统 计 学第五章(平均指标)

人数（人） 人数（ 甲班f 39 1 40 丁班f 39×2 39× 1× 2 40×2 40×
比重权数
x
60 100 合计
39/40 1/40 100%
算术平均数的主要数学性质1 算术平均数的主要数学性质1
算术平均数与标志值个数的乘积等于? 算术平均数与标志值个数的乘积等于 算术平均数与标志值个数的乘积等于 各标志值的总和。 各标志值的总和。 即：x = ∑ xi 或 ∑ n i =1
（比较：按复利计息时的平均年利率为6.85﹪） 比较：按复利计息时的平均年利率为6.85﹪
简单算术平均数的计算实例
【例】 某售货小组5个人，某天的销售额 某售货小组5个人，
分别为520 分别为520元、600元、480元、750 520元 600元 480元 440元 元、440元，则 平均每人日销售额为： 平均每人日销售额为：
∑ x = 520 + 600 + 480 + 750 + 440 x=
适用于总体资料经过 B. 加权算术平均数 ——适用于总体资料经过 分组整理形成变量数列的 情况
m
x1 f 1 + x 2 f 2 + L L + x m f m x= = f1 + f 2 + L L + f m
∑x
i =1 m
i
fi
∑
i =1
fi
式中： 为算术平均数; 组的次数； 式中： 为算术平均数; f i 为第 i 组的次数； X m 为组数； i 为第 i 组的标志值或组中值。 为组数； 组的标志值或组中值。 X
第四节 平均指标的计算与应用
一、什么是平均指标? 什么是平均指标?
社会经济现象总体各单位某一标 志在一定时间、 志在一定时间、地点条件下所达 到的一般水平。 到的一般水平。
平均指标
二、平均指标的计算与应用 平均指标按计算方法分类 算术平均数 调和平均数 几何平均数 众数 中位数 数值平均数
位置平均数
因该流水线的最终合格品即为第五道工序 的合格品， 的合格品， 故该流水线总的合格品应为 A×0.95×0.92×0.90×0.85×0.80； 0.95×0.92×0.90×0.85×0.80； 则该流水线产品总的合格率为： 则该流水线产品总的合格率为：
总合格品 A × 0.95 × 0 .92 × 0 .90 × 0 .85 × 0 .80 = 总产品 A = 0 .95 × 0 .92 × 0 .90 × 0 .85 × 0 .80
成绩（分） 成绩（
人数（人） 人数（
x
60 100 平均成绩（分） 平均成绩（
f
甲班 39 1 61 乙班 1 39 99 丙班 20 20 80
加权算术平均数的计算方法归纳 权数 变量数列中各组标志值出现的次数 频率）， ），反映了各组的标志值对 （频率），反映了各组的标志值对 平均数的影响程度。 平均数的影响程度。
•
-1
•
•
x =5
2 2
Σ(x − x) =1 + 0 + (−2) +3 +1 + (−1) =16
2 2 2 2 2
x x2 x3 x4 1
x5 x6
几何平均数的学习要点 几何平均数
基本含义及公式
适用条件
（三）几何平均数
几何平均数
是n项变量值连乘积的开n次 项变量值连乘积的开n 方根
应用： 应用：
用于计算现象的平均比率或平均速度
应用的前提条件： 应用的前提条件：
各个比率或速度的连乘积等于总比率或 总速度； 总速度； 相乘的各个比率或速度不为零或负值。 相乘的各个比率或速度不为零或负值。
几何平均数的计算方法
A. 简单几何平均数
G = n x1 ⋅ x2 Lxn = n Πxi
G 式中： 为几何平均数; 式中： 为几何平均数; n 为变量值的 个数； 个变量值。 个数； xi 为第 i个变量值。
表现为次数、频数、单位数；即 表现为次数、频数、单位数； 绝对权数 公式 x = ∑ xf ∑ f 中的 f 表现为频率、比重； 相对权数 表现为频率、比重；即公式 f x = ∑ xf ∑ f = ∑ x 中的 f f
∑
∑f
思考题:依据下例, 思考题:依据下例,分析权数对算术平均数的影响
成绩（分） 成绩（
即该流水线总的合格率等于各工序合格率 的连乘积，符合几何平均数的适用条件， 的连乘积，符合几何平均数的适用条件， 故需采用几何平均法计算。 故需采用几何平均法计算。
求解平均合格率
X G = 5 0 .95 × 0 .92 × 0 .90 × 0 .85 × 0 .80 = 5 0 .5349 = 88 .24﹪
算术平均数的学习要点
算术平均数
基本含义
两种算术 两种算术 加权算术 平均数 平均数 平均数 数学性质 的计算公式 的适用条件的影响因素分析
（一）算术平均数
总体标志总量 = 基本形式： 基本形式： 平均数 总体单位总数
例： 平均工资
平均成本 工资总额 = 职工人数 总成本 = 总产量
算术
※ 它表明平均每一个单位所分担的标 志值是多少。 志值是多少。
【例】某流水生产线有前后衔接的五道工序。 某流水生产线有前后衔接的五道工序。 某日各工序产品的合格率分别为95 95﹪ 92﹪ 某日各工序产品的合格率分别为95﹪、92﹪、 90﹪ 85﹪ 80﹪ 90﹪、85﹪、80﹪，求整个流水生产线产品 的平均合格率。 的平均合格率。
分析： 分析：
设经过第一道工序生产出A 设经过第一道工序生产出A个单位 ，则 第一道工序的合格品为A 0.95； 第一道工序的合格品为A×0.95； 第二道工序的合格品为（ 0.95） 0.92； 第二道工序的合格品为（A×0.95）×0.92； …… 第五道工序的合格品为 0.95×0.92×0.90×0.85） 0.80； （A×0.95×0.92×0.90×0.85）×0.80；
变量值与其算术平均数的离差平方和为 最小。 最小。 即： ( xi − x ) 2 = min 或 ∑ ( x i − x ) 2 ∑
i =1
i =1
n
n
f i = min
离差的概念
Σ(x − x) = −1+0+(−2) +3+1+(−1) = 0
8 7 6 5 4 3 2 1
•
3 -1
• •
1 -2
几何平均数的计算方法
B. 加权几何平均数 ——适用于各变量值出现的次数不 ——适用于各变量值出现的次数不 同的情况
m
G=
∑ fi
i=1
m
x1 ⋅ x2 Lxm = i=1
f1 f2 fm
∑
fi
∏x
i=1
m
fi
i
G 式中： 为几何平均数; 组的次数； 式中： 为几何平均数; f i 为第 i组的次数； i 组的标志值或组中值。 m 为组数；x i 为第 组的标志值或组中值。 为组数；
【例】某企业某日工人的日产量资料如下： 某企业某日工人的日产量资料如下：
情况1 情况1 情况2 情况2日产量 （件来自 10 11 12 13 14
日产量 （件）
x 10 11 12 13 14
工人人数 （人）
f 70 100 380 150 100 800
合计
计算该企业该日全部工人的平均日产量。 计算该企业该日全部工人的平均日产量。
………
4
………
第12年末的本利和为： 12年末的本利和为 年末的本利和为：
2
[V(1+3﹪) (1+5﹪) (1+8﹪) (1+10﹪) ](1+15﹪)
2 3
第12年的 年的 计息基础
则该笔本金12年总的本利率为 则该笔本金12年总的本利率为： 年总的本利率为： 4 2 总的本利和 V (1 + 0.03) (1 + 0.05 ) L (1 + 0.15 ) = 本金 V
A.简单算术平均数 适用于总体资料未经分组 A.简单算术平均数 整理、 整理、尚为原始资料的情 况
N
x1 + x2 + LL + xn x= = n
∑x
i =1
i
n
式中： 为算术平均数; 为总体单位总数； 式中：x 为算术平均数; n为总体单位总数； 个单位的标志值。 xi 为第i 个单位的标志值。
i =1 n
n
f i x = ∑ xi f i
i =1
n
算术平均数的主要数学性质2 算术平均数的主要数学性质2
变量值与其算术平均数的离差之和恒等 于零。 于零。 即： ( xi − x ) = 0 或 ∑
i =1 n
n
∑ (x
i =1
i
− x ) fi = 0
算术平均数的主要数学性质3 算术平均数的主要数学性质3
( 4 + 2 +L+1)
4 2
平均年利率 = X G − 1 = 106.85﹪− 1 = 6.85﹪
思 考
若上题中不是按复利而是按单利 若上题中不是按复利而是按单利 计息，且各年的利率与上相同， 计息，且各年的利率与上相同， 求平均年利率。 求平均年利率。
思 考
分 析
若上题中不是按复利而是按单利 若上题中不是按复利而是按单利 计息，且各年的利率与上相同， 计息，且各年的利率与上相同， 求平均年利率。 求平均年利率。
加权算术平均数的影响因素分析
各组变量值
分析： 分析：
x =
m
∑
x
i=1 m
i
fi
各组权数
∑
i=1
fi
思考题:依据下例, 思考题:依据下例,分析说明算术平均数的影响因 素
成绩（分） 成绩（ 人数（人） 人数（
x
60 100 合计
f
甲班 39 1 40 乙班 1 39 40 丙班 20 20 40
思考题:依据下例, 思考题:依据下例,分析说明算术平均数的影响因素
利息(m ) 利息率( X ) = 本金( f )
假定本 金为V 金为
所以，应采用加权算术平均数公式计算平 所以， 均年利息率， 均年利息率，即：
解：
X
∑ Xf = ∑f
(V × 0 .03 )× 4 + L + (V × 0 .15 )× 1 =
V × 4 + L + V ×1
0 .83V = = 6 .92﹪ 12V
= (1 + 0.03) (1 + 0.05 ) L (1 + 0.15 )
4 2
即12年总本利率等于各年本利率的连乘积，符合几 12年总本利率等于各年本利率的连乘积 年总本利率等于各年本利率的连乘积， 何平均数的适用条件， 何平均数的适用条件，故计算平均年本利率应采用 几何平均法。 几何平均法。
(1 + 0.03) (1 + 0.05) L (1 + 0.15) 解： X G = = 12 2.2154 = 106.85﹪
加权算术平均数的实例分析
解：
x=
m
∑x
i =1 m
i
fi
∑
i =1
fi
10 × 70 + L + 14 × 100 = 70 + L + 100
9710 = = 12 . 1375 ( 件） 800
若上述资料为组距数列， 若上述资料为组距数列，则应取各组的组 说 中值作为该组的代表值用于计算； 中值作为该组的代表值用于计算；此时求 明 得的算术平均数只是其真值的近似值。 得的算术平均数只是其真值的近似值。
【例】某金融机构以复利计息。近12年来的年利 某金融机构以复利计息。 12年来的年利 率前4年为3 年为5 年为8 率前4年为3﹪，下2年为5﹪，下2年为8﹪，下3 年为10﹪ 最后1年为15﹪ 求平均年利率。 年为10﹪，最后1年为15﹪。求平均年利率。
分析： 分析：
设本金为V 则至各年末的本利和应为： 年的 设本金为V，则至各年末的本利和应为：第2年的 计息基础 年末的本利和为： 第1年末的本利和为： V (1+ 3﹪) 年末的本利和为： 第2年末的本利和为： [V (1 + 3﹪)](1 + 3﹪)
n 5 2790 = = 558(元 ) 5
加权算术平均数的计算实例
【例】某企业某日工人的日产量资料如下： 某企业某日工人的日产量资料如下：
日产量（ 日产量（件） 工人人数（ 工人人数（人）
x
10 11 12 13 14 合计
f
70 100 380 150 100 800
计算该企业该日全部工人的平均日产量。 计算该企业该日全部工人的平均日产量。
设本金为V 则各年末应得利息为： 设本金为V，则各年末应得利息为： V × 0 .03 第1年末的应得利息为： 第2年末的应得利息为： V × 0 .03
…… ……
第12年末的应得利息为： 12年末的应得利息为 年末的应得利息为：
V × 0 .15
则该笔本金12年应得的利息总和为 则该笔本金12年应得的利息总和为： 年应得的利息总和为： =V（0.03×4+0.05×2+……+0.15×1） =V（0.03×4+0.05×2+……+0.15× 这里的利息率或本利率不再符合几何 平均数的适用条件， 平均数的适用条件，需按照求解比值的平 均数的方法计算。 均数的方法计算。因为