苏教版高中数学必修四向量的坐标表示三教案

第 8 课时：§2.3.2 向量的坐标表示（三）
【三维目标】：
一、知识与技能
1.理解向量共线的坐标表示
2.理解向量共线的条件与轴上向量坐标运算，会根据向量的坐标，判断向量是否共线
3.能利用两向量平行的坐标表示解决有关综合问题。

二、过程与方法
教材利用平面向量线性运算的坐标表示得到向量平行的坐标表示；让学生经历知识的探究与交流来感受向量平行的坐标表示；最后通过讲解例题，巩固知识结论，培养学生应用能力.
三、情感、态度与价值观
通过用坐标表示平面向量共线的条件，体会数形结合的思想。

【教学重点与难点】：
重点：向量平行的充要条件的坐标表示；
难点：应用向量平行的充要条件证明三点共线和两直线平行的问题。

【学法与教学用具】：
1. 学法：
(1)自主性学习+探究式学习法：
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 2. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题
1．已知(3,2)a =r ，(0,1)b =-r
，求24a b -+r r ，43a b +r r 的坐标；
2．已知点(1,1)A ，(1,5)B -及21=−→
−AC −→−AB ，=−→−AD 2−→−AB ，2
1-=−→−AE −→−
AB ，求点C 、D 、E
的坐标。

归纳：（1）设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则−→
−AB 2121(,)x x y y =--；
（2）11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r ，则1212(,)a b x x y y +=++r r
，
1212(,)a b x x y y -=--r r ，11(,)a x y λλλ=r
；
3．向量a r 与非零向量b r 平行的充要条件是：(,0)a b R b λλ=∈≠r r r r
.
4.向量共线定理：________ 二、研探新知
1.共线向量的充要条件: [展示投影]思考与交流：
【思考】：共线向量的条件是有且只有一个实数．．．．．．．．λ使得．．b ρ=．λa ρ，那么这个条件如何用坐标来表
示呢？
设a r ),,(11y x =b r ),(22y x =其中b r ≠0r ,由a r λ=b r 得),(),(2211y x y x λ=⎩⎨⎧==⇒21
2
1y y x x λλ
消去λ：01221=-y x y x ，∵b r ≠0r
,∴22,y x 中至少有一个不为0
【归纳】：向量平行（共线）的充要条件的两种表达形式：a r ∥b ρ (b ρ≠0r )12210
a b x y x y λ⎧=⎪
⇔⎨
-=⎪⎩r r
【注意】：①消去λ时不能两式相除,∵21,y y 有可能为0.∵b ρ≠0r
,∴22,y x 中至少有一个不为
②这个条件不能写成
2
2
11x y x y =,∵21,x x 有可能为0. ③向量共线的两种判定方法：a r ∥b r (b ρ≠0r )⎪⎩⎪
⎨
⎧=-=⇔→
→
1221y x y x b a λ 即：若存在两个不全为0的实数μλ,使得λa r +μb r =0r ，那么a r 与b ρ
为共线向量，零向
量与任意向量共线 2.轴上基向量
（1）与向量a r 同方向的a r 的单位向量为|
|→→
→=a a
e
（2）数轴上的基向量→
e 的概念
（3）轴上向量的坐标：轴上向量a r ，一定存在一个实数x ，使得a r x =→
e ，那么x 称为向量a r 的坐标。

设点A 、B 是数轴上的两点其坐标分别为1x 和2x ，那么向量−→
−AB 的坐标为12x x AB -=，由此得两点A 、B 之间的距离为||||21x x AB -=
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 已知(4,2)a =r ，(6,)b y =r
，且//a b r r ，求y ． 解：∵//a b r r
，∴4260y -⨯=．∴3y =．
例2 已知)4,3(),2,2(),2,0(C B A -，求证：A 、B 、C 三点共线
例3（教材74P 例5）已知a r ),0,1(=b r )1,2(=，当实数k 为何值时，向量k a r -b r 与a r +3b
r
平行？并确定此时它们是同向还是反向。

例4 已知(2,4)a =-r ,(1,3)b =-r ,(6,5)c =r ,2p a b c =+-u r r r r ，则以a r ，b r 为基底，求p u r
. 解：令c a b λμ=+r r r
，则(6,5)(2,4)(1,3)λμ=-+-.(6,5)(2,43)λμλμ=--+，
∴26435λμλμ-=⎧⎨-+=⎩，∴23217λμ⎧=
⎪⎨⎪=⎩
，∴23212171522p a b a b a b =+--=--u r r r r r r r .
例5（教材74P 例6）已知点C B A O ,,,的坐标分别为)1,1(),2,1(),4,3(),0,0(-，是否存在常数t ，使得t OA +−→
−−→
−OB =−→
−OC 成立？解释你所得到结论的几何意义.
四、巩固深化，反馈矫正
1．设3(,sin )2a α=r ，1
(cos ,)3
b α=r ，(0,2)απ∈，且//a b r r ，求锐角α
2.当____=x 时，向量a r )2,1(=与b r
)4,(x =平行；
3.已知向量a r )2,1(=,b r )1,(x =,=→u a r +2b r ,=→v 2a r -b r ，且→u //→
v ，求x 4.设a r 、b r 是不共线的非零向量，求证a r +2b r 与a r -2b r
不平行；
5.已知a r )2,1(=,b r )2,3(-=，当k 为何值时，k a r +b r 与a r -3b r
平行？平行时它们是同向还是
反向？
6.已知点C B A O ,,,的坐标分别为)0,0(,)5,4(,)4,2(-,)3,3(，是否存在常数t ，使得
t OA +−→
−−→−OB =−→
−OC 成立
7.已知点(1,1)A --，(1,3)B ，(1,5)C ，(2,7)D ，向量−→
−AB 与−→
−CD 平行吗？直线AB 平行与直线CD 吗？
五、归纳整理，整体认识
1．熟悉平面向量共线充要条件的两种表达形式；
2．会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行； 3．明白判断两直线平行与两向量平行的异同。

六、承上启下，留下悬念 预习向量的数量积
七、板书设计（略） 八、课后记：。