2021-2022学年度北师大版八年级数学下册第六章平行四边形专项练习练习题(含详解)

北师大版八年级数学下册第六章平行四边形专项练习
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、若一个正多边形的每一个外角都等于36°，则这个正多边形的边数是（）
A．7 B．8 C．9 D．10
2、一个多边形每一个外角都等于30°，则这个多边形的边数为（）
A．11 B．12 C．13 D．14
∠+∠的度数是（）3、如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中αβ
A．180°B．220°C．240°D．260°
4、已知一个正多边形的内角是120°，则这个正多边形的边数是（）
A．3 B．4 C．5 D．6
5、一个正多边形的外角与相邻的内角的度数之比为1：3，则这个多边形的边数是（）
A．8 B．9 C．6 D．5
6、已知一个多边形的外角都等于40 ，那么这个多边形的边数为（）
A．6 B．7 C．8 D．9
7、如图，四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，若∠EPF ＝130°，则∠PEF的度数为（）
A．25°B．30°C．35°D．50°
8、已知正多边形的一个外角等于45°，则该正多边形的内角和为（）
A．135°B．360°C．1080°D．1440°
9、如果一个多边形的每个内角都是144°，那么这个多边形的边数是（）
A．5 B．6 C．10 D．12
10、已知正n边形的每一个内角都是144°，则n的值是（）
A．12 B．10 C．8 D．6
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、已知一个正多边形的内角和为1080°，那么从它的一个顶点出发可以引 _____条对角线．
2、一个多边形的内角和为1080°，则它是______边形．
3、如图，平行四边形ABCD，AD＝5，AB＝8，点A的坐标为（－3，0）点C的坐标为______．
4、如图，1,2,3∠∠∠是三角形ABC 的不同三个外角，则123∠+∠+∠=___________
5、如图，平行四边形ABCD ，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 是CD 的中点，2OE =，则AD 的长是________．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、探究与发现：
（1）如图（1），在△ADC 中，DP 、CP 分别平分∠ADC 和∠ACD ．
①若70A ∠=︒，则P ∠= ．
②若A α∠=，用含有α的式子表示P ∠为 ．
（2）如图（2），在四边形ABCD 中，DP 、CP 分别平分∠ADC 和∠BCD ，试探究∠P 与∠A +∠B 的数量关
系，并说明理由．
（3）如图（3），在六边形ABCDEF中，DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，请直接写出∠P与
∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：．
2、阅读材料，回答下列问题：
（材料提出）
“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．
（探索研究）
探索一：如图1，在八字形中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为；
探索二：如图2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数为；
探索三：如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，则∠P、∠B、∠D之间的数量关系为．
（模型应用）
应用一：如图4，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线BP，CP相交于点P．则∠A＝（用含有α和β的代数式表示），∠P ＝．（用含有α和β的代数式表示）
应用二：如图5，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线所在的直线相交于点P，∠P＝．（用含有α和β的代数式表示）
（拓展延伸）
拓展一：如图6，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝1
3
∠CAB，∠CDP＝
1
3
∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之
间的数量关系为．（用x、y表示∠P）
拓展二：如图7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论．
3、如图，DE是ABC
∆的中位线，延长DE到F，使EF DE
=，连接BF．
=．
求证：BF DC
4、一个多边形的内角和是外角和的2倍，求这个多边形的边数．
△，且B'，C'两点分别与B，C两点对应，延长5、如图，将ABC绕点A逆时针旋转30°得到AB C''
∠的度数．
BC与B C''边交于点E，求CEC'
-参考答案-
一、单选题
1、D
【分析】
根据多边形外角和定理求出正多边形的边数．
【详解】
∵正多边形的每一个外角都等于36°，
∴正多边形的边数＝360
36
＝10．
故选：D．
【点睛】
本题考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
2、B
【分析】
根据一个多边形每一个外角都等于30°，多边形外角和360°，根据多边形外角和的性质求解即可．
【详解】
解：∵一个多边形每一个外角都等于30°，多边形外角和360°，
∴多边形的边数为3603012
︒÷︒=．
故选B．
【点睛】
此题考查了多边形的外角和，关键是掌握多边形的外角和为360°．
3、C
根据四边形内角和为360°及等边三角形的性质可直接进行求解．
【详解】
解：由题意得：等边三角形的三个内角都为60°，四边形内角和为360°，
∴3606060240αβ∠+∠=︒-︒-︒=︒；
故选C ．
【点睛】
本题主要考查多边形内角和及等边三角形的性质，熟练掌握多边形内角和及等边三角形的性质是解题的关键．
4、D
【分析】
设该正多边形为n 边形，根据多边形的内角和公式，代入求解即可得出结果．
【详解】
解：设该正多边形为n 边形，由题意得：
(2)180120-︒=︒n n ，
解得：6n =，
故选：D ．
【点睛】
题目主要考查多边形内角和，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
5、A
【分析】
设每个内角与它相邻的外角的度数分别为3x 、x ，根据邻补角的定义得到x ＋3x ＝180°，解出x ＝45°，然后根据多边形的外角和为360°即可计算出多边形的边数．
解：设每个内角与它相邻的外角的度数分别为3x 、x ，
∴x ＋3x ＝180°，
∴x ＝45°， 故这个多边形的边数＝
36045︒︒
＝8． 故选：A ．
【点睛】
本题考查了多边形的外角定理：多边形的外角和为360°．也考查了邻补角的定义．
6、D
【分析】 根据多边形外角公式360n α︒
=，代入角度求出n 即可． 【详解】 ∵外角36040n
α︒
︒== ∴360940
n ︒
︒== 故多边形边数为9
故选D
【点睛】
本题考查多边形外角公式，掌握该公式是本题解题关键．
7、A
【分析】 根据三角形的中位线定理，可得11,22
PE AD PF BC =
= ，从而PE =PF ，则有∠PEF =∠PFE ，再根据三角形的内角和定理，即可求解．
解：∵点P 是对角线BD 的中点，E 、F 分别是AB 、CD 的中点， ∴11,22
PE AD PF BC == ， ∵AD ＝BC ，
∴PE =PF ，
∴∠PEF =∠PFE ，
∵∠EPF ＝130°， ∴()1180252PEF EPF ∠=
︒-∠=︒ ． 故选：A
【点睛】
本题主要考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．
8、C
【分析】
先利用正多边形的每一个外角为45︒, 求解正多边形的边数，再利用正多边形的内角和公式可得答案.
【详解】 解： 正多边形的一个外角等于45°，
∴ 这个正多边形的边数为：360
8,45
∴ 这个多边形的内角和为：821801080,
故选C
【点睛】
本题考查的是正多边形内角和与外角和的综合，熟练的利用正多边形的外角的度数求解正多边形的边数是解本题的关键.
9、C
【分析】
根据多边形的内角求出多边形的一个外角，然后根据多边形外角和等于360︒，计算即可．
【详解】
解：∵一个多边形的每个内角都是144°，
∴这个多边形的每个外角都是（180°﹣144°）＝36°，
∴这个多边形的边数360°÷36°＝10．
故选：C．
【点睛】
本题考查了多边形的外角和，熟知多边形外角和等于360︒是解本题的关键．
10、B
【分析】
根据多边形的内角和公式和已知得出144°n＝（n﹣2）×180°，解方程即可．
【详解】
解：根据题意得：144°n＝（n﹣2）×180°，
解得：n＝10，
故选：B．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和定理，能根据题意得出方程144°n＝（n﹣2）×180°是解此题的关键．
二、填空题
1、5
【分析】
设这个正多边形有n 条边，再建立方程21801080,n 解方程求解,n 结合从n 边形的一个顶点出发可以引()3n -条对角线，从而可得答案.
【详解】
解：设这个正多边形有n 条边，则
21801080,n
26,n ∴-=
解得：8,n =
所以从一个正八边形的一个顶点出发可以引835-=条对角线，
故答案为：5
【点睛】
本题考查的是正多边形的内角和定理的应用，正多边形的对角线问题，掌握“多边形的内角和公式为()2180,n -︒ 从n 边形的一个顶点出发可以引()3n -条对角线”是解本题的关键.
2、八
【分析】
根据多边形的内角和公式求解即可．n 边形的内角的和等于：()2180n -⨯︒ (n 大于等于3且n 为整数）．
【详解】
解：设该多边形的边数为n ，
根据题意，得()18021080n ︒-=︒，
解得8n =，
∴这个多边形为八边形，
故答案为：八．
【点睛】
此题考查了多边形的内角和，解题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式．
3、（8，4）
【分析】
先根据勾股定理得到OD的长，即可得到点D的坐标，再根据平行四边形的性质和平行x轴两点坐标特征即可得到点C的坐标．
【详解】
解：∵点A的坐标为（－3，0），
在Rt△ADO中，AD＝5，AO=3，90
∠︒
＝，
AOD
∴OD4，
∴D(0，4)，
∵平行四边形ABCD，
∴AB=CD=8，AB∥CD，
∵AB在x轴上，
∴CD∥x轴，
∴C、D两点的纵坐标相同，
∴C(8，4) ．
故答案为（8，4）．
【点睛】
本题考查平行四边形性质，勾股定理，平行x轴两点坐标特征，解答本题的关键是熟练掌握平行于x 轴的直线上的点的纵坐标相同，平行于y轴的直线上的点的横坐标相同．
4、360°．
【分析】
利用三角形的外角和定理解答．
【详解】
∠∠∠是三角形ABC的不同三个外角，三角形的外角和为360°，
解：∵1,2,3
∴∠1+∠2+∠3=360°，
故答案为：360°．
【点睛】
本题主要考查了三角形的外角和定理，三角形的外角的性质，属于中考常考题型．
5、AD=BC=6，进而得到AB=AE=4，即可求出DE=
【详解】
解：由尺规作图得，BE为∠ABC的平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=6，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=4，
∴DE=AD-AE=2．
故答案为：2
【点睛】
本题考查了尺规作图-作已知角的角平分线，平行四边形的性质，等腰三角形的性质等知识，熟知作已知角的角平分线做法和平行四边形、等腰三角形性质并灵活应用是解题关键．
2．4
【分析】
根据平行线的性质可得BO=DO，AD=BC，即可证明OE为△BCD的中位线，得到BC=2OE，由此即可得到答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BO=DO，AD=BC，
∵点E是CD的中点，
∴OE为△BCD的中位线，
∴BC=2OE，
∵OE=2，
∴AD=BC=4．
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，三角形中位线定理，熟知平行线的性质与三角形中位线定理是解题的关键．
三、解答题
1、（1）①125°②∠P＝90°＋1
2α；（2）∠P＝1
2
（∠A＋∠B）（3）∠P＝1
2
（∠A＋∠B＋∠E＋
∠F）−180°【分析】
（1）①根据角平分线的定义可得：∠CDP＝1
2∠ADC，∠DCP＝1
2
∠ACD，根据三角形内角和为180°
可得∠P与∠A的数量关系；
②同①的方法即可求解；
（2）根据角平分线的定义可得：∠CDP＝1
2∠ADC，∠DCP＝1
2
∠BCD，根据四边形内角和为360°，
可得∠BCD＋∠ADC＝360°−（∠A＋∠B），再根据三角形内角和为180°，可得∠P与∠A＋∠B的数量关系；
（3）根据角平分线的定义可得：∠CDP＝1
2∠ADC，∠DCP＝1
2
∠BCD，根据六边形内角和为720°，
可得∠BCD＋∠EDC＝720°−（∠A＋∠B＋∠E＋∠F），再根据三角形内角和为180°，可得∠P与∠A ＋∠B的数量关系．
【详解】
解：（1）①∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，
∴∠CDP＝1
2∠ADC，∠DCP＝1
2
∠ACD
∵∠A＋∠ADC＋∠ACD＝180°
∴∠ADC＋∠ACD＝180°−∠A
∵∠P＋∠PDC＋∠PCD＝180°
∴∠P＝180°−（∠PDC＋∠PCD）＝180°−1
2
（∠ADC＋∠ACD）
∴∠P＝180°−1
2（180°−∠A）＝90°＋1
2
∠A=90°＋1
2
×70°=125°
故答案为：125°；
②∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，
∴∠CDP＝1
2∠ADC，∠DCP＝1
2
∠ACD
∵∠A＋∠ADC＋∠ACD＝180°
∴∠ADC＋∠ACD＝180°−∠A
∵∠P＋∠PDC＋∠PCD＝180°
∴∠P＝180°−（∠PDC＋∠PCD）＝180°−1
2
（∠ADC＋∠ACD）
∴∠P＝180°−1
2（180°−∠A）＝90°＋1
2
∠A=90°＋1
2
α
故答案为：∠P＝90°＋1
2
α；
（2）∠P＝1
2
（∠A＋∠B）
理由如下：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，
∴∠CDP＝1
2∠ADC，∠DCP＝1
2
∠BCD
∵∠A＋∠B＋∠BCD＋∠ADC＝360°
∴∠BCD＋∠ADC＝360°−（∠A＋∠B）
∵∠P＋∠PDC＋∠PCD＝180°
∴∠P＝180°−（∠PDC＋∠PCD）＝180°−1
2
（∠ADC＋∠BCD）
∴∠P＝180°−1
2[360°−（∠A＋∠B）]＝1
2
（∠A＋∠B）
（3）∵DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD
∴∠PDC＝1
2∠EDC，∠PCD＝1
2
∠BCD
∵∠A＋∠B＋∠E＋∠F＋∠BCD＋∠EDC＝720°
∴∠BCD＋∠EDC＝720°−（∠A＋∠B＋∠E＋∠F）
∵∠P＋∠PDC＋∠PCD＝180°
∴∠P＝180°−（∠PDC＋∠PCD）＝180°−1
2
（∠EDC＋∠BCD）
∴∠P＝180°−1
2
[720°−（∠A＋∠B＋∠E＋∠F）]
∴∠P＝1
2
（∠A＋∠B＋∠E＋∠F）−180°
故答案为：∠P ＝1
2（∠A ＋∠B ＋∠E ＋∠F ）−180°．
【点睛】
本题考查了四边形综合题，多边形的内角和，角平分线的性质，利用多边形的内角和表示角的数量关系是本题的关键．
2、∠A +∠B ＝∠C +∠D ； 25°；∠P ＝2B D ∠+∠；α+β﹣180°，∠P ＝1802a β︒+-； 1802a β︒--；∠P ＝23
x y +；2∠P ﹣∠B ﹣∠D ＝180°． 【分析】
探索一：根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解；
探索二：根据角平分线的定义可得∠BAP ＝∠DAP ，∠BCP ＝∠DCP ，结合（1）的结论可得2∠P ＝∠B +∠D ，再代入计算可求解；
探索三：运用探索一和探索二的结论即可求得答案；
应用一：如图4，延长BM 、CN ，交于点A ，利用三角形内角和定理可得∠A ＝α+β﹣180°，再运用角平分线定义及三角形外角性质即可求得答案；
应用二：如图5，延长MB 、NC ，交于点A ，设T 是CB 的延长线上一点，R 是BC 延长线上一点，利用应用一的结论即可求得答案；
拓展一：运用探索一的结论可得：∠P +∠PAB ＝∠B +∠PDB ，∠P +∠CDP ＝∠C +∠CAP ，∠B +∠CDB ＝∠C +∠CAB ，再结合已知条件即可求得答案；
拓展二：运用探索一的结论及角平分线定义即可求得答案．
【详解】
解：探索一：如图1，
∵∠AOB+∠A+∠B＝∠COD+∠C+∠D＝180°，∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D，
故答案为∠A+∠B＝∠C+∠D；
探索二：如图2，
∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
由（1）可得：∠1+∠B＝∠3+∠P，∠2+∠P＝∠4+∠D，
∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，
即2∠P＝∠B+∠D，
∵∠B＝36°，∠D＝14°，
∴∠P＝25°，
故答案为25°；
探索三：由①∠D+2∠1＝∠B+2∠3，
由②2∠B +2∠3＝2∠P +2∠1，
①+②得：∠D +2∠B +2∠1+2∠3＝∠B +2∠3+2∠P +2∠1
∠D +2∠B ＝2∠P +∠B ．
∴∠P ＝2B D
∠+∠．
故答案为：∠P ＝2B D
∠+∠．
应用一：如图4，
延长BM 、CN ，交于点A ，
∵∠M ＝α，∠N ＝β，α+β＞180°，
∴∠AMN ＝180°﹣α，∠ANM ＝180°﹣β，
∴∠A ＝180°﹣（∠AMN +∠ANM ）＝180°﹣（180°﹣α+180°﹣
β）＝α+β﹣180°；
∵BP 、CP 分别平分∠ABC 、∠ACB ，
∴∠PBC ＝1
2∠ABC ，∠PCD ＝1
2∠ACD ，
∵∠PCD ＝∠P +∠PBC ，
∴∠P＝∠PCD﹣∠PBC＝1
2（∠ACD﹣∠ABC）＝1
2
∠A＝
180
2
αβ
+-︒
，
故答案为：α+β﹣180°，
180
2
αβ
+-︒
；
应用二：如图5，
延长MB、NC，交于点A，设T是CB的延长线上一点，R是BC延长线上一点，∵∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，
∴∠A＝180°﹣α﹣β，
∵BP平分∠MBC，CP平分∠NCR，
∴BP平分∠ABT，CP平分∠ACB，
由应用一得：∠P＝1
2∠A＝180
2
αβ
︒--
，
故答案为：180
2
αβ
︒--
；
拓展一：如图6，
由探索一可得：
∠P+∠PAB＝∠B+∠PDB，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，∠B+∠CDB＝∠C+∠CAB，
∵∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝1
3
∠CAB，∠CDP＝
1
3
∠CDB，
∴∠CDB﹣∠CAB＝∠C﹣∠B＝x﹣y，
∠PAB＝2
3
∠CAB，∠PDB＝
2
3
∠CDB，
∴∠P+2
3
∠CAB＝∠B+
2
3
∠CDB，∠P+
1
3
∠CDB＝∠C+
1
3
∠CAB，
∴2∠P＝∠C+∠B+1
3
（∠CDB﹣∠CAB）＝x+y+
1
3
（x﹣y）＝
42
3
x y
+
，
∴∠P＝2
3
x y
+
，
故答案为：∠P＝2
3
x y
+
；
拓展二：如图7，
∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，
∴∠PAD＝1
2∠BAD，∠PCD＝90°+1
2
∠BCD，
由探索一得：①∠B+∠BAD＝∠D+∠BCD，②∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD，
②×2，得：③2∠P+∠BAD＝2∠D+180°+∠BCD，
③﹣①，得：2∠P﹣∠B＝∠D+180°，
∴2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°，
故答案为：2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．
【点睛】
本题是探究性题目，考查了三角形的相关计算、三角形内角和定理、角平分线性质、三角形外角的性质等，此类题目遵循题目顺序，结合相关性质和定理，逐步证明求解即可．
3、见解析
【分析】
由已知条件可得DF=AB及DF∥AB，从而可得四边形ABFD为平行四边形，则问题解决．
【详解】
∵DE是ABC
∆的中位线
∴DE∥AB，
1
2
DE AB
=，AD=DC
∴DF∥AB
∵EF=DE
∴DF=AB
∴四边形ABFD为平行四边形
∴AD=BF
∴BF=DC
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线的性质定理，掌握它们是解答本题的关键．当然本题也可以用三角形全等的知识来解决．
4、这个多边形的边数是6．
【分析】
根据多边形的外角和为360°，内角和公式为：（n-2）•180°，由题意可知：内角和=2×外角和，设出未知数，可得到方程，解方程即可．
【详解】
解：设这个多边形是n 边形，由题意得：
（n -2）×180°=360°×2，
解得：n =6．
∴这个多边形的边数是6．
【点睛】
此题主要考查了多边形的外角和，内角和公式，解一元一次方程，做题的关键是正确把握内角和公式为：（n-2）•180°，外角和为360°．
5、150°
【分析】
由旋转的性质可得30CAC '∠=︒，AC B ACB ''=∠∠，根据∠ACB +∠ACE =180°，则
=180AC B ACE ''+︒∠∠，=360=150CEC ACE AC E CAC '''︒---︒∠∠∠∠．
【详解】
解：由旋转的性质可得30CAC '∠=︒，AC B ACB ''=∠∠，
∵∠ACB +∠ACE =180°，
∴=180AC B ACE ''+︒∠∠，
∴=360=150CEC ACE AC E CAC '''︒---︒∠∠∠∠．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质，四边形内角和，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．。