初高中数学衔接讲座00-前言-(深圳中学--曾劲松)

初高中数学衔接讲座
曾劲松
(深中校训)
前 言
个人网站：www .sx
一、高中，我们将要学习哪些内容？
（高中数学课程框架）
●必修模块：
●选修系列：
网上可查看所有人教版的教材：/
●必修课程 (包括5个模块)
数学1：
集合、函数概念与基本初等函数I （指数函数、对数函数、幂函数）。

数学2：
立体几何初步、平面解析几何初步。

数学3：
算法初步、统计、概率。

数学4：
基本初等函数II（三角函数）、平面上的向量、三角恒等变换数学5：
解三角形、数列、不等式。

●选修课程
•系列1,由2个模块组成(文科)，
•系列2,由3个模块组成(理科),
•系列3,由6个专题组成(高考不考), •系列4,由10个专题组成(部分内容高考)。

▲系列1：由2个模块组成(文科) 选修1-1：
常用逻辑用语、
圆锥曲线与方程、
导数及其应用。

选修1-2：
统计案例、
推理与证明、
数系的扩充与复数的引入、框图。

▲系列2：由3个模块组成(理科)选修2-1：
常用逻辑用语、
圆锥曲线与方程、
空间中的向量与立体几何。

选修2-2：
导数及其应用、
推理与证明、
数系的扩充与复数的引入。

•选修2-3：
计数原理、统计案例、概率。

▲系列3：由6个专题组成(高考不考)
•选修3-1：数学史选讲。

•选修3-2：信息安全与密码。

•选修3-3：球面上的几何。

•选修3-4：对称与群。

•选修3-5：欧拉公式与闭曲面分类。

•选修3-6：三等分角与数域扩充。

▲系列4：由10个专题组成。

•选修4-1：几何证明选讲(文\理)。

•选修4-2：矩阵与差分。

•选修4-3：数列与差分。

•选修4-4：坐标系与参数方程(文\理) 。

•选修4-5：不等式选讲(理,今年我省压轴题) 。

•选修4-6：初等数论初步。

•选修4-7：优选法与试验设计初步。

•选修4-8：统筹法与图论初步。

•选修4-9：风险与决策。

•选修4-10：开关电路与布尔代数。

数学1 数学2 数学3 数学4 数学5 选修2-1 选修2-2 选修2-3
选修4-1 选修4-4 选修4-5 填空题，2选1
总结：理科学习内容:
数学1 数学2 数学3 数学4 数学5 选修1-1 选修1-2
选修4-1 选修4-4 填空题，2选1
总结：文科学习内容:
二、初中毕业后，我们需要衔接的是哪些方面？（一）知识方面的衔接(预习之前应该做的事情) 1．绝对值
绝对值的概念始出现于初一数学课本，它是数学重要概念之一，贯穿于整个初等数学的始终，井随着知识的发展，
不断深化．2010年广东省的最后一题便是一道绝对值不等式
的问题。

【初中】借助数轴理解绝对值的意义，并会求有理数的绝对值（绝对值符号内不含字母）．
【高中】含绝对值不等式在选修系列4—5不等式选讲．
【建议】含字母的绝对值，简单的含绝对值的方程（不等式）的解法．
高考
你看看：（2010高考）
21.（本小题满分14分） 设A （11,x y ），B （22,x y ）是平面直角坐标系xOy 上的
两点，现定义由点A 到点B 的一种折线距离P （A,B ）为2121(,)A B x x y y ρ=-+- 对于平面xOy 上给定的不同的两点A （11,x y ）B （
22,x y ）
（1） 若点C （x,y ）是平面xOy 上的点，试证明p （A,C ）+p （C,B ）≥p （A,B ） （2） 若平面xOy 上是否存在点X （x,y ），同时满足
① p （A,C ）+p （C,B ）=pA,B ）；②p （A,C ）= p （C,B ） 若存在，请求出。

本题考了：
（1）∣a ＋b ∣≤∣a ∣＋∣b ∣；
（2）∣a －b ∣≤∣a －c ∣＋∣c －b ∣.
【高中练习示例】
【高一前应掌握练习】
【例1】解关于x 的不等式：|x －m|＜1. 【例2】解下列方程或不等式：
（1）6|6||3||12|=-+--+x x x ．（2）|x +3|－|2x －1|＜2
x
+1．
【例3】（1）不等式组⎩⎨⎧≤>a
x x 2
||恰好有三个正整数解，求a 的取值范围；
（2）不等式组⎩⎨⎧≥-≠--0
10
2|2|2
x x 的所有解都满足不等式|||1|a x x +<+（a ＜1），求a 的取值范围．
问题1：
解不等式|x -1|<|x +3|
二、初中毕业后，我们需要衔接的是哪些方面？
（一）知识方面的衔接
2．整式
整式的变形是重要的代数式的恒等变形，也是高中数学中极其常见的运算．
【初中】要求了解整式的概念，会进行简单的整式加、减运算，乘法运算（其中的多项式相乘仅指一次式相乘）；
会利用平方差、完全平方公式进行简单计算；会用提公因式
法、公式法（直接用公式不超过二次）进行因式分解（指数
是正整数）．
【高中】不再学习整式．
【建议】
1、乘法公式
（1）立方和公式：3
3
2
2
))((b a b ab a b a +=+-+； （2）立方差公式：3
3
2
2
))((b a b ab a b a -=++-； （3）三数和平方公式：
ac bc ab c b a c b a 222)(2
222+++++=++；
（4）两数和立方公式：2
233333)(ab b a b a b a +++=+； （5）两数差立方公式：2
233333)(ab b a b a b a +--=-．
2、因式分解的新方法：
（1）分组分解法；（2）十字相乘法；（3）求根法；（4）待定系数法．
思考：分解因式：x 3
-3x+2
【高中练习示例】
求证：函数y =x 3是增函数。

本题实质是：
已知函数y =x 3的图象经过点),(11y x 与),(22y x ，且21x x <，求证：21y y <． 解：∵函数y =x 3
的图象经过点),(11y x 与),(22y x ，∴311x y =，2y =3
2x ． ∴=-21y y 3
23
1x x -=))((2
2212
121x x x x x x ++-， ∵21x x <， ∴021<-x x ． 又4
3)2(2
2
22212
122
212
1x x x x x x x x x +++=++
=04
3)2(2
2
221>++x x x ，（由于21x x ≠，所以不能取等号） ∴021<-y y ，即21y y <．
【高一前应掌握练习】
【例1】分解因式：
（1）3832
--x x ；（2）2
2
65y xy x +-； （3）1226722
2
--++-y x y xy x ．
【例2】比较2
22c b a ++与ca bc ab ++的大小．
【例3】把多项式222
3++-x x x 表示成d x c x b x a +-+-+-)1()1()1(2
3
的形式．
问题2：对于任意实数x ，下列不等式都成立吗？为什么？
02010802>+-x x
二、初中毕业后，我们需要衔接的是哪些方面？（一）知识方面的衔接
3．分式
【初中】了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行
约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除运算；会解
可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）；
能确定分式函数的自变量取值范围，并会求出函数值．
【高中】不再学习。

高二选修中，有少量分式不等式的学习。

【建议】接触更复杂的分式运算（如分式拆分，分式乘
方）；解可化为一元二次方程的分式方程．
【例1】判断：函数121
2)(+-=x x
x f 是奇函数还是偶函数。

本题的实质是：比较1212+-x x
与1
21
2+---x x
是相等，还是互为相反数。

【例2】(理科)椭圆12
222=+b y a x (a ＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O 为坐标原点．（1）求221
1b
a +的值；（2）若椭圆的离
心率e 满足
33≤e ≤2
2，求椭圆长轴的取值范围．
本题第（2）问的实质是：已知
221
1b a +=2， 222b a c -= 2
2
33≤≤a c 求a 的取值范围。

解,3
2
2121131122222222≤≤⇒≤-≤∴-=a b a b a b a c
又1
222
2-=a a
b
2
6
252345321212122≤
≤⇒≤≤⇒≤-≤∴a a a
【高一前应掌握练习】
【例1】已知函数132++=x x y ．（1）将它化为1
++=x b a y （a ,b 为常数）的形式； （2）画出函数的图象，并说明当x ≥－2时，y 的取值范围． 练习：将1532+++=x x x y 化为d
cx p n mx y +++=的形式． 【例2】解方程 2142122
4x x x x +-=+--． 【例3】（1）已知0>>b a ，求证：b
a 11<．（2）已知0>x ，求证：21≥+x x ． 【例4】解下列不等式： 1313-≥-+x x ； 03
22322<--+-x x x x ． 问题3：下列是一个同学觉得比较简单的题，请大家试试，你能全对吗：
①当1≥x 时，x 1的范围是 ；②当1≤x 时，x
1的范围是 ； ③当1-≥x 时，x 1的范围是 ；④当1-≤x 时，x
1的范围是 ．
二、初中毕业后，我们需要衔接的是哪些方面？
（一）知识方面的衔接
4．二次根式
高中阶段，我们在学习函数、解析几何、数列等内容时，涉及
到大量的与二次根式有关的计算．
【初中】了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，
会用它们进行有关实数的简单四则运算(不要求分母有理化)．【高中】会学习有理指数幂及运算。

【建议】根据需要，我们应掌握最简二次根式、同类根式的概
念与运用，分子(母)有理化，简单的无理方程（不等式）．
【高中练习示例】
已知动点P （x,y ）满足：6)2()2(2
222=+-+++y x y x 求点P 的轨迹方程。

本题的实质：化简该方程。

结果是：1592
2=+y x ，化简后马上就可以知道，点P 的轨迹是椭圆。

【高一前应掌握练习】
【例1】化简：（1）21；（2）2323+-；（3）)2(42424
2422222>-++--++--+-++n n n n n n n n n ． 【例2】化简：（1）18211+．（2）221
2(01)x x x +-<<．
【例3】解方程：
（1）012152=+-++x x x ；
（2）1542=+--x x ；
（3）0393253222=+++-+x x x x ．
【例4】不等式x x ≥-2的解集是（ ）．
A ．12≤≤-x
B ．2≤x
C ．1≤x
D ．21≤≤x
二、初中毕业后，我们需要衔接的是哪些方面？
（一）知识方面的衔接
5.二次方程（组）
【初中】会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程．
【高中】不再学习。

【建议】（1）理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别
式判定根的情况；（2）掌握一元二次方程根与系数的关系，并能运用它求含有两根之和、两根之积的代数式的值，还能构造以、为根
的一元二次方程；（3）能解决二元二次方程组的相关问题．
20.（本小题满分14分）2010年广东高考题
已知双曲线2
212
x y -=的左、右定点分别为12,A A ,点P （12,x y ），Q （12,x y -）是双曲线上不同的两个动点。

求直线1A P 与2A Q 交点的轨迹E
的方程；若过点H （0.h ）（h>1）的两条直线 部分解答过程：
将1:l y kx h =+代入2212x y +=得2
2()12x
kx h ++=，
即222(12)4220k x khx h +++-=，
由2222164(12)(22)0k h k h ∆=-+-=，
即 2212k h +=.
关于x ，y 的方程组⎪⎩⎪⎨=-14
22y x 有两组解⎩⎨⎧==11y y x x 或⎩⎨⎧==22y y x x （1x ≠2x ），且2121)2)(2(y y x x +--=0，求k 与m 的关系．
解答如下：
将m kx y +=代入=-22
4
y x 1，整理得 0448)41(222=----m kmx x k ，该方程的解即为1x 、2x ， ∴0412≠-k ，0>∆，且221418k km x x -=+，22
214144k m x x ---=⋅．
关于x ，y 的方程组⎪⎩⎪⎨=-14
22y x 有两组解⎩⎨⎧==11y y x x 或⎩⎨⎧==22y y x x （1x ≠2x ），且2121)2)(2(y y x x +--=0，求k 与m 的关系．
解答如下：
∴2
212122121)())((m x x km x x k m kx m kx y y +++=++=．
又∵2121)2)(2(y y x x +--=0，
∴4)(22121++-x x x x +221212)(m x x km x x k +++=0，
即4))(2()1(221212+++-++m x x km x x k =0．
关于x ，y 的方程组⎪⎩⎪⎨=-14
22y x 有两组解⎩⎨⎧==11y y x x 或⎩⎨⎧==22y y x x （1x ≠2x ），且2121)2)(2(y y x x +--=0，求k 与m 的关系．
解答如下： ∴4418)2(4144)1(2222
2++-⋅-+---+m k km km k m k =0． 化简得：0201632
2=++k km m ， ∴3
10k m -=或k m 2-=．
【高一前应掌握练习】
【例1】 关于019)13(22=-+--m x m mx x 的方程．m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？
【例2】设方程03622=--x x 的两个根是，、βα且,βα< 利用根与系数的关系求：
（1）βα1
1
+；（2）2
2βα-． 【例3】当m 取什么实数时，关于x 的方程4x 2+(m -2)x +(m -5)=0分别有:
（1）两个正实数根； （2）一正根和一负根；
（3）正根绝对值大于负根绝对值； （4）两根都大于1．
【例4】已知a ，b ，c 都是实数，且a ＋b ＋c =0，abc =1，求证：c b a ,,中必有一个大于2
3． 【例5】解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+.
065,202222y xy x y x 问题4：下列二次方程组可能有4组解，对吗？如果是，m 满足什
么条件时方程组有4组解.
⎩⎨⎧+==-m x y y x 2122 (m 是常数)
二、初中毕业后，我们需要衔接的是哪些方面？（一）知识方面的衔接
6.二次函数的图象和性质(衔接中最重要的内容)
二次函数知识的生长点在初中，而发展点则在高中，是初高中数学衔接的重要内容．二次函数作为一种简单而基本的函
数类型，是历年来高考的一项重点考查内容，经久不衰，以它
为核心内容的重点试题，也年年有所变化．
【初中】确定二次函数的表达式，会用描点法画出二次函数的图象，并能从图象上认识二次函数的性质，会利用二次函
数的图象求一元二次方程的近似解．
【高中】结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系。

【建议】高中教材很少专门对二次函数进行研究，所以应该更深入地研究二次函数的图象和性质，包括：简单的图象变
换、求给定自变量x的范围的二次函数的最值、构造二次函数来
解决一些问题．
【高中练习示例】
(07广东改) 已知a 是实数，函数a x ax y --+=3222
，如果方程a x ax --+3222=0有根m ，且11≤≤-m ，求a 的取值范围.
【高一前应掌握练习】
【例1】对于二次函数142
+-=x x y ，分别在下列的自变量取值范围内，求出函数的最大值、最小值．
（1）43≤≤x ； （2）10≤≤x ； （3）50≤≤x ．
【例2】（1）已知函数12)(2++=ax x x f （21≤≤-x ）
的最大值为4，求a 的值．
（2）求函数 的最值． x x y -+=142
（二）数学思想方法的衔接
1.配凑法、配方法、待定系数法
问题5：
（1）求函数1
223+-=x x y 的值域；(几何画板>>>) （2）试将c bx ax y ++=2配成n m x a y ++=2
)(的形式；
（3）求函数322--=x x y 在30≤≤x 范围内的值域。

（二）数学思想方法的衔接
2.换元法（整体思想）
x
x
y-
+
=1
4
2
问题6：(1)求函数的最值．
（2）解方程
22
22
8(2)3(1)
11
12
x x x
x x x
+-
+=
-+
．
（二）数学思想方法的衔接
3.函数、方程、不等式（数形结合思想）
问题7：
（1）解下列不等式：（几何画板>>>>>>>>）
0322
>--x x ；0)3)(2)(1)(3(>---+x x x x （2）函数862
++-=a ax ax y 的自变量x 可取全体实数，则a 的取值范围是 ．
4.其它
分类讨论思想、归纳及类比思想
（三）学习态度与学习方法的的衔接优点：
（1）综合素质高，个性张扬;
（2）自信心十足,思维活跃；
（2）知识面丰富,接受新知识较快
等等。

缺点：
（1）运算能力、含字母的代数式的化简能力不强；
（2）合情推理能力、演绎推理能力不强(书写格式不规范)；
（3）知识逻辑性与思维严密性欠佳;
（4）专注力不够,容易受外界影响.
（三）学习态度与学习方法的的衔接建议：
利用信息技术工具帮助学习
《几何画板》、excel等
养成良好习惯:
例如上课专心听讲(尤其是重视课本学习)、
认真作好笔记、
及时预习复习、
独立完成作业、
书写规范工整等等。

信息技术下的数学学习
【例1】画出函数322--=x x y （n x m ≤≤，m 、n 是参数）的图象，并求函数的最值．
【例2】已知方程a x x =--|32|2有三解，求a 的值；
【例3】（1）求函数122
+-+=x x y 的最小值；
（2）已知函数12+-+=a x x y （a 为参数），试讨论函数的最小值．
目前初高中数学衔接教学的误区
误区之一：衔接教材讲授大量的高一新知识，衔接课变成了新课。

我想这样做的目的可能是想让学生占有时间上的优势，但是我们可能在暑假将高一的课程全部教
给学生吗？实际上，如果学生在被动状态下提前学习，开学后，他们会发觉老师正常进度很快就赶上
来了。

而且由于讲座上的这些知识都能在课堂上再现，有的学生甚至到了真正的课堂上讲该知识点时，觉得那是补习学过的，于是麻痹大意，结果反而不
利于后续的学习。

这样衔接讲座就做成了“夹生饭”。

我们要提倡学生自主学习，指导学生养成独
立预习的习惯。

如果你是学生，我要提醒你，对于数学，暑假并不是要急于学习高一的新课本，而是将初中一些应该提高与拓展的部分进行巩固
误区之二：衔接教材讲授大量的初中竞赛内容，衔接课变成了竞赛培训课。

许多家长与老师认为，在初中把竞赛搞好，高中学习就不会有问题了。

大家的出发点是好的，但仔细分析《初中数学竞赛大纲》的朋友很清楚，初中竞赛有很多内容不仅是初中不需要学习，就连高中也不会接触，这样的内容只适合有竞赛兴趣的同学去学习。

我们为什么一定要撒大网捞小鱼呢？对于大多数同学而言，过多的参与数学竞赛不仅不能真正提高能力，反而加重他们的负担，耽误了他在其它方面的发展。

误区之三：衔接教材仅仅只是巩固初中知识，衔接课变成了复习课。

利用课余对少数基础比较弱的同学巩固初中知识也是必要的，我们不妨把这称为“补习”。

衔接讲座的功能则是有针对性的，它所面临的对象应该是相关基础知识已经掌握的学生。

如果我们在衔接讲座上只复习不提高，这样衔接讲座就做成了“炒现饭”。

曾劲松
欢迎征订《衔接教程》。