2014年全国初中数学联赛初三组初赛试卷

第2题图
D
A
C
B
第4题图
D
A
C
B
2014年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷
（3月7日下午4：00—6：00）
班级：: 姓名： 成绩：
考生注意：
1、本试卷共五道大题，全卷满分140分；
2、用圆珠笔、签字笔或钢笔作答；
3、解题书写不要超出装订线；
4、不能使用计算器。

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
本题共有6个小题，每题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中有且只有一个是正确的。

将你选择的答案的代号填在题后的括号内。

每小题选对得7分；不选、错选或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。

1、某件商品的标价为13200元，若以8折降价出售，仍可获利10%（相对于进货价），则该商品的进货价是（ ）
A 、9504元
B 、9600元
C 、9900元
D 、10000元 2、如图，在凸四边形ABCD 中，BD BC AB ==，︒=∠80ABC ，则ADC ∠等于（ ）
A 、︒80
B 、︒100
C 、︒140
D 、︒160
3、如果方程()()0422=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么，实数m 的取值范围是（ ）
A 、04m <≤
B 、3≥m
C 、4≥m
D 、34m <≤
4、如图，梯形ABCD 中，CD AB //，︒=∠60BAD ，︒=∠30ABC ，6=AB 且CD AD =，那么
BD 的长度是（ ）
A 、7
B 、4
C 、72
D 、24
5、如果20140a -<<，那么|2014||2014|||+-+++-a x x a x 的最小值是（ ） A 、2014
B 、2014+a
C 、4028
D 、4028+a
6、方程()y x y xy x +=++322的整数解有（ ） A 、3组
B 、4组
C 、5组
D 、6组
二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）
1、如图，扇形AOB 的圆心角︒=∠90AOB ，半径为5，正方形CDEF 内接于该扇形，则正方形CDEF 的边长为 ．
2、已知四个自然数两两的和依次从小到大的次序是：23，28，33，39，x ，y ，则____=+y x ．
3、已知6=-y x ，922=-+-y xy xy x ，则22y xy xy x ---的值是 ．
4、有质地均匀的正方体形的红白骰子各一粒，每个骰子的六个面分别写有1、2、3、4、
5、6的自然数，随机掷红、白两粒骰子各一次，红色骰子掷出向上面的点数比白色骰子掷出向上面的点数小的概率是 ．
三、（本大题满分20分）
已知0422=-+a a ，2=-b a ，求b
a 2
11++的值。

D F E
O A
C
B
四、（本大题满分25分）
在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，AE 垂直于AB 边上的中线CD ，交BC 于点E . （1）求证：CE BC AC ⋅=2
（2）若3=CD ，4=AE ，求边AC 与BC 的长。

D
E
A
C
五、（本大题满分25分）
已知二次函数2
y x ax b =++的图像经过点A （1x ，0）、B （2x ，0）、C （2，m ），且1202x x <<<.
（1）求证：0m >； （2）若1≥b ，求证：1m <
2014年全国初中数学联赛（初三组）初赛
评 分 细 则
一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1、B ． 2、C ．
3、D ．
4、C ．
5、A ．
6、D ．
二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）
1
2、 93 ．
3、 4 ．
4、512
．
三、（本大题满分20分） 解：由已知得2b a =-， 所以
121a b ++2
123122
a
a a a a =+=+---． ········································· （10分） 显然0a ≠，由2240a a +-=得222a
a -=-． ···································· （15分）
所以
233222
a a
a a a a
==-----，
所以
12
1a b
++2=-． ·
··································································· （20分） 四、（本大题满分25分）
解：（1）因为CD 是AB 边上的中线， 所以CD ＝DB ，
∠ABC ＝∠DCB ＝∠CAE ， ∠ACB ＝∠ECA ＝90︒，
所以△ACB ∽△ECA ， ·································································· （5分） 所以
AC CB
EC CA
=
， 所以2AC BC CE =⋅． ··································································· （10分） （2）因为CD 是Rt △ABC 的中线， 所以CD=AD=BD 。

所以AB=6。

所以22236AC BC AB +==． ························································· （15分） 取BC 中点F ，连结DF ，则DF //AC ，∠DFC ＝∠ECA ＝90︒， 所以△DFC ∽△ECA ， DC FC
B
所以
23
2
BC CD CA AE ==， ·
································································· （20分）
故可解得AC BC ． ·
··········································· （25分） 法2：因为CD 是Rt △ABC 的中线， 所以CD=AD=BD 。

所以AB=6。

所以22236AC BC AB +==。

························································· （15分） 由（1）知△ACB ∽△ECA ，
所以6342
BC AB CA EA ===。

·
······························································ （20分）
故可解得AC BC ． ·
··········································· （25分） 五、（本大题满分25分）
证：（1）由已知可得方程20x ax b ++=的两根为1x 、2x ，
所以12x x a +=-，12x x <，所以222
a
x >>-， ··································· （5分）
由已知可得，当2a
x >-时二次函数2y x ax b =++的值随x 的增大而增大．
所以二次函数在2x =的函数值大于在2x x =的函数值．
即0m >． ·················································································· （10分） 法2：又由已知可得212()()x ax b x x x x ++=--，
所以12(2)(2)m x x =--。

······························································ （5分） 又因为1202x x <<<， 所以120x ->，120x ->，
所以0m >． ··············································································· （10分） （2）由已知得212()()x ax b x x x x ++=-- 令0x =得12b x x =，
令2x =得12(2)(2)m x x =--，
所以22121212(2)(2)[1(1)][1(1)]bm x x x x x x =--=----。

······················ （15分） 因为1202x x <<<，所以2101(1)1x <--≤，2201(1)1x <--≤， 并且211(1)1x --=和221(1)1x --=不能同时成立，
所以01bm <<． ········································································· （20分） 又1b ≥，所以1m <． ··································································· （25分）。