) 17、25)
2
1()25)(25(2
-+-+-
=5-4+4-5 ………………………………………8分（25为2分）
=0 ………………………………………9分
18、2214(1)144
--÷-++x x x x =111---x x )2)(2()2(2-++⋅x x x ………………………………………5分
=12--x x )
2)(2()2(2-++⋅x x x =
1
2
-+x x ………………………………………7分 当x =13+时，
原式=
1
132
13-+++
=31+ ………………………………………9分 ∴原式值为31+19、∵AB∥CD，
∴∠A=∠C ………………………………………2分 ∵AE ＝CF
∴AE+EF=CF+EF
即AF=CE ………………………………………4分
在△A BF 和△CDE 中
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=CD AB C A CE AF ∴△ABF≌△CDE ………………………………………7分 ∴∠B=∠D. ………………………………………9分
20、（1） 12 ， 3 ………………………………………2分
图 ………………………………………3分 （2）3412=÷（件） ………………………………………4分
42143=⨯（件） ………………………………………5分
答：王老师所调查的四个班平均每个班征集作品3件，估计全校共征集到作品约42件. …………6分 (3) D 此过程可以没有，但
(10)
word
共有
20
个等可能的结果，其中一男一女的结果有
12
个， ………………………………………11分
∴5
3
2012(==
男，女）P ………………………………………12分 ∴抽中一男一女的概率为5
3。

四．解答题(本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分) 21、在△BCE 中，
∠CBE=60°
∴BE
CE
=
60tan
∴BE=
3CE =3
51
=173≈29.4（mm ）…………………4分 ∴AE=AB+BE=(34+173)(mm) ………………………5分
在△ADF 中， ∠DAF=45°
FD=AF=51mm ………………………………………6分 ∴CD=CF -FD=34+173-51
=173-17 ………………………………………8分 ≈12.4 (mm) ………………………………………9分
答：BE 长约为29.4mm 、CD 的长约为12.4mm.
D
F
图10
22、（1）6 3 ………………………………………2分 （2）设A 池水的原来高度为A h ，B 池水增加的高度为B h ∴3A h =2B h
A h ：
B h =2：3
B 池中的增加18立方米水高度增加3米
6318=÷（立方米）
∴B 池中原有水6立方米 令t 小时蓄水量相同，由题意得：
t t 66618+=-
t=1 ………………………………………4分
从注水开始计时，1小时两个水池的蓄水量相同 （3）B 池中的高度解析式设为：n mx y += 过点（0，1），（3，4） 代入得：⎩⎨
⎧=+=4
31
b k b
解得：⎩
⎨⎧==11k b
1+=x y ………………………………………5分
由B 池中水的高度增加3米，可知A 池中原来水的高度为2米。

可得A 池中水面高度y （米）与注水时间x （时）之间的函数图像如图 …………………………6分 过点（0，2）和（3，0）
)
设解析式：b kx y +=1
代入得⎩⎨⎧=+=032b k b 解得⎪⎩
⎪⎨⎧-==32
2k b
23
2
1+-=x y ………………………………………7分
由题意得： ①11=-y y
1)23
2
(1=+-
-+x x 得：5
6
=
x ………………………………8分 ②11=-y y
1)1()23
2
(=+-+-x x 解得：x=0 ………………………………9分 综上所述：0，
5
6
小时两水池的水面高度相差1米 23、（1）连结OD 、AD ∵ AC=DC
∴∠CAD=∠ADC ………………………………………1分 ∵ OA=OD ∴∠OAD=∠ODA
∴∠CAD+ ∠OAD =∠ADC+∠ODA
∵CA 是⊙O 的切线
∴∠OAC=90° ………………………………………3分 ∴∠ODC=90°
C
D E
F
即OD⊥CD ………………………………………4分 ∴CD 是⊙O 的切线 ………………………………………5分 （2）在Rt△ODE 中， OD=6cm ED ＝8cm
∴EO=10862222=+=+ED OD (cm)
∴AE=16
∵sinE=5
3
106==OE OD
∴在Rt△AEF 中 AF=AE·sinE=16×5
48
53=………………………………………7分 连结BG
∵AB 是⊙O 的直径
∴∠AGB=90° ………………………………………8分 又AF⊥CD ∴BG∥EF ∴∠ABG=∠E 在Rt△ABG 中
AG=AB·sin∠ABG = AB·sinE =12×5
36
53=………………………………………9分 ∴GF=AF－AG=
548－536=5
12………………………………………10分五．解答题（本题共3小题，其中24题11分，25、26题各12分，共35分） 24、（1）10 ………………………………………1分
(2) 1 ………………………………………2分 (3) 过点Q 作QH⊥MN 于H
C
D
E
F
∵ NQ=53，5
5cos =N ∴HN=3,QH=6 ∴MH=8
∴MQ=10 ………………………………………3分 ①10≤≤t 时
∵MA=5t,AE=M AM sin ⋅=5
3
5⋅t =3t, 又AD=4
∴t t AD AE s 1243=⋅=⋅=………………………………………5分 ②当点D 在QN 上时， ∵AD∥MN, ∴△QAD∽△QMN ∴
MN
AD
QM AQ = ∵AQ=10-5t
∴
114
10510=-t 11
14=t
∴11
14
1≤≤t 时
s=12………………………………………7分 ③当点C 在QN 上时， ∵DC∥QH ∴△QNH∽△DCF
M
M
∴
QH NH CD FD ==2
1
∴FD=21CD=2
3321=⨯ ∴AF=AD-FD=2
5
234=-
∵AF∥MN, ∴△QAF∽△QMN ∴
MN
AF
QM AQ = ∴1125
10510=-t
∴11
17=t
令AD 交NQ 于点F ，DC 交QN 于点G ∵AF∥MN ∴
MN
AF
QM AQ = ∴11
10510AF
t =
- ∴AF=t 211
11-
∴DF=4-(t 21111-)=72
11
-t
∵DG∥QH ∴△QNH∽△DGF ∴
2==DF
DG HN QH ∴DG=2DF=11t -14
∴)1411)(7211
(2112---=t t s ∴当11171114≤≤t 时
377741212
-+-=t t s ………………………………………9分
④211
17≤≤t 时 ∵AF∥MN ∴
MN
AF
QM AQ = ∴
11
10510AF
t =
- ∴AF=t 2
11
11-
令QN 与BC 交于点K ，过K 作KP⊥AD 于P 。

∵△QNH∽△PFK ∴PK=2PF
又PK=3
∴PF=23
∴BK=23+t 21111-=
t 211
225- ∴3)21122521111(21⨯-+-=t t s
∴t s 2
334141-=………………………………………11分
综上，
O
∴⎪⎪⎪
⎪⎩
⎪
⎪⎪⎪
⎨⎧≤<+-=≤<-+-=≤<=<≤=)21117(4141233)11171114(37774121)
11141(12)10(122t t s t t t s t s t t s
此题在试卷讲解时多注意引导学生利用三角函数和相似相关知识综合运用的方法解决此类问题。

25、（1）猜想BD=CE 且BD⊥CE； ……………………………1分 令AB 交CF 于点O ∵∠BAC=∠DAE=90° ∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE 即∠CAE=∠DAB 又∵AC= AB ，AE= AD ，
∴△CAE≌△DAB ……………………………3分
∴BD=CE ……………………………4分
∠ACE=∠DBA ∠AOC=∠FOB ∴∠CAB=∠OFB
即BD⊥CE ……………………………5分 （2）猜想CF=BF+2AF ……………………………6分 过点A 作AP⊥AF 交CE 于点P ∴∠BAC=∠PAF=90° ∴∠BAC -∠PAO=∠PAF -∠PAO
∴∠PAC=∠FAB ∵∠ACE=∠DBA，AC=BC
∴△PAC≌△FAB ……………………………8分 ∴CP=BF ，AP=AF ……………………………9分 ∴△APF 为等腰直角三角形 ∴PF=2AF
∴CF=BF+2AF ……………………………10分 (3)2
sin
2m
AF BF CF += ……………………………12分 其他方法参照给分，如右图所示，在CF 上取FK=FB ， 证明△BCK∽△BAF，得CK=2AF ，进而得出CF=BF+2AF.
以下是本题最初想法，鉴于本次考试的难度，也想给学生树立点信心，在最后定稿时做了删减。

现提供给大家，在讲解试卷的时候可以视学情状况做适度处理（一定参考学生的能力状况）。

如图14-1，AC=k·AB，AE=k·AD，∠BAC=∠DAE=m°（m≦90），CE 、DB 交于点F ，连接AF ．
（1）如图14-2，当k=1，m=90时，猜想BD 、CE 的关系，并证明你的结论； （2）在（1）的条件下，线段AF 、BF 、CF 数量关系是；
（3）探究AF 、BF 、CF 数量关系(用含m 的三角函数表示)，并证明你的结论．
图14-1 图14-2
26、（1）点A （
2
13
，－5）代入解析式，得 6)5213
(52--=-a
解得：9
4
=a ……………………………1分
抛物线解析式为：9
46
940942+
-=x x y …………………2分 设直线CD 解析式为b kx y +=， ∵D（5，-6），C （0,4） ∴⎩⎨
⎧+=-=b
k b 564
得⎩
⎨⎧-==24k b
∴直线CD 解析式为42+-=x y ……………………………4分 （2）延长DE 交x 轴于点M ，作DH⊥x 轴于点H 。

∵∠EDB=∠CBO
∠CBO=∠MBD ∠BDE=∠MBD ∴MB=MD
设点M 的坐标为（t ，0）
42+-=x y ，当0=y 时，2=x
∴B（2，0） ……………………………5分 ∴MB=2-t 在Rt△DHM 中 MD=36)5(2
+-t
21 / 22 ∴2-t =36)5(2+-t 解得：219=
t ∴M )0,2
19(……………………………6分 设DM 解析式为：a mx y += ∴⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=a
m a m 562190 ∴⎪⎩
⎪⎨⎧-==33834a m ∴3
3834-=x y ……………………………8分 点E 为直线DM 和抛物线的交点
⎪⎩
⎪⎨⎧++=-=94694094338342x x y x y 解得：⎩⎨⎧-==65y x 或⎩
⎨⎧-==28y x ∴E（8，-2） ……………………………10分
其他方法参照给分，如过点E 作DH 垂线，之后借助相似或三角函数求出点E 坐标。

（3）存在，点R 坐标为（353-，0
解法如下，请参考：
设R （m ，0）
∵D（5，-6） E （8，-2）
∴22)62()58(+-+-=DE =5
∵∠EPR=∠CBO=∠MBD
22 / 22 又∠EPR+∠EPD =∠MBD+∠BRP
∴∠BRP=∠EPD
又∠MBD =∠BDE
PR=PE
∴△BRP≌△EPD
∴BP=DE=5
∵B （2，0），D （5，-6） ∴53)60()25(22=-+-=BD
∴PD=BD -BP=553- ∴BR= PD=553-
∴m－2=553- ∴m=353-
∴点R 坐标为（353-，0）
说明，本题最初想法是：以P 为旋转中点逆时针旋转PF ，使得旋转后对应射线PG 交两坐标轴于点G 。

此时与y 轴交于点G （0，－6），但计算比较麻烦，故本次考试没做要求。

讲解时大家视学情而做适度处理。