人教版高中数学必修四2.2平面向量的线性运算2.2.2含答案

2.2.2 向量减法运算及其几何意义
课时目标 1.理解向量减法的法则及其几何意义.2.能运用法则及其几何意义，正确作出两个向量的差．
向量的减法
(1)定义：a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量相当于加上这个向量的__________．
(2)作法：在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →
＝b ，则向量a －b ＝________.如图所示．
(3)几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为
________，被减向量的终点为________的向量．例如：OA →－OB →
＝________.
一、选择题
1. 在如图四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →
等于( )
A ．a －b ＋c
B ．b －(a ＋c )
C ．a ＋b ＋c
D ．b －a ＋c
2．化简OP →－QP →＋PS →＋SP →
的结果等于( ) A.QP → B.OQ → C.SP → D.SQ →
3．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A.EF →＝OF →＋OE → B.EF →＝OF →－OE → C.EF →＝－OF →＋OE → D.EF →＝－OF →－OE →
4．在平行四边形ABCD 中，|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →
|，则有( )
A. AD →＝0
B. AB →＝0或AD →＝0 C ．ABCD 是矩形 D ．ABCD 是菱形
5．若|AB →|＝5，|AC →|＝8，则|BC →
|的取值范围是( ) A ．[3,8] B ．(3,8) C ．[3,13] D ．(3,13)
6．边长为1的正三角形ABC 中，|AB →－BC →
|的值为( )
A ．1
B ．2 C.3
2
D. 3
题 号 1 2 3 4 5
6 答 案
二、填空题
7. 如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O 点，则BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →
＝________.
8．化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →
)的结果是________．
9. 如图所示，已知O 到平行四边形的三个顶点A 、B 、C 的向量分别为a ，b ，c ，则OD →
＝____________(用a ，b ，c 表示)．
10．已知非零向量a ，b 满足|a |＝7＋1，|b |＝7－1，且|a －b |＝4，则 |a ＋b |＝________.
三、解答题
11. 如图所示，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点，设AB →＝a ，DA →＝b ，OC →
＝
c ，求证：b ＋c －a ＝OA →
.
12. 如图所示，已知正方形ABCD 的边长等于1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →
＝c ，试作出下列向量并分别求出其长度，
(1)a ＋b ＋c ； (2)a －b ＋c .
能力提升
13．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，先用a ，b 表示向量AC →和DB →
，并回答：当a ，b 分别满足什么条件时，四边形ABCD 为矩形、菱形、正方形？
14．如图所示，O 为△ABC 的外心，H 为垂心，求证：OH →＝OA →＋OB →＋OC →
.
1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－AB →＝BA →
就可以把减法转化为加法．即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a －b ＝a ＋(－b )． 2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减数”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．
3．以向量AB →＝a 、AD →＝b 为邻边作平行四边形ABCD ，则两条对角线的向量为AC →＝a ＋b ，BD →
＝
b －a ，DB →
＝a －b ，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住．
2．2.2 向量减法运算及其几何意义
答案
知识梳理
(1)相反向量 (2)BA → (3)始点 终点 BA →
作业设计
1．A 2.B 3.B
4．C [AB →＋AD →与AB →－AD →分别是平行四边形ABCD 的两条对角线，且|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →
|， ∴ABCD 是矩形．]
5．C [∵|BC →|＝|AC →－AB →
|且
||AC →|－|AB →||≤|AC →－AB →|≤|A C →|＋|AB →|.
∴3≤|AC →－AB →
|≤13.
∴3≤|BC →
|≤13.] 6．D [
如图所示，延长CB 到点D ，使BD ＝1，连结AD ，则AB →－BC →＝AB →＋CB →
＝AB →＋BD →＝AD →.
在△ABD 中，AB ＝BD ＝1， ∠ABD ＝120°，易求AD ＝3， ∴|AB →－BC →
|＝ 3.] 7.CA → 8．0
解析 方法一 (AB →－CD →)－(AC →－BD →
) ＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝AB →＋DC →＋CA →＋BD → ＝(AB →＋BD →)＋(DC →＋CA →) ＝AD →＋DA →
＝0.
方法二 (AB →－CD →)－(AC →－BD →
) ＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝(AB →－AC →)＋(DC →－DB →) ＝CB →＋BC →
＝0. 9．a －b ＋c
解析 OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋BC →＝OA →＋OC →－OB →
＝a ＋c －b ＝a －b ＋c . 10．4
解析 如图所示．
设O A →＝a ，O B →＝b ，则|B A →
|＝|a －b |.
以OA 与OB 为邻边作平行四边形OACB ， 则|O C →|＝|a ＋b |.由于(7＋1)2＋(7－1)2＝42. 故|O A →
|2＋|O B →|2＝|B A →
|2， 所以△OAB 是∠AOB 为90°的直角三角形， 从而OA ⊥OB ，所以▱OACB 是矩形， 根据矩形的对角线相等有|O C →|＝|B A →
|＝4， 即|a ＋b |＝4.
11．证明 方法一 ∵b ＋c ＝DA →＋OC →＝OC →＋CB →＝OB →
， OA →＋a ＝OA →＋AB →＝OB →，
∴b ＋c ＝OA →＋a ，即b ＋c －a ＝OA →
.
方法二 ∵c －a ＝OC →－AB →＝OC →－DC →＝OD →
， OD →＝OA →＋AD →＝OA →
－b ，
∴c －a ＝OA →－b ，即b ＋c －a ＝OA →
.
12．解 (1)由已知得a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →
，
又AC →
＝c ，∴延长AC 到E ， 使|CE →|＝|AC →|.
则a ＋b ＋c ＝AE →，且|AE →
|＝2 2. ∴|a ＋b ＋c |＝2 2.
(2)作BF →＝AC →
，连接CF ， 则DB →＋BF →＝DF →， 而DB →＝AB →－AD →＝a －BC →
＝a －b ，
∴a －b ＋c ＝DB →＋BF →＝DF →且|DF →
|＝2. ∴|a －b ＋c |＝2.
13．解 由向量加法的平行四边形法则，得AC →
＝a ＋b ， DB →＝AB →－AD →
＝a －b .
则有：当a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |时，平行四边形两条对角线相等，四边形ABCD 为矩形； 当a ，b 满足|a |＝|b |时，平行四边形的两条邻边相等，四边形ABCD 为菱形； 当a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |且|a |＝|b |时，四边形ABCD 为正方形．
14．证明 作直径BD ，连接DA 、DC ，则OB →＝－OD →
， DA ⊥AB ，AH ⊥BC ，CH ⊥AB ，CD ⊥BC .
∴CH ∥DA ，AH ∥DC ，
故四边形AHCD 是平行四边形． ∴AH →＝DC →，
又DC →＝OC →－OD →＝OC →＋OB →，
∴OH →＝OA →＋AH →＝OA →＋DC →＝OA →＋OB →＋OC →.
附赠材料
答题六注意：规范答题不丢分
提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:
第一,考前做好准备工作。

做题前要做好准备工作,包括认真检查答题卡页数和条形码上的姓名、考号与本人的姓名、准考证上的号是否相符等。

此外还要准确填写答题卡的相关信息,正确粘贴条形码,注意不能超出框外。

第二,使用规定的笔作答。

答选择题时,考生必须用2B 型铅笔在答题卡上的“选择题答题区”内将对应题目的选项字母点涂黑
第三,答题不要超出规定范围。

考生必须在答题卡各题目规定的答题区域内作答(包括画表及作辅助线)。

在各题目指定答题区域外的地方,或超越试卷上标出的边界作答,或者自己编题号,其答案都是无效的。

第四,若题中有图,答题前应规划好“布局”,合理安排空间。

例如几何题,图形多在左边。

这种情况下建议大家从图下方开始写起,书写规范字迹清晰,避免“箭头”“地图”等出现。

第五,答题卡千万别折叠。

考生答题时,要注意保持答题卡的清洁,不能折叠、弄皱和损坏答题卡,以免影响计算机扫描。

第六,书写要整洁。

有的学生的答案“布局”很乱,还用箭头标注下一句话的位置,加上字迹潦草、卷面不整洁等情况,阅卷老师很难辨认,甚至对考生的学习态度、学习习惯和知识基础产生怀疑,由此分数也将大受影响来确定一个足够
小的范围,要是四个选项中有一个答案是满足该范围的,那么正确答案也就有了。

第五,草图法。

在解答选择题的过程中,可先根椐题意画出草图,然后参照图形的作法、形状、位置、性质和图形的特征等,得出结论。

在答选择题时,你可以采取先易后难的答题顺序。

先从前往后把你认为有把握的题先做完,然后再做那些不确定的题;对自己把握不大的题可采用排他法,尽可能排除你认为不正确的答案。

这样在剩余的答案中进行选择,正确率就会。