高数下课件 ch9_4

∫∫ ∫∫ Fz =
dFz =
D
−Gaρ
D
(x2
+
1 y2
+
a
2
)
3 2
dσ
z
∫ ∫ =
−Gaρ
2π
dθ
0
Rr
0
(r
2
+
a2
3
)2
dr
c
= −2πGaρ[
−1 r2 +
a2
]0R
a
= −2πGaρ( 1 − 1 )
a a2 + R2
o
2πGρ( a − 1).
y
a2 + R2
x
∫∫ yρ( x, y)dσ
由元素法，x = D
，y = D
.
∫∫ ρ( x, y)dσ
∫∫ ρ( x, y)dσ
D
D
如果平面薄片是均匀的，则质心也称为形心.
x
=
1
A
∫∫
D
xdσ，y
=
1
A
∫∫
D
ydσ，其中
A=
∫∫ dσ .
D
类似地，对于体密度为 ρ( x, y, z)，占有空间有界
闭区域 Ω 的物体，其质心坐标为
解 曲面 2z = x2 + y2 及 z = 3 − x2 − y2 所围成的区域
在 xOy 面上的投影为二者交线在 xOy 面上的投影
曲线所围成的区域. x2 + y2 = 2
而二者交线在 xOy 面上的投影曲线为 z = 0
故 D：x2 + y2 ≤ 2.
对 = S1：z
1 (x2 2
+
= I y ∫∫∫ (z2 + x2 )ρ( x, y, z)dv， Ω
= Iz ∫∫∫ ( x2 + y2 )ρ( x, y, z)dv. Ω
例4 设有一均匀的直角三角形薄板，两直角边长分
别为 a,b，求该三角形对两条直角边的转动惯量.
y 解 建立直角坐标系如图所示，
b
对 x 轴的转动惯量为
oa x
( x, y)，它对应曲面 S 上一点 M ( x, y, f ( x, y))，过点
M 作曲面 S 的切平面. 以 dσ 的边界曲线为准线作
母线平行于 z 轴的柱面，该柱面在曲面 S 上截下一
小块曲面 ∆A，在切平面上截下一小块平面 dA.
∆A ≈ dA (dA 与 ∆A 在 xOy 面上的投影均为 dσ )
GM
(x2
+
y2
+
a
2
)
3 2
, −GM
(x2
+
y2
+
a
2
)
3 2
)
∫∫ ∫∫ = Fx
= dFx
D
GM
D
xρ(x, y)
(x2
+
y2
+
a
2
)
3 2
dσ；
∫∫ ∫∫ = Fy
= dFy
D
GM
D
yρ(x, y)
(x2
+
y2
+
a
2
)
3 2
dσ；
∫∫ ∫∫ Fz =
dFz =
D
−GM
D
aρ(x, y)
(x2
y2 )，zx
=
x，
zy
=
y，
则
1+
z
2 x
+
z
2 y
=
1 + x2 + y2；
对 S2：z = 3 − x2 − y2，
zx =
−x 3 − x2
−
y2
，zy
=
−y ， 3 − x2 − y2
则
1+
z
2 x
+
z
2 y
= 3−
3 x2 −
y2
，
∫∫ A1=
1 + x2 + y2 dxdy
D：0 ≤ θ ≤ 2π，0 ≤ r ≤ 2.
2sinθ
dθ
=
1
3π
π 56 sin4 θ dθ
03
= 7 . 所以形心坐标为 (0, 7 ).
3
3
2. 转动惯量
由有限个质点所组成的质点系转动惯量的求法：
假设在 xOy 面上有 n 个质点，位于 Ai ( xi , yi ) 处， 质量为 mi (i = 1, 2,, n)，
质点系对于 x 轴和 y 轴的转动惯量分别为
n
n
∑ ∑ I x = mi yi2， I y = mi xi2 .
i =1
i =1
设有一平面薄片，占有 xOy 面上的闭区域 D，在
点 ( x, y) 处的面密度为 ρ( x, y). 假设 ρ( x, y) 在 D 上
连续，则平面薄片对于 x 轴和 y 轴的转动惯量为 平面薄片对于 x 轴的转动惯量为
∫∫ ∫ ∫ Ix = ρ D
y2dxdy = ρ
a
dx
0
b(1−
x a
)
y 2dy
=
1
ab 3 ρ，
0
12
对 y 轴的转动惯量为
∫∫ ∫ ∫ I y = ρ D
x2dxdy = ρ
b
dy
0
a (1−
y b
)
x
2dx
=
1
a 3bρ .
0
12
3. 引力
设有一平面薄片，占有 xOy 面上的闭区域 D，在
∫∫ A = 1 + ( ∂y )2 + ( ∂y )2 dzdx.
Dzx
∂z ∂x
例1 证明半径为 a 的球面面积 A = 4π a2 .
解 以坐标原点为球心，
上半球面方程为 z = f ( x, y) = a2 − x2 − y2，
−x
−y
zx =
a2 − x2 − y2 ，z y =
， a2 − x2 − y2
(称曲面 z = f ( x, y) 为“光滑曲面”) 分析：把曲面细分，在每一小曲面上任取一点 M， 求出曲面在点 M 处的切平面，“以平代曲”，再 求和取极限. 步骤 : (1) 计算面积 A 的元素；(2) 求重积分.
(1) 将区域 D 任意划分成 n 个小区域，任取其中
一个小区域 dσ (其面积也记作 dσ ). 取 dσ 上一点
dσ=
dA ⋅
cosγ，其中 γ
为
n
与
z
轴正方向的夹角.
dA =
n =(− fx , − f y ,1)，cosγ =
1+
f
2 x
+
f
2 y
dσ
—面积元素.
1
，
1+
f
2 x
+
f
2 y
n
dA
z
∆A
dσ= dA ⋅ cosγ
z
k
γ
n
M
dA
y
y
dσ
dσ ( x, y)
γ
x
x
(2)曲面 z = f ( x, y)的面积
= U ∫= ∫ dU ∫∫ f ( x, y)dσ
D
D
步骤 : (1) 计算总量的元素；(2) 求重积分.
二、曲面的面积—重积分在几何中的应用
设曲面 S= 的方程为 z f ( x, y)，( x, y) ∈ D，其中 D 为 曲面在 xOy 面上的投影区域.设函数 f ( x, y) 在 D 上 有一阶连续偏导数，求曲面 S 的面积 A.
D
∫ ∫ 2π
2
dθ
0
0
1 += r 2 rdr
2π
[
1 3
(1
+
r= 2 )32 ]0 2
2π (
3 − 1 )； 3
∫∫ ∫ ∫ A2
3 − x2 − y2
0
0
3 rdr
3− r2
= 2 3π [− 3 − r= 2 ]0 2 2π (3 − 3)，
=A
A1 += A2
2π (
3 − 1 + 3 − = 3) 3
16 π .
3
三、重积分在物理中的应用 —质心、转动惯量、引力
1. 质心
由有限个质点所组成的质点系质心坐标的求法：
假设在 xOy 面上有 n 个质点，位于 Ai ( xi , yi ) 处，
质量为 mi (i = 1, 2,, n)，令 ( x, y) 为质心坐标，则
集中在 ( x, y) 上，
则由质点间引力公式可得 dF 元素的大小为
dF =
GM
ρ( x, y)dσ
r2
，其中
r=
x2 + y2 + a2，
方向为 ( x, y,−a)，
xρ( x, y)dσ
dF
=
(dFx ,dFy ,dFz ) =
(GM
(x2
+
y2
+
a
2
)
3 2
,
yρ( x, y)dσ
aρ( x, y)dσ
则
1+
z
2 x
+
z
2 y
= a2
a − x2
−
y2
.
D：0 ≤ θ ≤ 2π，
0 ≤ r ≤ a.
∫∫ 球面面积 A = 2
a
dσ
D a2 − x2 − y2
∫ ∫ 2π
a
= 2 dθ
a
rdr
0
0 a2 − r2
= 4π a[− a2 − r 2 ]0a = 4π a2 .
例2 求由旋转抛物面 S1：2=z x2 + y2 及上半球面 S2：z = 3 − x2 − y2 所围成的立体的整个表面积.
点 ( x, y) 处的面密度为 ρ( x, y). 假设 ρ( x, y) 在 D 上
连续，求该平面薄片对位于 z 轴上点 P(0,0,a) 处的 质量为 M 的质点的引力. 元素法 (1) 将区域 D 任意划分成 n 个直径很小的小闭区域，
任取其中一个小闭区域 dσ (其面积也记作 dσ ). 在 dσ 上任取一点 ( x, y)，则 dm = ρ( x, y)dσ，dm
板的形心.
解 D 关于 y 轴对称， ∴ x =0.
A = 4π − π = 3π， D：0 ≤ θ ≤ π，2sinθ ≤ r ≤ 4sinθ .
∫∫ ∫ ∫ = y = 1 ydσ
1
π
4sinθ
dθ r sinθ ⋅ rdr
AD
3π 0
2sinθ
∫ ∫ = 1
3π
π 0
sinθ
[
r3 3
]4sinθ
Ix = ∫∫ y2ρ( x, y)dσ， D
平面薄片对于 y 轴的转动惯量为
I y = ∫∫ x2ρ( x, y)dσ . D
类似地，对于体密度为 ρ( x, y, z)，占有空间有界
闭区域 Ω 的物体，其对于 x 轴、y 轴、z 轴的转动 惯量分别为
= Ix ∫∫∫ ( y2 + z2 )ρ( x, y, z)dv， Ω
∫∫∫ xρ( x, y, z)dv
∫∫∫ yρ( x, y, z)dv
x= Ω
， y= Ω
，
∫∫∫ ρ( x, y, z)dv
∫∫∫ ρ( x, y, z)dv
Ω
Ω
∫∫∫ zρ( x, y, z)dv
z= Ω
.
∫∫∫ ρ( x, y, z)dv
Ω
例3 求位于= 两圆 r 2= sinθ，r 4sinθ 之间的均匀薄
问题的提出
重积分在几何中的应用
—曲面的面积
重积分在物理中的应用
—质心、转动惯量、引力
一、问题的提出
定积分的元素法
(1)
积分元素
b
dU；
(2) ∫a dU —定积分.
把定积分的元素法推广到重积分.
重积分问题 :
(1) 总量 U 可以表示成部分量之和.
(2) 部分量 ≈ f ( x, y)dσ = dU —称为总量 U 的元素.
∫∫ ∫∫ A=
D
1+
f
2 x
+
f
2 y
dσ=
D
1 + ( ∂z )2 + ( ∂z )2 dxdy. ∂x ∂y
同理可得，设曲面 S 的方程为 x = g( y, z)，
∫∫ A = 1 + ( ∂x )2 + ( ∂x )2 dydz.
D yz
∂y ∂z
设曲面 S 的方程为 y = h(z, x)，
n
n
=x
M=y M
∑ mi xi
i =1 n
，=y
∑ mi
M=x M
∑ mi yi
i =1 n
.
∑ mi
i =1
i =1
设有一平面薄片，占有 xOy 面上的闭区域 D，在
点 ( x, y) 处的面密度为 ρ( x, y). 假设 ρ( x, y) 在 D 上
连续，求平面薄片的质心.
∫∫ xρ( x, y)dσ
+
y2
+
a
2
)
3 2
dσ
.
所以引力 F = (Fx , Fy , Fz ).
例5 设有一半径为 R 的质量均匀分布的圆片，面密
度为 ρ，在过圆心且垂直圆片的轴线上有一单位质
点 c，距离为 a，求圆片对点 c 的引力.
解 由对称性知= ，Fx 0= ，Fy 0，所以 F = (0,0, Fz ).