上海市虹口区2020年高三第一学期期末(高考一模)学科质量检测数学试卷(word解析版)

【详解】f﹣1（x）为函数f（x）＝log2（4x﹣1）的反函数,
设y＝f（x）＝2f﹣1（x）,函数过（x，y）,反函数过（x， ）,
所以f（x）同时过（x，y）,（ ，x）,
代入 ,得 ,所以x＝1
故答案为：1
【点睛】本题考查反函数的应用,考查对数的运算,考查运算能力
9.已知m、n是平面α外的两条不同直线，给出三个论断：①m⊥n；②n∥α；③m⊥α；以其中两个论断作为条件，写出一个正确的命题（论断用序号表示）：_____．
所以 ,整理得 ,解得x＞1或x＜0,
所以∁UA＝{x|0≤x≤1}
故答案为：{x|0≤x≤1}
【点睛】本题考查解分式不等式,考查补集的定义
2.设复数 (i为虚数单位)，则 ＝_______
【答案】
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数 ，进而可得结果.
【详解】因为 ,
【答案】
【解析】
【分析】
整理x ,再利用均值不等式求解即可
【详解】设x∈R+,则x 1 ,
当且仅当（x+1）2＝2,即x＝ 时,等号成立
故答案为：
【点睛】本题考查利用均值不等式求最值,属于基础题
4.若 0，则锐角x＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】
由题可得2cos2x﹣sin2x＝0,即2cos2x﹣2sinxcosx＝0,则sinx＝cosx,可求出
A.﹣4B.﹣2C. 0D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
利用 可得 关于 对称,因为 关于 对称,则推测 关于 对称,再将 代回 检验即可
【详解】由 可得 关于 对称,
因为 ,则 关于 对称,所以 关于 对称,即 ,
此时 符合条件,故 符合题意,
故选：A
【点睛】本题考查函数的对称性的应用,考查数形结合思想
（1）设生产 部件的人数为 ，分别写出完成 三种部件生产需要的时间；
（2）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.
【答案】（1） ；（2）当 时完成订单任务的时间最短，此时生产 三种部件的人数分别为44,88,68.
上海市虹口区2020届高三一模数学试卷
答案解析版
一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1.设全集U＝R，若A＝{x| 1}，则∁UA＝_____．
【答案】{x|0≤x≤1}
【解析】
【分析】
先解得不等式,再根据补集的定义求解即可
【详解】全集U＝R,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱA＝{x| 1},
【答案】2n﹣3
【解析】
【分析】
利用条件解得 ,即可求出通项公式
【详解】设首项为a1,公差为d等差数列{an}的前n项和Sn,
若a2+a7＝12,S4＝8,
则
解得
所以an＝﹣1+2（n﹣1）＝2n﹣3
故答案为：2n﹣3
【点睛】本题考查等差数列的通项公式,考查运算能力
6.抛物线x2＝6y的焦点到直线3x+4y﹣1＝0的距离为_____．
12.已知函数f（x）的定义域为R，当x∈（0，2]时，f（x）＝x（2﹣x），且对任意的x∈R，均有f（x+2）＝2f（x），若不等式f（x） 在x∈（﹣∞，a]上恒成立，则实数a的最大值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
由 ,即可得 ,则 ,因为当 时,值域为 ,则当 时,值域为 ,则当 , ,由恒成立进而求得 即可
所以等腰三角形的面积为 ,
棱锥的高即为C1到底面OA1C的距离r＝1,
所以三棱锥C1﹣OA1C的体积为
【点睛】本题考查利用空间向量求异面直线夹角,求线面角,考查棱锥体积,考查运算能力
19.某企业接到生产3000台某产品的 三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1（单位：件）,已知每个工人每天可生产A部件6件，或B部件3件，或C部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比，比例系数为k（k为正整数）.
【详解】由题,渐近线方程为 ,
设A（m， ）（m＞0）,F2（c，0）, ,
因为 ,所以 为 的中点,由中点坐标公式可得B为（2m﹣c， ）,
代入渐近线方程y ,得 ,解得m ,
因为 , ,
由 • 0,则 ,
将m 代入,得 ,解得 ,
所以
故答案为：
【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的应用,考查双曲线焦距,考查运算能力
【答案】1
【解析】
【分析】
由题可得抛物线焦点为（0， ）,根据点到直线距离公式求解即可
【详解】抛物线x2＝6y的焦点为（0， ）,
所以点（0， ）到直线3x+4y﹣1＝0的距离d
故答案为：1
【点睛】本题考查抛物线的几何性质,考查点到直线距离的应用,考查运算能力
7.设（2x﹣1）（x﹣1）6＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，则a5＝_____．
【详解】由于 0,所以2cos2x﹣sin2x＝0,即2cos2x﹣2sinxcosx＝0,
由于x为锐角,
所以sinx＝cosx 解得x
故答案为：
【点睛】本题考查二倍角公式的应用,考查已知三角函数关系求角,考查行列式
5.设等差数列{an}的前n项和Sn，若a2+a7＝12，S4＝8，则an＝_____．
【答案】②③ ①
【解析】
【分析】
可假设n∥α,m⊥α,求证m⊥n即可
【详解】已知m、n是平面α外的两条不同直线,给出三个论断：①m⊥n；②n∥α；③m⊥α；
当m⊥α时,m必垂直于平面α内的任意一条直线,由于n∥α,
所以m⊥n,
如图所示
故答案为：②③ ①
【点睛】本题考查线面垂直的应用,考查线线垂直的判定,属于基础题
如图所示：
由题,则O（0,0,0）,C（0,1,1）,A1（0,﹣1,2）,C1（1,0,2）,
则 , ,
异面直线OC和A1C1的夹角为
所以异面直线OC与A1C1所成角的大小为
（2）由（1）, ,底面的法向量为 ,
所以线面的夹角为 ,
所以直线CC1与底面的夹角为arcsin
（3）锥体的体积 ,
在△OA1C中, , , ,则 中 边上的高 ,
【详解】（1）在△ABC中,a＝8,b＝6,cosA ,所以角A为钝角,由sin2A+cos2A＝1,解得sinA ,
由正弦定理可得 ,解得sinB ,所以B
（2）由（1）可得sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB ,
所以 ,
由于 ,解得h＝4 ,
故BC边上的高为4
【点睛】本题考查求三角函数值,考查正弦定理的应用,考查三角形面积公式的应用,考查运算能力
【详解】由题, ,令 ,则 ,则 ,即 ,令 ,则 ,则 ,以此类推,则 ,设 ,则 ,
因为当 时,易得值域为 ,则当 时,值域为 .
所以 ,令 ,则 , ，
因为 在 恒成立,所以
故答案为：
【点睛】本题考查换元法对值域和解析式的应用,考查转化思想,考查二次函数的图象与性质的应用
二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）
17.在△ABC中，a＝8，b＝6，cosA ，求：
（1）角B；
（2）BC边上的高．
【答案】（1）B （2）4
【解析】
【分析】
（1）由同角的三角函数关系可得sinA ,再根据正弦定理解得sinB ,即可求角；
（2）先可求得 ,即可求得面积 ,进而求得BC边上的高
故答案为：36
【点睛】本题考查二项式的展开式,考查求展开式系数,考查运算能力
8.设f﹣1（x）为函数f（x）＝log2（4x﹣1）的反函数，则当f（x）＝2f﹣1（x）时，x的值为_____．
【答案】1
【解析】
【分析】
由f（x）＝2f﹣1（x）可知,当f（x）过（x，y）时,f﹣1（x）过（x， ）,则根据反函数的性质,f（x）过（ ，x）,代入解析式求解即可
10.如图所示，两块斜边长均等于 的直角三角板拼在一起，则 • _____．
【答案】
【解析】
【分析】
将图形放入平面直角坐标系中,分别求得点的坐标,进而求解 • 的值
【详解】以O为原点,OA、OB分别为x、y轴,建立如图所示平面直角坐标系,
由题, ,所以 , ,则：
O（0，0）,A（1，0）,B（0，1）, , ,
（1）作OD∥O1C1,以O为原点,OD为x轴,OB为y轴,OO1为z轴,建立空间直角坐标系,求得 和 ,进而求解即可；
（2）由题得到 及底面 法向量,进而求解即可；
（3）先求出三角形 的面积,且棱锥中面 上的高为半径1,进而求得体积即可
【详解】（1）作OD∥O1C1,以O为原点,OD为x轴,OB为y轴,OO1为z轴,建立空间直角坐标系,
【答案】36
【解析】
【分析】
先得到（x﹣1）6二项式的展开式 ,分别找到展开式中含x4的系数和x5的系数,再与2x﹣1结合,即可求出a5
【详解】利用（x﹣1）6二项式的展开式： ,
令r＝2时,得（x﹣1）6展开式中含x4的系数,即 ,
令r＝1时,得（x﹣1）6展开式含x5的系数,即
所以(2x﹣1）（x﹣1）6展开式中x5的系数为2×15+（﹣1）×（﹣6）＝36
所以 .
故答案为 .
【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
3.设x∈R+，则x 最小值 _____．
【详解】若将正四面体 放在一个水平面上,易知其中心到点 的距离是 到底面距离的 ,所以反射的对称面是距离为 到 的底面距离 的水平,因此,它割 点所在的小正四面体时原正四面体的 ,同理,对 三点处所切割的正四面体也是原正四面体的 ,则可得到两个正四面体的公共部分体积为 ,
故选：B
【点睛】本题考查外接球的应用,考查空间想象能力,考查运算能力
13.已知 ，则条件“ ”是条件“ ”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
先将题干中的不等式的解求出，再利用充分条件、必要条件的概念判断即可.
【详解】由 得 ，由 得 ，根据充分条件、必要条件的概念可知 是 的充分不必要条件.
故选：A.
所以 , ,
所以
故答案为：
【点睛】本题考查向量的坐标表示,考查求数量积,考查运算能力
11.如图，F1、F2分别是双曲线C： y2＝1的左、右焦点，过F2的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A、B两点，若 ， • 0，则双曲线C的焦距|F1F2|为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
由渐近线方程设A（m， ）（m＞0）,根据 可得B为（2m﹣c， ）,代入渐近线方程可得m ,由 • 0,代入可得 ,从而求出焦距
【详解】由题, ,因为 是偶函数,所以 ,即 ,此时 ,
因为 在 上单调递增,是一个完整 单调增区间,则 ,
即 ,所以 ,即 ,
所以当 时,
故选：D
【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性,考查正弦型函数的单调性的应用,考查运算能力
15.已知函数f（x）＝|x+2|，g（x）＝|x+t|，定义函数F（x） ，若对任意的x∈R，都有F（x）＝F（2﹣x）成立，则t的取值为（）
【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的概念的应用，属基础题.
14.已知函数f（x） sin（2x+θ）+cos（2x+θ）为偶函数，且在[0， ]上为增函数，则θ的一个值可以是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
化简可得 ,根据偶函数可解得 ,因为周期为 且在 上单调递增,则 是一个完整的单调增区间,可得 ,即得 ,对 赋值,即可得到选项
18.如图，在圆柱OO1中，它的轴截面ABB1A1是一个边长为2的正方形，点C为棱BB1的中点，点C1为弧A1B1的中点，求：
（1）异面直线OC与A1C1所成角的大小；
（2）直线CC1与圆柱OO1底面所成角的大小；
（3）三棱锥C1﹣OA1C的体积．
【答案】（1） （2）arcsin （3）
【解析】
【分析】
16.正四面体ABCD的体积为1，O为其中心，正四面体EFGH与正四面体ABCD关于点O对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题分析, 是正四面体的外接球球心,可得 为 的底面的高,即 到底面的距离为高的 ,因为两个正四面体关于 对称,则两个对称水平面之间的距离为底面高的 ,即顶点到水平面的距离为底面高的 ,进而得到小正四面体的体积为正四面体的 ,对应四个顶点由四个小正四面体,进而求得公共部分的体积