概率论随机变量的分布函数ppt课件

因此， A 是不可能事件
P{A} 0.
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例1: 设随机变量X具有概率密度
ke 3 x
x0
f (x)
0 x0
(1)试确定常数k，(2)求F(x)，(3)并求P{X>0.1}。
解: (1)由于
f (x)dx
ke3xdx k 1
，解得k=3.
0
3
于是X的概率密度为
f
(
x)
O
x
(3) 在 x= 处曲线有拐点，且以x轴为渐近线 ;
(4) 对固定的,改变的值,图形沿Ox轴平移;
(5) 对固定的,改变, 越小,图形越尖.
正态分布的分布函数为: F ( x)
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1
2
e dt x
(t )2 2 2
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标准正态分布
当=0, =1时,称X服从标准正态分布,记作X～N(0,1).
例3 设电阻值R是一个随机变量，均匀分布在800欧～1000
欧，求R的概率密度及R落在850欧～950欧的概率.
解: 由题意，R的概率密度为
1 f (r) 1000 800
， 800 r 1000
0
, 其它
950 1
而 P{850 X 950}
dr 0.5
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850
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2. 指数分布
注 (4)式及连续性随机变量分布函数的定义表示 了分布函数与概率密度间的两个关系．利用这些 关系，可以根据分布函数和概率密度中的一个推 出另一个．
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连续型随机变量的分布函数与概率密度的几何意义：
1. F(x)等于曲线f(x)在(-∞,x]上的曲边梯形的面积。
2. f ( x)dx 1说明曲线f(x)与x轴之间的面积 等于1。
3
pk
2/6
3/6
1/6
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3
一般地，对于离散型随机变量X 来讲，如果其概 率分布律为 P{X xk } pk, k=1,2,… 其中x1<x2<… 则X的分布函数为
F(x) P{X x} P{X xk } pk
xk x
xk x
它的图形是一条右连续的阶梯型曲线
在随机变量的每一个可能取值点 x=xk(k=1,2,…),
其概率密度与分布函数分别用 (x),(x)表示.即
(x)
1
x2
e2
2
( x) 1
t2 x
e 2 dt
2
(x)
(x)
1 2
-1 O 1 x
O
x
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ex
Ae
x
x0 x0
（1）求A，B（2）求X的概率密度（3）P{-1<X<2}
解（1）由分布函数的性质知1 lim F ( x) B 所以B=1. x
由连续型随机变量的分布函数的连续性知
F(x)在x=0处有F(0-0)=F(0),即：A=1-A，所以A=1/2
于是X分布函数为： （2）X的概率密度为
该图形都有一个跳跃，跳跃高度为pk
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例2 一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任一同心圆
盘上的点的概率与该圆盘的半径平方成正比,并设射击都
能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离.试求 （1） 随机变量X的分布函数． （2）P{1 X 1}.
2
解 (1) 求随机变量X的分布函数F(x)
当x<0时,事件{X≤x}为不可能事件,得 F(x)= P{X≤x｝=0
态分布，记为 X ~ N(, 2 ) .
显然，f(x)≥0，
且可以证明
f
(x)dx
1
参数 , 的意义将在后面的章节中给出
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正态分布的概率密度函数f(x)的性质
(1) 曲线关于直线P{ h X } P{ X h}
(2) 当 x= 时，f(x)取得最大值;
(2)连续型随机变量的分布函数是连续函数.
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二、 性质
(1) f ( x) 0;
(1),(2)用于验证一个函 数是否为概率密度
(2) f ( x)d x 1;
(3)
P{x1 X x2} F( x2 ) F( x1)
x2 f ( x)d x;
x1
(4) 若f(x)在点 x 处连续，则有 F(x) f (x)
则称X的分布具有无记忆性.
➢指数分布具有无记忆性
2. 指数分布有着重要应用. 如动植物的寿命、无线电元件的寿命，以及
随机服务系统中的服务时间等都可用指数分
布来描述.
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(三) 正态分布 若随机变量X的概率密度为
f (x)
1
e
(
x )2 2 2
, x
2
其中 , ( >0) 为常数, 则称X服从参数为 , 的正
二、定义
设X 是随机变量，x为任意实数，称函数
F ( x) P{X x} ( x )
为X 的分布函数(distribution function) 记作 X ～ F(x) 或 FX(x)
如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分
布函数 F(x) 的值就表示 X落在区间
(, x] 的概率.
—X——x |——> x
F
(
x)
1 2
e
1
x
1 2
e
x
x0 x0
f
(
x)
F
(
x)
1 2 1 2
ex ex
x
0
1
e
x
2
x0
(3)P{1 X 2} F(2) F(1) 1 1 e2 1 e1
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三、三种重要的连续型分布：
1．均匀分布(Uniform Distribution) 1 设连续随机变量X具有概率密度 f ( x) b a
3. 性质(3)表示P{x1<X≤x2｝等于曲线f(x)在区间(x1,x2]上 的曲边梯形的面积。
可得计算公式：P{X a} F(a) a f ( x)d x,
P{X a} 1 P{X a} 1 F (a) f ( x)d x. a
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注： 1. 设X为连续型随机变量，对于任意可能值 a ,
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1
三、分布函数的性质
1 单调不减 即 若 x1< x2，则F(x1) ≤F(x2)；
2.非负有界 0 F(x) 1, ( x ),且
3.右连续
lim F(x) F() 0,
x
lim F(x) F() 1
x
F(x+0)=F(x)
性质1--3是鉴别一个函数是否是某随机变量的 分布函数的充分必要条件.
6
综上所述 F(x)的图形
0 , x 0,
F
(
x)
x2 4
, 0 x 2,
1 , x 2,
F(x)
1
1/2
01 2 3
x
（2）P{ 1
X
1}
F (1)
F
(
1 )
1
(1 /
2)2
3
2
2 4 1/ 4 16
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第四节 连续型随机变量及其 概率密度
一、定义 如 果 对 于 随 机 变 量X 的 分 布 函 数F ( x) , 存 在
3e3 x
x0
0 x0
x
(2)从而 F (x) f (t)dt
x 3e3tdt 1 e3x
0
x0
0
x0
即F
(
x)
1
e 3 x
x0
0 x0
（3）PX 0.1
f (x)dx
0.1
3e3xdx e0.3
0.1
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例2: 连续型随机变量X的分布函数
F
(
x)
A B
0
则称X在区间(a，b)上服从均匀分布，
记为XU(a，b). 分布函数
•
aO
0,
F
(
x)
x b
a a
,
1,
x a,
a x b,
x b.
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F(x) 1•
•
a
o
•
b
a xb f (x) 其他
•
bx
x 16
均匀分布常见于下列情形：
在数值计算中的舍入误差； 短时间间隔的股票价格波动等.
P{ X a} 0.
证明 x 0,则{X a} {a x X a}
0 P{X a} P{a x X a} F(a) F(a x) 0(x 0 )
由此知 P{a X b} P{a X b} P{a X b} P{a X b}.
2. 若X是连续型随机变量，则有 P{ X a} 0.
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2
例1 一袋中有6个球，其中2个标号为1，3个标号为 2，1个标号为3, 任取1个球，以X表示取出的球的 标号，求X的分布函数；并求 P｛2 ≤ X ≤3｝
解：由已知X的可能值为1, 2, 3．
P{X=1}= 2/6, P{X=2}=3/6, P{X=3}=1/6.
所以X的分布律为
X
1
2
当0≤x≤2时，P{0≤X ≤x}=cx2 (c为待定常数)
又因为｛0≤X≤2｝为必然事件,故 1= P{0≤X≤2｝
故
c
1 4
于是 F ( x) P{X x} P{X 0} P{0 X x} x2
4
当 x>2时,{ X≤ x｝为必然事件,于是 F(x)= P{X≤ x｝=1
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非 负 可 积 函 数f ( x) , 使 对 任 意 实 数x 有 F ( x) x f (t)d t,
则 称 X 为 连 续 型 随 机 变 量, 其 中 f ( x) 称 为 X 的 概 率
密 度 函 数,简 称 概 率 密 度. probability density.
注：(1)由定义知道，改变概率密度f (x)在个别点的函数值 不影响分布函数F(x)的取值，因此概率密度不是唯一的.
若随机变量X的概率密度
f
(
x)
1
e
x
,
x0
0
, x0
为常数且大于零, 则称X服从参数为 的指数分布.
显然，f(x)≥0，且
f
(
x)dx
1
X的分布函数为：
F
(
x
)
1
e
x
,
x0
0
, x0
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【注】 1. 若随机变量X对任意的s>0,t>0有
P{X s t | X s} P{X t},