四川省宜宾第三中学高三数学知识点汇总专题解析几何

2015高三数学知识点汇总
七、解析几何
直线部分
一、直线的倾斜角和斜率：
（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么
α就叫做直线的倾斜角。

注意：规定当直线和x 轴平行或重合时，其倾斜角为o
0，所以直线的倾斜角α的范
围是o o 1800<≤α；
（2）直线的斜率：倾斜角不是o 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，αtan =k
①斜率是用来表示倾斜角不等于o 90的直线对于x 轴的倾斜程度的。

②每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于x 轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。

③斜率计算公式：
设经过),(11y x A 和),(22y x B 两点的直线的斜率为k ， 则当21x x ≠时，2121tan x x y y k --=
=α；当21x x =时，o 90=α；斜率不存在； 二、直线方程的几种形式：
（1）点斜式：过已知点),(00y x ，且斜率为k 的直线方程：)(00x x k y y -=-；
注意：①当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =；
②k x x y y =--0
0表示：)(00x x k y y -=-直线上除去),(00y x 的图形 。

（2）斜截式：若已知直线在y 轴上的截距为b ，斜率为k ，则直线方程：b kx y +=； 注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。

（3）两点式：若已知直线经过),(11y x 和),(22y x 两点，且（2121,y y x x ≠≠），则直线的
方程：1
21121x x x x y y y y --=--；
注意：①不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线；
②当两点式方程写成如下形式0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，
方程可以适应在于任何一条直线。

（4）截距式：若已知直线在x 轴，y 轴上的截距分别是a ，b （0,0≠≠b a ）则直线方程：1=+b
y a x ； 注意：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能
表示过原点的直线，要谨慎使用。

（5）参数式：⎩⎨⎧+=+=bt
y y at x x 00（t 为参数）其中方向向量为),(b a ，),(2222b a b b a a ++； a b k =；22||||b a t PP o +=；
点21,P P 对应的参数为21,t t ，则222121|
|||b a t t P P +-=；
⎩⎨⎧+=+=α
αsin cos 00t y y t x x （t 为参数）其中方向向量为)sin ,(cos αα， t 的几何意义为||o PP ；斜率为αtan ；倾斜角为
)0(παα<≤。

（6）一般式：任何一条直线方程均可写成一般式：0=++C By Ax ；（B A ,不同时为零）；
反之，任何一个二元一次方程都表示一条直线。

注意：①直线方程的特殊形式，都可以化为直线方程的一般式，但一般式不一定都
能化为特殊形式，这要看系数C B A ,,是否为0才能确定。

②指出此时直线的方向向量：),(A B -，),(A B -，),(2222B A A B A B
+-+
（单位向
量）；
直线的法向量：),(B A ；（与直线垂直的向量）
三、两直线的位置关系：
位置关系 222111::b x k y l b x k y l +=+= 0:0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l
平行 ⇔ 21k k =，且21b b ≠ 2
12121C C B B A A ≠= 重合 ⇔ 21k k =，且21b b = 2
12121C C B B A A == 相交 ⇔ 21k k ≠ 2
121B B A A ≠ 垂直
⇔ 121-=⋅k k 02121=+B B A A 设两直线的方程分别为：222111::b x k y l b x k y l +=+=或0:0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l ；当21k k ≠或
1221B A B A ≠时它们相交，交点坐标为方程组⎩⎨⎧+=+=2211b x k y b x k y 或⎩⎨⎧=++=++00222
111C y B x A C y B x A 解；
注意：①对于平行和重合，即它们的方向向量（法向量）平行；如：),(),(2211B A B A λ=
对于垂直，即它们的方向向量（法向量）垂直；如0),(),(2211=⋅B A B A
②若两直线的斜率都不存在，则两直线 平行 ；若一条直线的斜率不存在，另一直线的斜率为 0 ，则两直线垂直。

③对于02121=+B B A A 来说，无论直线的斜率存在与否，该式都成立。

因此，此公式使用起来更方便．
④斜率相等时，两直线平行(重合)；但两直线平行(重合)时，斜率不一定相等，因为斜率有可能不存在。

四、两直线的交角
（1）1l 到2l 的角：把直线1l 依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转的角；它是有向角，其范
围是πθ<≤0；
注意：①1l 到2l 的角与2l 到1l 的角是不一样的；②旋转的方向是逆时针方向；
③绕“定点”是指两直线的交点。

（2）直线1l 与2l 的夹角：是指由1l 与2l 相交所成的四个角的最小角(或不大于直角的角)，它的取值范围是20π
θ<≤；
（3）设两直线方程分别为： 222111::b x k y l b x k y l +=+=或0:0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l
①若θ为1l 到2l 的角，12121tan k k k k +-=θ或2
1211221tan B B A A B A B A +-=θ； ②若θ为1l 和2l 的夹角，则12121tan k k k k +-=θ或2
1211221tan B B A A B A B A +-=θ； ③当0121=+k k 或02121=+B B A A 时，o 90=θ；
注意：①上述与k 有关的公式中，其前提是两直线斜率都存在，而且两直线互不垂
直；当有一条直线斜率不存在时，用数形结合法处理。

②直线1l 到2l 的角θ与1l 和2l 的夹角α：)2
(πθθα≤=或)2(πθθπα>
-=；
五、点到直线的距离公式： 设点),(00y x P 和直线0:=++C By Ax l ，点P 到l 的距离为：2200|
|B A C By Ax d +++=；
两平行线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的距离为：2221|
|B A C C d +-=；
六、直线系：
（1）设直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，经过21,l l 的交点
的直线方程为0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ（除去2l ）；
如：①011=--⇒+=kx y kx y ，即也就是过01=-y 与0=x 的交点)1,0(除去
0=x 的直线方程。

②直线5)12()1(:-=-+-m y m x m l 恒过一个定点 。

注意：推广到过曲线0),(1=y x f 与0),(2=y x f 的交点的方程为：0)()(21=+x f x f λ；
（2）与0:=++C By Ax l 平行的直线为0'=++C By Ax ；
（3）与0:=++C By Ax l 垂直的直线为0'=+-C Ay Bx ；
七、对称问题：
（1）中心对称：
①点关于点的对称：
该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点),(b a A 关于),(d c C 的对称点)2,2(b d a c --
②直线关于点的对称：
Ⅰ、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，
再由两点式求出直线方程；
Ⅱ、求出一个对称点，在利用21//l l 由点斜式得出直线方程；
Ⅲ、利用点到直线的距离相等。

求出直线方程。

如：求与已知直线0632:1=-+y x l 关于点)1,1(-P 对称的直线2l 的方程。

（2）轴对称：
①点关于直线对称：
Ⅰ、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。

Ⅱ、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐标公式求解。

如：求点)5,3(-A 关于直线0443:=+-y x l 对称的坐标。

②直线关于直线对称：（设b a ,关于l 对称）
Ⅰ、若b a ,相交，则a 到l 的角等于b 到l 的角；若l a //，则l b //，且b a ,与l 的距
离相等。

Ⅱ、求出a 上两个点B A ,关于l 的对称点，在由两点式求出直线的方程。

Ⅲ、设),(y x P 为所求直线直线上的任意一点，则P 关于l 的对称点'P 的坐标适合a
的方程。

如：求直线042:=-+y x a 关于0143:=-+y x l 对称的直线b 的方程。

八、简单的线性规划：
（1）设点),(00y x P 和直线0:=++C By Ax l ，
①若点P 在直线l 上，则000=++C By Ax ；②若点P 在直线l 的上方，则0)(00>++C By Ax B ；
③若点P 在直线l 的下方，则0)(00<++C By Ax B ；
（2）二元一次不等式表示平面区域：
对于任意的二元一次不等式)0(0<>++C By Ax ，
①当0>B 时，则0>++C By Ax 表示直线0:=++C By Ax l 上方的区域；
0<++C By Ax 表示直线0:=++C By Ax l 下方的区域；
②当0<B 时，则0>++C By Ax 表示直线0:=++C By Ax l 下方的区域；
0<++C By Ax 表示直线0:=++C By Ax l 上方的区域；
注意：通常情况下将原点)0,0(代入直线C By Ax ++中，根据0>或0<来表示二元
一次不等式表示平面区域。

（3）线性规划：
求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。

满足线性约束条件的解),(y x 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。

生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。

注意：①当0>B 时，将直线0=+By Ax 向上平移，则By Ax z +=的值越来越大； 直线0=+By Ax 向下平移，则By Ax z +=的值越来越小；
②当0<B 时，将直线0=+By Ax 向上平移，则By Ax z +=的值越来越小； 直线0=+By Ax 向下平移，则By Ax z +=的值越来越大；
如：在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括周界），
目标函数ay x z +=取得最小值的最优解有无数个，则a
为 ；
x y O A(1,1) B(5,1) C(4,2)。