高中数学 第3章332知能优化训练 A选修11 试题

卜人入州八九几市潮王学校1．设x0为可导函数f(x)的极值点，那么以下说法正确的选项是()
A．必有f′(x0)＝0
B．f′(x0)不存在
C．f′(x0)＝0或者f′(x0)不存在
D．f′(x0)存在但可能不为0
答案：A
2．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，f(x)在x＝－3时获得极值，那么a＝()
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选D.f′(x)＝3x2＋2ax＋3，
∵f(x)在x＝－3处获得极值，
∴f′(－3)＝0，即27－6a＋3＝0，
∴a＝5.
3．y＝x3－6x＋a的极大值为________．
解析：y′＝3x2－6＝0，得x＝±.当x<－或者x>时，y′>0；当－<x<时，y′<0.∴函数在x＝－时，获得极大值a＋4.
答案：a＋4
4．求函数f(x)＝x＋的极值．
解：函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，
f′(x)＝1－＝，
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
极大值极小值
＝2.
一、选择题
1．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取极值〞的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．应选B.
2．以下函数存在极值的是()
A．y＝B．y＝x－e x
C．y＝x3＋x2＋2x－3 D．y＝x3
f′(x)＝－，令f′(x)＝0无解，且f(x)为双曲函数．∴A中函数无极值．B中f′(x)＝1－e x，令f′(x)＝0可得xx<0时，f′(x)>0，当x>0时，
f′(x)<0.∴y＝f(x)在x＝0处取极大值，f(0)＝－1.
C中f′(x)＝3x2＋2x＋2，Δ＝4－24＝－20<0.
∴y＝f(x)无极值．D也无极值．应选B.
3．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如下列图，那么函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有()
A．1个B．2个
C．3个D．4个
f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如题图所示，函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个．
4．函数f(x)＝－x3＋x2＋2x取极小值时，x的值是()
A．2 B．2，－1
C．－1 D．－3
解析：选C.f′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x－2)(x＋1)．
∵在x＝－1的附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，如下列图：
∴x＝－1时取极小值．
5．函数y＝2－x2－x3的极值情况是()
A．有极大值，没有极小值
B．有极小值，没有极大值
C．既无极大值也无极小值
D．既有极大值又有极小值
解析：选D.y′＝－2x－3x2＝0⇒x＝0或者x＝－.所以x∈时，y′<0，y为减函数；在x∈时，y′>0，y为增函数；在x∈(0，＋∞)时，y′<0，y为减函数，
∴函数既有极大值又有极小值．
6．函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，那么a、b的值是()
A．a＝3，b＝－3或者a＝－4，b＝11
B．a＝－4，b＝11
C．a＝－1，b＝5
D．以上都不正确
解析：选B.f′(x)＝3x2－2ax－b，∵在x＝1处f(x)有极值，∴f′(1)＝0，即3－2a－b＝0.①又f(1)＝1－a－b＋a2＝10，即a2－a－b－9＝0.②
由①②得a2＋a－12＝0，∴a＝3或者a＝－4.
∴(舍去)或者
二、填空题
7．函数f(x)＝x3－6x2－15x＋2的极大值是________，极小值是________．
解析：f′(x)＝3x2－12x－15＝3(x－5)(x＋1)，
在(－∞，－1)，(5，＋∞)上f′(x)>0，
在(－1,5)上f′(x)<0，
∴f(x)极大值＝f(－1)＝10，
f(x)极小值＝f(5)＝－98.
答案：10－98
8．设a∈R，假设函数y＝e x＋ax，x∈R，有大于零的极值点，那么a的取值范围为________．
解析：y′＝e x＋a，由y′＝0得x＝ln(－a)．
由题意知ln(－a)>0，∴a<－1.
答案：(－∞，－1)
9．假设函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值等于13，那么实数m等于________．
解析：y′＝－3x2＋12x，由y′＝0，得x＝0或者x＝4，容易得出当x＝4时函数获得极大值，所以－43＋6×42＋m＝13，解得m＝－19.
答案：－19
三、解答题
10．求f(x)＝－2的极值．
解：函数的定义域为R.
f′(x)＝＝.
令f′(x)＝0，得x＝－1或者x＝1.
当x变化时，f′(x)、f(x)变化状态如下表：
当x＝1时，函数有极大值，且f(1)＝－2＝－1.
11．f(x)＝x3＋mx2－2m2x－4(m为常数，且m>0)有极大值－，求m的值．
解：∵f′(x)＝3x2＋mx－2m2＝(x＋m)(3x－2m)，
令f′(x)＝0，那么x＝－m或者x＝m.
当x变化时，f′(x)，f(x)变化如下表
极大值
∴m＝1.
12．函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，当x＝－1时，获得极大值7；当x＝3时，获得极小值，求这个极小值及a、b、c的值．
解：f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意可知－1,3是方程3x2＋2ax＋b＝0的两个根，
那么有解得
∴f(x)＝x3－3x2－9x＋c.
由f(－1)＝7，得－1－3＋9＋c＝7，∴c＝2.
∴极小值为f(3)＝33－3×32－9×3＋2＝－25.
∴所求函数的极小值为－25，a＝－3，b＝－9，c＝2.。