高考数学核心知识与技巧速记手册 解析版

高考数学核心知识与技巧速记手册
目录
技巧01权方和不等式的应用
技巧02普通型糖水不等式的应用
技巧03对数型糖水不等式的应用
技巧04基本不等式链的应用
技巧05“奇函数+常函数”的最大值+最小值
技巧06“奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)
技巧07已知函数解析式判断函数图象
技巧08已知函数图象判断函数解析式
技巧09两类经典超越不等式比较函数值大小关系
技巧10泰勒不等式比较函数值大小关系
技巧11不等式放缩合集比较函数值大小关系
技巧12函数对称性的应用
技巧13解不等式(含分段函数)的应用
技巧14整数解的应用
技巧15零点的应用
技巧16切线与公切线的应用
技巧17端点效应(必要性探索)
技巧18函数凹凸性
技巧19洛必达法则
技巧20导数中的极值点偏移问题
技巧21半角公式的应用
技巧22万能公式的应用
技巧23正余弦平方差公式的应用
技巧24三角函数异名伸缩平移
技巧25“爪子定理”的应用
技巧26系数和(等和线)的应用
技巧27极化恒等式的应用
技巧28奔驰定理与三角形四心的应用
技巧29角平分线定理的应用
技巧30张角定理的应用
技巧31点对称问题
技巧32圆中的切线问题
技巧33圆锥曲线中焦点弦的应用
技巧34圆锥曲线中中点弦的应用
技巧35复数的模长及最值的应用
技巧01权方和不等式的应用及解题技巧
权方和不等式的初级应用:若a ,b ,x ,y >0则a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y 当且仅当a x =b
y 时取等.
(注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀)1.已知a >1,b >12，且2a +b =3，则1a -1+1
2b -1
的最小值为()
A.1
B.
9
2
C.9
D.
12
【详解】因为2a +b =3，所以4a +2b =6
由权方和不等式a 2x +b 2
y ≥(a +b )2x +y
可得
1a -1+12b -1=44a -4+12b -1=224a -4+12
2b -1≥2+1 2
4a -4+2b -1
=9当且仅当24a -4=12b -1
，即a =76,b =2
3时，等号成立．【答案】C
2.已知正数x ，y ，z 满足x +y +z =1，则x 2y +2z +y 2z +2x +z 2
x +2y
的最小值为
【分析】根据权方和不等式可得解.
【详解】因为正数x ，y 满足x +y +z =1，
所以x 2y +2z +y 2z +2x +z 2x +2y ≥x +y +z 2
y +2z +z +2x +x +2y =1
3
，
当且仅当x y +2z =y z +2x =z x +2y 即x =y =z =13时取等号，故答案为：1
3
.
3.已知x +2y +3z +4u +5v =30，求x 2+2y 2+3z 2+4u 2+5v 2的最小值为
【分析】应用权方和不等式即可求解.
【详解】x 2
+2y 2
+3z 2
+4u 2
+5v 2
=x 21+2y
22+3z 23+4u 24+
5v 2
5
≥x +2y +3z +4u +5v 2
1+2+3+4+5=30215
=60
当且仅当x =y =z =u =v 时取等号，故答案为：60
技巧02普通型糖水不等式的应用
1.糖水不等式定理，若a >b >0,m >0,则一定有
b +m a +m >b
a
通俗的理解:就是a 克的不饱和糖水里含有b 克糖,往糖水里面加入m 克糖,则糖水更甜;2.糖水不等式的倒数形式，设a >b >0,m >0,则有:
a b >a +m
b +m
1.(2020·全国·统考高考真题)已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则()
A.a <b <c
B.b <a <c
C.b <c <a
D.c <a <b
【详解】
a =ln3ln5<ln3+ln 85ln5+ln 85=ln 245ln8<ln5ln8=
b ,又a =ln3ln5<ln3+ln 135ln5+ln 135=ln 395
ln13<ln8ln13=c ，
用排除法,选A 。

技巧03对数型糖水不等式的应用
(1)设n ∈N +,且n >1,则有log n +1n <log n +2(n +1)(2)设a >b >1,m >0,则有log a b <log a +m (b +m )
(3)上式的倒数形式：设a >b >1,m >0,则有log b a >log b +m (a +m )1.(2022·全国·统考高考真题)已知9m =10,a =10m -11,b =8m -9，则()
A.a >0>b
B.a >b >0
C.b >a >0
D.b >0>a
【详解】对数型糖水不等式
因为9m =10,所以m =log 910.在上述推论中取a =9,b =10,可得m =log 910>log 1011=lg11,且m =log 910<log 89.所以a =10m -11>10
lg11
-11=0,b =8m -9<8
log 99
-9=0,即a >0>b ,选A .
技巧04
基本不等式链的应用
基本不等式链:
a 2+
b 22≥a +b 2
≥ab ≥2
1a
+1b (a >0,b >0),当且仅当a =b 时,等号成立.1.(2022·全国·统考高考真题)若x ，y 满足x 2+y 2-xy =1，则()
A.x +y ≤1
B.x +y ≥-2
C.x 2+y 2≤2
D.x 2+y 2≥1
【详解】由基本不等式链:a 2+b 22≥a +b 2≥ab ≥21a +1b
(a >0,b >0),
可得ab ≤a +b 2 2≤a 2+b 2
2
(a ,b ∈R )，对于AB
由x 2+y 2-xy =1可变形为，x +y 2-1=3xy ≤3x +y 2
2
，解得-2≤x +y ≤2，当且仅当x =y =-1时，x +y =-2，当且仅当x =y =1时，x +y =2，所以A 错误，
B 正确；对于C
【法一】由x 2
+y 2
-xy =1可变形为x 2
+y 2
-1=xy ≤x 2+y 22
，解得x 2+y 2≤2，当且仅当x =y =±1时取
等号，所以C 正确
【法二】由x 2+y 2≥2x +y 2
2,xy ≤x +y 2 2,得x 2-xy +y 2
≥2x +y 2 2-x +y 2 2,
又因为x2-xy+y2=1,所以2
x+y
2
2-x+y2 2≤1,即14(x+y)2≤1,x+y≤2.
【法三】x2-xy+y2=(x+y)2-3xy≥(x+y)2-3
x+y
2
2=14(x+y)2,
又因为x2-xy+y2=1,所以1
4
(x+y)2≤1,x+y≤2.
【答案】：BC．
技巧05“奇函数+常函数”的最大值+最小值
在定义域内，若F x =f x +A，其中f x 为奇函数，A为常数，则最大值M，最小值m有M+m= 2A
即M+m=2倍常数
1.(2023上·江苏·高三模拟)已知M、m分别是函数++1的最大值、最小
值，则M+m=
M+m=2倍常数=2
2.已知函数f x =ax3-ln x2+1+x
+3sin x+7，x∈-2023,2023
的最大值为M，最小值为m，则M+m=.
【法一】M+m=2倍常数=14
【法二】M+m=2f0 =14
3.函数f(x)=3e x+e-x
e x+e-x
，x∈[-5,5]，记f(x)的最大值为M，最小值为m，则M+m=.
f(x)=3e x+e-x
e x+e-x =e x-e-x
e x+e-x
+2
【法一】M+m=2倍常数=4
【法二】M+m=2f0 =4
技巧06“奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)
在定义域内，若F x =f x +A，其中f x 为奇函数，A为常数，有f a +f-a
=2A 即f a +f-a
=2倍常数
1.(全国·高考真题)已知函数f x =ln1+x2-x
+1，f a =4，则f-a
=．ln1+x2-x
在定义域内为奇函数
所以f a +f-a
=2倍常数=2，解得f-a
=-2
【答案】-2
2.已知函数f x =ln
1+x 1-x +1-x x ，则f 1e +f -1
e
=．
f x =ln 1+x 1-x +1x -1，ln 1+x 1-x 和1
x 在定义域内为奇函数
所以f 1e +f -1
e
=2倍常数=-2
【答案】-2
技巧07
已知函数解析式判断函数图象解
特值与极限
①2=1.414,⥄3=1.732,5=2.236,6=2.45,7=2.646②e =2.71828,e 2
=7.39,e 12
=e =1.65③ln1=0,ln2=0.69,ln3=1.1,ln e =1,ln e =
1
2
④sin1=0.84,cos1=0.54,sin2=0.91,cos2=-0.42特别地：当x →0时sin x =x
例如：sin0.1=0.099≈0.1，sin0.2=0.199≈0.2,sin0.3=0.296≈0.3当x →0时cos x =1
cos0.1=0.995≈1,cos (-0.2)=0.980≈1
1.函数y =3x -3-x cos x 在区间-π2,π2
的图象大致为()
A. B.
C. D.
令f x =3x -3-x cos x ,x ∈-π2,π2 ，由奇偶性定义知f x 为奇函数，排除BD ；【法一】特值
f 0.1 =30.1-3-0.1 cos0.1≈30.1-3-0.1 ×0.995>0，故选：A .【法二】极限法
当x →0+时cos x =1，3x →1+，3-x →1-
所以当x →0+时y =3x -3-x cos x >0，故选：A .【法三】当x ∈0,π2
时，3x -3-x
>0,cos x >0，所以f x >0【答案】A
技巧08已知函数图象判断函数解析式
1.(2022·全国·统考高考真题)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]的大致图像，则该函数是(
)
A.y =
-x 3+3x x 2+1
B.y =x 3-x
x 2
+1
C.y =
2x cos x x 2+1
D.y =
2sin x x 2+1
【法一】特值由图知：f 2 <0，对于A ，f 2 =-25，对于B ，f 2 =65，对于C ，f 2 =2×2×-0.42 5<0，对于D ，f 2 =2×0.91
5
>0排除BD
结合函数零点位置可选A 【法二】猜测近似函数值由图知f 1 ≈1
分别计算四个函数值即可得到答案
【法三】
设f x =x 3-x
x 2+1，则f 1 =0，故排除B ;
设h x =2x cos x x 2+1
，当x ∈0,π
2 时，0<cos x <1，
所以h x =2x cos x x 2+1<2x
x 2+1≤1，故排除C ;
设g x =2sin x x 2+1
，则g 3 =2sin3
10>0，故排除D .
【答案】A
技巧09两类经典超越不等式比较函数值大小关系
e x≥x+1，e x≥ex，1-1
x ≤ln x≤x-1，ln x≤x
e
1.已知a=1
100,b=e-99100,c=ln101
100
,则a,b,c的大小关系为()
A.a<b<c
B.a<c<b
C.c<a<b
D.b<a<c
e-99100>-99
100+1=1
100
c=ln101
100<101
100
-1=1
100
【答案】C
技巧10泰勒不等式比较函数值大小关系常见函数的泰勒展开式：
(1)e x=1+x
1!+x2
2!
+x3
3!
+⋯+x n
n!
+x n+1
n+1
!
eθx，其中0<θ<1
；
(2)ln1+x
=x-x2
2!
+x3
3!
-⋯+-1
n-1
x n
n!
+R n，其中R n=-1
n
x n+1
n+1
!
1
1+θx
n+1；
(3)sin x=x-x3
3!+x5
5!
-⋯+-1
k-1
x2k-1
2k-1
!
+R n，其中R n=-1
k
x2k+1
2k+1
!
cosθx；
(4)cos x=1-x2
2!+x4
4!
-⋯+-1
k-1
x2k-2
2k-2
!
+R n，其中R n=-1
k
x2k
2k
!
cosθx；
(5)1
1-x
=1+x+x2+⋯+x n+o(x n)；
(6)(1+x)n=1+nx+n(n-1)
2!
x2+o(x2)；
(7)tan x=x+x3
3+2
15
x5+⋅⋅⋅+o x2n
；
(8)1+x=1+1
2x-1
8
x2+1
16
x3+⋅⋅⋅+o x n
．
由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式：
e x≥1+x，e x≥1+x+1
2x2x≥0
，sin x≥x-
1
6
x3x≥0
，
cos x≥1-1
2
x2，ln x≤x-1，e x-1≥x，
tan x≥x+1
3x3x≥0
，1+x≤1+
1
2
x，ln1+x
≤x．
常见函数的泰勒展开式：
结论1ln (1+x )≤x (x >-1)．结论2ln x ≤x -1(x >0)．
结论31-1
x ≤ln x (x >0)．结论4x 1+x <ln 11-x 1+x ⇒x
1+x <ln 1+x ．
结论51+x ≤e x ；e x ≤
11-x x <1 ；
x
1+x
≤ln 1+x ≤x x >-1 ．结论6e x ≥1+x (x ∈R )；结论7e -x ≥1-x (x ∈R )结论8
1
1-x ≥e x x <1 ．结论91
1-x ≤e x x >1 ．
1.(2022年新Ⅰ卷高考真题第7题)设a =0.1e 0.1，b =19
，c =-ln0.9则()
A.a <b <c
B.c <b <a
C.c <a <b
D.a <c <b
泰勒公式法：
因为e 0.1
≈1+0.1+0.122=1.105，所以0.1e 0.1≈0.1105<19
=0.11111=b ，所以a <b
因为
c =-ln0.9=ln 109=ln 19+1 ≈19
-1
9
2
2
+
1
9
3
3
=
19-1162+12187≈1
9
-0.006=0.105<a 所以c
<a
综上所述：c <a <b 故选：C
2.(2022·全国·统考高考真题)已知a =3132,b =cos 14,c =4sin 1
4
，则()
A.c >b >a
B.b >a >c
C.a >b >c
D.a >c >b
泰勒展开
设x =0.25，则a =3132=1-0.2522，b =cos 14≈1-0.2522+0.254
4!，
c =4sin 14=sin 1414
≈1-0.2523!+0.254
5!
，计算得c >b >a ，故选A .
技巧11不等式放缩合集比较函数值大小关系
sin x <x <tan x ,x ∈0,
π
2
ln x <x -1x (x >1)，ln x >x -1x
(0<x <1)，ln x <
12x -1x (x >1)，ln x >12x -1x (0<x <1)，ln x >-12x 2+2x -32(x >1)，ln x <-12x 2+2x -3
2(0<x <1)
ln x >
2(x -1)x +1(x >1)，ln x <2(x -1)
x +1
(0<x <1)放缩程度综合1-1x <12x -1x <x -1x <ln x <2(x -1)x +1<-12x 2+2x -32<x -1(0<x <1)
1-1x <-12x 2+2x -32<2(x -1)x +1<ln x <x -1x
<12x -1x <x -1(1<x <2)-12x 2+2x -32<1-1x <2(x -1)x +1<ln x <x -1x
<12x -1x <x -1(x >2)
x +1<e x <
11-x (x <1)，1
1-x
<x +1<e x (x >1)1.(2022·全国·统考高考真题)设a =0.1e 0.1,b =1
9
，c =-ln0.9，则()
A.a <b <c
B.c <b <a
C.c <a <b
D.a <c <b
放缩法
因为x +1<e x <
1
1-x (x <1)，所以1.1<e 0.1<11-0.1⇒0.11<a =0.1e 0.1<0.1×11-0.1=1
9=b ，即a <b
因为ln x <12x -1
x
(x >1)，
所以c=-ln0.9=ln 10
9
<1
2
10
9
-9
10
=19180<0.11<a，即c<a
综上所述：c<a<b，故选：C
2.(2022·全国·统考高考真题)已知a=31
32,b=cos1
4
,c=4sin1
4，则()
A.c>b>a
B.b>a>c
C.a>b>c
D.a>c>b 【法一】：不等式放缩一
因为当x∈0,π2
,sin x<x，
取x=1
8得：cos
1
4
=1-2sin21
8
>1-21
8
2=3132，故b>a
4sin1
4+cos1
4
=17sin1
4
+φ
，其中φ∈0,π2
，且sinφ=117,cosφ=417
当4sin 1
4
+cos1
4
=17时，1
4
+φ=π
2，及φ=
π
2
-1
4
此时sin 1
4
=cosφ=4
17
，cos
1
4
=sinφ=1
17
故cos 1
4
=1
17
<4
17
=sin1
4
<4sin1
4，故b<c
所以b>a，所以c>b>a，故选A 【法二】不等式放缩二
因为c
b
=4tan1
4，因为当x∈0,
π
2
,sin x<x<tan x，所以tan14>14,即c b>1，所以c>b；因为当x∈
0,π
2
,sin x<x，取x=18得cos14=1-2sin218>1-218 2=3132，故b>a，所以c>b>a．
故选：A．
技巧12函数对称性的应用
1.(全国·高考真题)设函数y=f(x)的图像与y=2x+a的图像关于直线y=-x对称，且f(-2)+f(-4)= 1，则a=()
A.-1
B.1
C.2
D.4
反解f(x)的解析式，可得-x=2-y+a，即y=a-log2-x
，
因为f(-2)+f(-4)=1，所以a-log22+a-log24=1，解得解得a=2，故选C
技巧13解不等式(含分段函数)的应用
1.(全国·高考真题)设函数f x =ln1+x
-
1
1+x2
,则使f x >f2x-1
成立的x的取值范围是
A.1
3,1
B.-∞,13
∪1,+∞
C.-13,
1
3
D.-∞,-
13 ∪1
3
,+∞ 【特值法】
当x =1时，f 1 >f 1 不成立，排除D ，当x =0时，则判断f 0 >f -1 是否成立，
计算f 0 =-1，f -1 =ln2-1
2
≈0.19，不成立，故排除B 、C ,
【答案】A
技巧14整数解的应用
1.已知关于x 的不等式ln x -kx 4+kx 3>0恰有一个整数解，则实数k 的取值范围为()
A.ln354,18
B.ln327,1
8
C.-∞,
ln2
8 D.ln354,ln28
【猜根法，寻找临界条件】
由题知整数解不可能为1，
若整数解为2，则整数解3不可取，代入有ln2-16k +8k =0⇒k =ln2
8
，ln3-81k +27k =0⇒k =
ln3
54
，根据整数解问题区间为一开一闭，则选D .技巧15零点的应用
1.(全国·高考真题)已知函数f (x )=x 2-2x +a (e x -1+e -x +1)有唯一零点，则a =A.-1
2
B.
13
C.
12
D.1
通过观察发现x 2-2x 关于x =1对称，e x -1+e -x +1也关于x =1对称，
则唯一零点为1，解得解得a =1
2
.故选：C .
技巧16切线与公切线的应用
1.(2021·全国·统考高考真题)若过点a ,b 可以作曲线y =e x 的两条切线，则()
A.e b <a
B.e a <b
C.0<a <e b
D.0<b <e a
画出函数曲线y =e x 的图象如图所示，根据直观即可判定点a ,b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0<b <e a .
故选：D .
2.(全国·高考真题)若直线y =kx +b 是曲线y =ln x +2的切线，也是曲线y =ln (x +1)的切线，则b =
．
对函数y =ln x +2求导得y =
1x ，对y =ln (x +1)求导得y =1
x +1
，设直线y =kx +b 与曲线y =ln x +2相切于点P 1(x 1,y 1)，与曲线y =ln (x +1)相切于点P 2(x 2,y 2)，则y 1=ln x 1+2,y 2=ln (x 2+1)，由点P 1(x 1,
y 1)在切线上得y -ln x 1+2 =1x 1(x -x 1)，由点P 2(x 2,y 2)在切线上得y -ln (x 2+1)=1
x 2+1
(x -x 2)，这两
条直线表示同一条直线，所以1x 1=1x 2+1ln (x 2+1)=ln x 1+2x 2+1x 2+1
，解得x 1=12,∴k =1
x 1=2,b =ln x 1+2-1=1
-ln2.
技巧17
端点效应(必要性探索)
端点效应的类型
1.如果函数f (x )在区间[a ,b ]上,f (x )≥0恒成立,则f (a )≥0或f (b )≥0.
2.如果函数f (x )在区问[a ,b ]上,f (x )≥0恒成立,且f (a )=0(或f (b )=0),则f (a )≥0(或f (b )≤0 .
3.如果函数f (x )在区问[a ,b ]上,f (x )≥0恒成立,且f (a )=0,f (a )=0(或f (b )=0,f (b )≤0 则f (a )≥0(或f (b )≤0 .
1.(2023·全国·统考高考真题)已知函数f (x )=ax -sin x cos 3x
,x ∈0,π
2 (1)当a =8时，讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )<sin2x 恒成立，求a 的取值范围．
【法一】端点效应一
令g (x )=f (x )-sin2x ,x ∈0,π2 ，得g (0)=0，且g (x )<0在x ∈0,π
2
上恒成立画出草图
根据端点效应,需要满足g (0)≤0，而g (x )=a -1+2sin 2x
cos 4
x
-2cos2x 则g (0)=a -3,令g (0)≤0,得a ≤3
当a ≤3时,由于g (0)=0,只需证g (x )<0即可而g (x )含有参数a ,故可对g (x )进行放缩
即g
x =a -1+2sin 2x cos 4x -2cos2x ≤3-1+2sin 2x cos 4x -2cos2x =5-3-2cos 2x
cos 4
x -4cos 2x 令t =cos 2
x ,其中0<t <1
设h (t )=5-3-2t
t 2
-4t 则h
(t )=6t 3-2t
2-4=
-4t 3-2t +6t 3令p (t )=-4t 3-2t +6
则p (t )=-12t 2-2<0,故p (t )在(0,1)上递减,得p (t )>p (1)=0则h (t )>0,得h (t )在(0,1)上单调递增,则h (t )<h (1)=0即g (x )<0,满足g (x )<g (0)=0成立当a >3时，由于g 0 =a -3>0,故存在x 0,使得在0,x 0 上g (x )>0,
所以g (x )在0,x 0 上单调递增,则g (x )>g (0)=0,不成立特上所述:a ≤3.【法二】端点效应二(2)f (x )<sin2x ⇒ax -sin x cos 3
x <sin2x ⇒g (x )=ax -sin2x -sin x
cos 3x
<0由于g (0)=0,且
g
(x )=a -2cos2x -cos 2x +3sin 2x cos 4x
,
注意到当g (0)>0,即a >3时,∃x 0∈0,π
2
使g (x )>0在x ∈0,x 0 成立,故此时g (x )单调递减∴g (x )>g (0)=0,不成立.
另一方面,当a ≤3时,g (x )≤3x -sin2x -sin x
cos 3x
≡h (x ),下证它小于等于0.令h x =3-2cos2x -3-2cos 2x
cos 2x
=3cos 4x +2cos 2x -3-2cos2x cos 4x
cos 4
x =3cos 4x -1 +2cos 2x 1-cos2x cos 2x cos 4x
=-cos 2x -1 24cos 2x +3 cos 4x
<0.
∴g (x )单调递减,∴g (x )≤g (0)=0.特上所述:a ≤3.
技巧18函数凹凸性解题技巧
凹函数：对于某区间内∀x 1,x 2,都有f x 1 +f x 2 2>f x 1+x 2
2 .
凸函数：对于某区间内∀x 1,x 2,都有
f x 1 +f x 2 2<f x 1+x 2
2
.
1.在△ABC 中,求sin A +sin B +sin C 的最大值.
因为函数y =sin x 在区间(0,π)上是上凸函数,则
13(sin A +sin B +sin C )≤sin A +B +C 3 =sin π3=32
即sin A +sin B +sin C ≤332,当且仅当sin A =sin B =sin C 时,即A =B =C =π
3
时,取等号.
上述例题是三角形中一个重要的不等式:在△ABC 中,sin A +sin B +sin C ≤33
2
.
2.丹麦数学家琴生(Jensen )是19世纪对数学分析做出卓越贡献的数学家，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．设函数f (x )在(a ,b )上的导函数为f (x )，f (x )在(a ,b )上的导函数为f (x )，若在(a ,b )上f (x )<0恒成立，则称函数f (x )在(a ,b )上为“凸函数”．已知f (x )=e x -x ln x -m 2
x 2
在(1,4)上为“凸函数”，则实数m 的取值范围是()
A.e -1,+∞
B.e -1,+∞
C.
e 4-14
,+∞ D.e 4-
1
4
,+∞ 因为f (x )=e x -x ln x -
m 2
x 2
，所以f (x )=e x -1+ln x -mx =e x -mx -ln x -1，
f (x )=e x -m -1
x
，
因为f (x )=e x -x ln x -m
2x 2在(1,4)上为“凸函数”，
所以f (x )=e x -m -1
x
<0对于x ∈(1,4)恒成立，
可得m >e x -1
x 对于x ∈(1,4)恒成立，
令g x =e x -1
x ，则m >g x max ，
因为g x =e x +1x
2>0，所以g x =e x -1
x 在(1,4)单调递增，
所以g x max<g4 =e4-1 4，
所以m≥e4-1 4，
【答案】C
技巧19洛必达法则法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件：
(1)lim
x→a f x =0及lim
x→a
g x =0；
(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0；
(3)lim
x→a f x
g x
=l，
那么lim
x→a f x
g x
=lim
x→a
f x
g x
=l0
0型
法则2若函数f(x)和g(x)满足下列条件：
(1)lim
x→a f x =∞及lim
x→a
g x =∞；
(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0；
(3)lim
x→a f x
g x
=l，
那么lim
x→a f x
g x
=lim
x→a
f x
g x
=l∞
∞型
1.(全国高考)已知ln x
x+1+1
x
>ln x
x-1
+k
x恒成立,求k的取值范围
【分析】上式中求lim
x→12x ln x
1-x2
+1用了洛必达法则当x→1时,分子2x ln x→0,分母1-x2→0,符合0
不定形式,所以lim
x→12x ln x
1-x2
=lim
x→1
2+2ln x
-2x
=-1
解:ln x
x+1
+1
x
>ln x
x-1
+k
x
⇔k<2x ln x
1-x2
+1记g(x)=2x ln x
1-x2
+1,
则g (x)=2x2+1
ln x+21-x2
1-x2
2
=
2x2+1
1-x2
2
ln x+1-x2
x2+1
记h x =ln x+1-x2 x2+1
则h (x)=1
x
-4x
1+x2
2
=
1-x2
2
x1+x2
2
>0
所以,h(x)在(0,+∞)单调递增,且h(1)=0
所以x∈(0,1)时,h(x)<0,x∈(1,+∞)时,h(x)>0即g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增
所以k ≤lim x →1g x =lim
x →12x ln x
1-x
2+1
=lim x →12x ln x 1-x 2+1=lim x →12+2ln x -2x +1=1-1=0所以k ≤0
2.(全国高考)∀x ∈(0,+∞),e x -1-x -ax 2≥0恒成立,求a 的取值范围
解:e x -1-x -ax 2≥0⇔a <e x -x -1x 2
记g (x )=e x -x -1
x 2
,
则g
(x )=
xe x -2e x +x +2x 3
记h (x )=xe x -2e x +x +2则h (x )=xe x -e x +1h (x )=xe x >0
所以,h (x )在(0,+∞)单调递增,所以h (x )>h (0)=0所以,h (x )在(0,+∞)单调递增,所以h (x )>h (0)=0即在(0,+∞)上g (x )>0,所以g (x )在(0,+∞)上单调递增
所以a ≤lim x →0g (x )=lim x →0e x -x -1x
2=lim x →0e x -12x =lim x →0e x 2=1
2所以a ≤
1
2
技巧20导数中的极值点偏移问题
1.(2022·全国·统考高考真题)已知函数f x =e x
x -ln x +x -a ．
(1)若f x ≥0，求a 的取值范围；
(2)证明：若f x 有两个零点x 1,x 2，则x 1x 2<1．
(2)[方法一]：构造函数
由题知,f x 一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设x 1<1<x 2
要证x 1x 2<1,即证x 1<
1
x 2
因为x 1,1x 2∈(0,1),即证f x 1 >f
1
x 2
又因为f x 1 =f x 2 ,故只需证f x 2 >f
1
x 2
即证e x x -ln x +x -xe 1
x
-ln x -1x
>0,x ∈(1,+∞)
即证e x x -xe 1
x
-2ln x -12x -1x
>0下面证明x >1时，e x x -xe 1
x
>0,ln x -12x -1x <0
设g (x )=e x x
-xe 1
x
,x >1，
则g
(x )=1x -1x 2 e x -e 1x +xe 1x ⋅-1x
2
=1x 1-1x e x -e 1
x
1-1x =1-1x e x x -e 1x =x -1x e x x -e
1
x
设φx =e x x x >1 ,φ x =1x -1x 2
e x =x -1
x
2e x >0
所以φx >φ1 =e ,而e 1x
<e
所以e x x
-e 1
x
>0,所以g (x )>0
所以g (x )在(1,+∞)单调递增
即g (x )>g (1)=0,所以e x x
-xe 1
x
>0
令h (x )=ln x -12x -1
x
,x >1
h
(x )=1x -121+1x 2
=2x -x 2-12x 2=-(x -1)22x 2
<0
所以h (x )在(1,+∞)单调递减
即h (x )<h (1)=0,所以ln x -12x -1
x
<0；
综上,e x
x -xe 1x -2ln x -12x -1x
>0,所以x 1x 2<1.[方法二]：对数平均不等式
由题意得：f x =e x x +ln e x
x
-a
令t =e x x >1，则f t =t +ln t -a ，f 't =1+1t
>0
所以g t =t +ln t -a 在1,+∞ 上单调递增，故g t =0只有1个解
又因为f x =e x x +ln e x x -a 有两个零点x 1,x 2，故t =e x
1x 1=
e
x 2
x 2
两边取对数得：x 1-ln x 1=x 2-ln x 2，即x 1-x 2
ln x 1-ln x 2
=1
又因为x 1x 2<x 1-x 2
ln x 1-ln x 2* ，
故x 1x 2<1，即x 1x 2<1下证x 1x 2<x 1-x 2
ln x 1-ln x 2
*
因为x 1x 2<x 1-x 2ln x 1-ln x 2⇔ln x 1-ln x 2<x 1-x 2x 1x 2
⇔ln x 1x 2<x 1
x 2-x 2x 1不妨设t =x 1x 2>1，则只需证2ln t <t -1
t
构造h t =2ln t -t +1t ,t >1，则h 't =2t -1-1t 2=-1-1t 2
<0
故h t =2ln t -t +1
t
在1,+∞ 上单调递减
故h t <h 1 =0，即2ln t <t -1
t
得证
技巧21半角公式的应用
sinα
2=±1-cosα
2，cos
α
2
=±1+cosα
2，tan
α
2
=±1-cosα
1+cosα=
sinα
1+cosα
=1-cosα
sinα.
1.(2023·全国·统考高考真题)已知α为锐角，cosα=1+5
4，则sin α
2
=( )．
A.3-5
8B.-1+5
8
C.3-5
4
D.-1+5
4
【详解】因为cosα=1-2sin2α
2
=1+5
4，而α为锐角，
所以sin α
2
=1-cosα
2=
3-5
8=
5-1
2
16=
5-1
4．
技巧22万能公式的应用
sin x=
2tan x
2
1+tan2x
2
cos x=
1-tan2x
2
1+tan2x
2
tan x=
2tan x
2
1-tan2x
2
1.在△ABC中,tan C
2=3tan A
2
,则2
sin A
+6
sin C的最小值为()
A.4
B.25
C.45
D.16
【解析】2
sin A +6 sin C
=2
2tan A2
1+tan2A2+6
2tan C2
1+tan2C2
=1+tan2A
2
tan A
2
+
31+tan2C
2
tan C
2
=1 tan A
2+tan A
2
+3
tan C
2
+3tan C
2
=1 tan A
2+tan A
2
+3
3tan A
2
+3⋅3tan A
2
=10tan A
2+2 tan A
2
≥220=45.最小值为45
技巧23正余弦平方差公式的应用
正弦平方差公式:sin 2A -sin 2B =sin A +B sin A -B 余弦平方差公式:cos 2A -sin 2B =cos A +B cos A -B 1.已知sin α=
12,sin β=1
3
,则sin α+β sin α-β =由已知可得sin α+β sin α-β =sin 2α-sin 2β=12 2-13 2=5
36
.
技巧24
三角函数异名伸缩平移
通常用sin x =cos x -
π2
进行正弦化余弦，用cos x =sin x +π
2 进行余弦化正弦1.若要得到函数f x =sin 2x +π6 的图象，只需将函数g x =cos 2x +π
3
的图象()
A.向左平移
π
6个单位长度 B.向右平移
π
6个单位长度C.向左平移π
3
个单位长度
D.向右平移π
3个单位长度
我们可以对平移前g x =cos 2x +
π3 进行变换，g x =cos 2x +π3 =sin 2x +π3+π2
=sin 2x +5π6 ，从而转化为g x =sin 2x +5π6 f x =sin 2x +π6
的变换；我们同样也对平移后f x =sin 2x +π6 进行变换，f x =sin 2x +π6 =cos 2x +π6-π
2
=
cos 2x -π3 ，从而转化为g x =cos 2x +π3 f x =cos 2x -π3
的变换，进而求解变换过程【答案】D 技巧25“爪子定理”的应用
1.(全国·高考真题)设D 为△ABC 所在平面内一点，且BC =3CD ，则()
A.AD =-13AB +43
AC
B.AD =13AB
-43AC C.AD =43AB +13
AC
D.AD =43
AB -13
AC
解析：由图可想到“爪字形图得：AC =14AB +34AD ，解得：AD =-13AB +43
AC
答案：A
技巧26系数和(等和线)的应用
1.(全国·高考真题)在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．
若AP =λAB +μAD ，则λ+μ的最大值为A.3
B.22
C.5
D.2
【系数和】分析：如图，
由平面向量基底等和线定理可知，当等和线l 与圆相切时，λ+μ最大，此时
λ+μ=AF AB =AB +BE +EF AB =3AB
AB
=3,
故选A .
2.边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD (含短点)上运动，P 是圆Q 上
及其内部的动点，设向量AP =mAB +nAF
(m ,n ∈R )，则m +n 的取值范围是()A.1,2
B.5,6
C.2,5
D.3,5
分析:如图，设AP =mAB +nAF ，由等和线结论，m +n =AG AB =2AB
AB
=2.此为m +n 的最小值；
同理，设AP =mAB +nAF ，由等和线结论，m +n =AH
AB
=5.此为m +n 的最大值.
综上可知m +n ∈[2,5].
技巧27极化恒等式的应用
1.(全国·高考真题)设向量a ，b 满足a +b =10，a -b =6，则a ⋅b
=()
A.1
B.2
C.3
D.5
由极化恒等式可得：a
⋅b =(a +b )2-(a -b )2
4=a +b 2-a -b 24
=1，故选A ．
2.(2023·全国·统考高考真题)正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则EC ⋅ED
=()
A.
5
B.3
C.25
D.5
设CD 中点为O 点，由极化恒等式可得：EC ⋅ED =EO 2-14
DC 2
=3
故选：B .技巧28奔驰定理与三角形四心的应用
1.(宁夏·高考真题)已知O ，N ，P 在ΔABC 所在平面内，且OA =OB =OC ,NA +NB +NC =0，且P A •PB =PB •PC =PC •P A ，则点O ，N ，P 依次是ΔABC 的()(注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心)
A.重心外心垂心
B.重心外心内心
C.外心重心垂心
D.外心重心内心
因为OA =OB =OC ，所以O 到定点A ,B ,C 的距离相等，所以O 为ΔABC 的外心，由NA +NB +NC
=0，则NA +NB =-NC ，取AB 的中点E ，则NA +NB =-2NE =CN ，所以2NE =CN
，所以N 是
ΔABC 的重心；由P A •PB =PB •PC =PC •P A ，得(P A -PC )⋅PB =0，即AC ⋅PB
=0，所以AC ⊥PB ，同理AB ⊥PC ，所以点P 为ΔABC 的垂心，故选C .
2.(江苏·高考真题)O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OA
+
λAB |AB |+AC
|AC |
，λ∈[0,+∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
【详解】∵OP -OA =AP ，∴AP
=λAB |AB |+AC
|AC |
令AB |AB |+AC
|AC |
=AM ，则AM 是以A 为始点，向量AB
|AB |
与
AC
|AC |
为邻边的菱形的对角线对应的向量，即AM
在∠BAC 的平分线上，∵AP =λAM ，∴AP ,AM 共线，故点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心，
故选：B
技巧29
角平分线定理的应用
角平分线定理
(1)在ΔABC 中，AD 为∠BAC 的角平分线，则有AB BD =AC
CD
(2)AD =
2b ×c ×cos ∠BAC
2
b +c
(3)AD 2=AB ×AC -BD ×CD (库斯顿定理)(4)
AB
AC
=S △ABD
S △ACD 1.(2023·全国·统考高考真题)在△ABC 中，∠BAC =60°,AB =2,BC =6，∠BAC 的角平分线交BC 于D ，则AD =
．
由余弦定理可得，22+b 2-2×2×b ×cos60°=6，因为b >0，解得：b =1+3，
则AD =
2b ×c ×cos ∠BAC
2
计算即可，故答案为：2．
技巧30
张角定理的应用
张角定理
sin βAB +sin α
AC =sin (α+β)AD
1.如图，已知AD 是ΔABC 中∠BAC 的角平分线，交BC 边于点D .
(1)用正弦定理证明：AB AC
=BD
DC ；
(2)若∠BAC =120°，AB =2，AC =1，求AD 的长.
先用面积之和来证明张角定理，然后直接由张角定理求得AD 的长为
2
3
．2.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,已知点D 在BC 边上,AD ⊥AC ,sin ∠BAC =
22
3
,AB =32,AD =3,则CD =解：如图∵sin ∠BAC =
22
3
∴cos ∠BAC =1-sin 2∠BAC =13
由张角定理得:sin ∠BAC AD =sin ∠BAD AC +
sin ∠DAC
AB 即
22
3
3
=
sin ∠BAC -π
2
AC
+
sin π
232
229=-cos ∠BAC AC +1
32
229=-13AC +132∴AC =32
∴CD =AD 2+AC 2=33
技巧31点对称问题
点x ,y 关于直线Ax +By +C =0的对称点坐标x -2A Ax +By +C A 2+B 2,y -2B Ax +By +C
A 2+
B 2
1.点6,-1 关于直线2x -y +4=0的对称点的坐标是
．
直线2x -y +4=0中，A =2,B =-1,C =4,所以Ax +By +C A 2+B 2=175，所以x -2A (Ax +By +C )A 2+B 2
=-38
5，y -
2B (Ax +By +C )A 2+B 2
=29
5答案为：-385,29
5 .技巧32圆中的切线问题
1.经过点1,0 且与圆x 2+y 2-4x -2y +3=0相切的直线方程为．
代入x 0x +y 0y +D x 0+x
2+E y 0+y 2+F =0;求解即可，答案为：x +y -1=0
2.过圆x 2+y 2=1上点P -22,2
2
的切线方程为．
代入x 0x +y 0y =r 2求解即可，答案为：y =x +2
3.过点P 2,1 作圆x 2+y 2=4的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 方程是
.
过圆外一点x 0,y 0 作圆的两条切线,则切点弦方程为x 0-a (x -a )+y 0-b (y -b )=r 2，代入求解即可
答案为:2x +y -4=0
技巧33圆锥曲线中焦点弦的应用
1.过双曲线x 2-y 2=4的右焦点F 作倾斜角为150°直线，交双曲线于A ,B 两点，求弦长AB ．
由双曲线x 2-y 2=4得a =b =2,c =22，又θ=150°所以AB =
2ab 2a 2-c 2cos 2θ =2×2×4
4-8×34
=8．2.(山东·统考高考真题)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =
．
【法一】先求出倾斜角，代入AB =2p
sin 2θ
求解即可
【法二】解得x 1=
1
3,x 2
=3 所以|AB |=1+k 2|x 1-x 2|=1+3⋅3-13 =163
【法三】Δ=100-36=64>0
设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则x 1+x 2=
103
,过A ,B 分别作准线x =-1的垂线，设垂足分别为C ,D 如图所示.|AB |=|AF |+|BF |=|AC |+|BD |=x 1+1+x 2+1=x 1+x 2+2=163
故答案为：
163
技巧34圆锥曲线中中点弦的应用
1.(全国·高考真题)已知椭圆x 2
a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B
两点．若AB 的中点坐标为(1，-1)，则E 的方程为()
A.x 2
45+y 236
=1
B.x 2
36+y 227
=1
C.x 2
27+y 218
=1
D.x 2
18+y 29
=1
【法一】k AB .k OM =-b 2a 2，解得b 2a
2=1
2，因为c =3，所以b 2=9,a 2=18.
2.(重庆·高考真题)直线l 与圆x 2+y 2+2x -4y +a =0(a <3)相交于两点A ，B ，弦AB 的中点为(0,1)，则直线l 的方程为
．
【答案】x -y +1=0.
【详解】设圆心O ，直线l 的斜率为k ，弦AB 的中点为P ，PO 的斜率为k op ，k op =2-1
-1-0
则l ⊥PO ，所以k ⋅
k op =k ⋅(-1)=-1∴k =1由点斜式得y =x +1．
3.(江苏·高考真题)已知双曲线的中心在原点且一个焦点为F (7,0)，直线y =x -1与其相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为-2
3
，则此双曲线的方程是()
A.x 2
3-y 24
=1
B.x 2
4-y 23=1
C.x 2
5-y 22
=1
D.x 2
2-y 25
=1
【答案】D
【分析】根据点差法得
2a 2=5
b
2，再根据焦点坐标得a 2+b 2=7，解方程组得a 2=2，b 2=5，即得结果.【详解】设双曲线的方程为x 2
a 2-y 2b
2=1(a >0,b >0)，由题意可得a 2+b 2=7，设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，则
MN 的中点为-23,-5
3 ，由x 12
a 2-y 12
b 2=1且x 22a 2-y 22b 2=1，得x 1+x 2 x 1-x 2 a 2=y 1+y 2 y 1-y 2 b 2
，
2×-23 a 2=2×-53 b 2，即2a 2=5b
2，联立a 2+b 2=7，解得a 2=2，b 2
=5，故所求双曲线的方程为x 22-y 25=1．故选D ．
技巧35
复数的模长及最值的应用
1.(全国高考)设z =3-i
1+2i
，则z =()
A.2
B.
3
C.
2 D.1
∵z =
3-i 1+2i
∴z =3-i 1+2i
=3-i 1+2i
=10
5
=2【答案】C
2.已知z 满足z +5-12i =
3.则z 的最大值是()A.3
B.10
C.20
D.16
【答案】D
【详解】z +5-12i =3⇒z 对应的点在以-5,12 为圆心，3为半径的圆上，因此z max =52+122+3=16.故答案为D
技巧36柯西不等式的应用
1.函数f x =x 2+4+x 2-4x +5的最小值为
．
【答案】13
【详解】注意到，a 2+b 2+c 2+d 2≥
a +c
2
+b +d 2．
则f x =x 2+4+x 2-4x +5=x 2+22+2-x
2
+12≥22+32=13．
2.已知x ，y ，z 满足x +y +z =1，则x 2+4y 2+9z 2的最小值为
.
【答案】
36
49
【详解】因为12
+12 2+13 2 ⋅x 2+2y 2+3z 2
≥x +y +z 2,即4936
⋅x 2+4y 2+9z 2 ≥1⇒x 2+4y 2+9z 2≥3649,
所以x 2+4y 2+9z 2最小值为36
49
，当且仅当x =4y =9z 时取等号.
故答案为：36
49
.。