上海市崇明县2015届高三下学期第二次模拟考试数学(文)试题 含解析

崇明县2015年第二次高考模拟考试试卷高三数学（文科）
一、填空题（本大题共14小题，每题4分,满分56分，将答案填在答题上） 1.若集合{}{}
22,30M x x N x x x ==-=≤,则M N =∩ ．
【答案】{}0 【解析】
试题分析：根据题的条件可知|22
M x x ，0,3
N
，根据集合的交
集的定义可知，M N =∩{}0. 考点：集合的运算。

2。

若12z
a i =+,
234z i
=-,且12
z z 为纯虚数，则实数a 的值等于 ．
【答案】3
8
【解析】 试题分析：12
z z 2(2)(34)
3425a i a i i i 38(46)25
a a i
，结合着复数是纯虚数,可知
380
460
a a ，解得8
3
a。

考点：复数的运算,纯虚数的定义。

3。

2
246......2lim (1)
n n
n
→∞
++++=+ ． 【答案】1 【解析】
试题分析：2
246......2lim (1)n n n →∞
++++=+2
(1)lim (1)n n n n →∞
+=+lim 1
n n
n →∞
=+1.
考点：极限的求法。

4。

函数20.5log (43)
y x x -的定义域为 ．
【答案】⎥⎦
⎤
⎝⎛⎪⎭⎫⎢
⎣⎡-1,430,41 【解析】
试题分析：由题意可知20431x x ,解得x
⎥⎦
⎤
⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,430,41 . 考点：函数的定义域。

5.在ABC ∆中,90C ∠=︒,(,1)AB k =，(2,3)AC =，则k 的值等于 ． 【答案】5 【解析】
试题分析：根据题意可知，(2,2)BC
AC AB k ，由90C ∠=︒，所以
2(2)60AC BC k ，解得5k
.
考点：向量的减法，向量的数量积，向量垂直的条件。

6.设直线0132=++y x 和圆2
2230
x y x +--=相交于点A 、B ，则弦AB 的垂直平
分线方程是 ．
【答案】0323=--y x 【解析】 试题分析:由2
2230
x
y x +--=得22
(1)4x
y ,所以圆的圆心为(1,0)，根据圆的
相关性质,可知所求的直线的斜率为32
，根据直线的点斜式方程化简可得结果为0323=--y x 。

考点:圆的性质,直线的方程,两直线垂直关系的应用。

7.
如果
3n
x ⎛⎫
⎝
的展开式中各项系数之和为128，则含3
1x 项的系数等
于 ．（用数字作答） 【答案】21 【解析】
试题分析:根据题意，令1x 可知展开式的各项系数和为2
128n
，可知
7n ，所以所给的式子的展开式的通项为71
7
3
2
1
(3)
(
)
r r
r
n T C x x
2773
7
(1)3r r
r r
r C x
，令57
33
r ,解得6r ，故该项的系数为
67
6
67(1)321C 。

考点：二项式定理。

8。

在ABC ∆中，已知8BC =，5AC =,三角形面积为12，则cos 2C = ．
【答案】
25
7
【解析】
试题分析：根据三角形的面积公式可知11
sin 85sin 122
2
BC AC C
C ，解得3
sin 5C
,所以2187
cos 212sin 125
25
C C . 考点：三角形的面积，余弦的倍角公式。

9。

在等比数列{}n
a 中,1
2
a
=，前n 项和为n
S ，若数列{}
1n
a
+也是等比数列，
则n
S 等于 ． 【答案】n 2 【解析】
试题分析：设数列{}n
a 的公比为q ，则有2
2(21)(21)(21)q
q ，解得1q ，
所以n
S
2n 。

考点:等比数列的定义,数列的求和问题。

10.一个不透明的袋中装有5个白球、4个红球(9个球除颜色外其余完全相同），经充分混合后,
从袋中随机摸出3球，则摸出的3球中至少有一个是白球的概率等于 ．（用分数作答） 【答案】21
20
【解析】
试题分析：根据题意可知总共有39
84C 种不同的摸法，而摸出的球全
是红球有34
4C 种摸法,所以则摸出的3球中至少有一个是白球的概率
为420
184
21
P。

考点:随机事件的概率。

11。

设x 、y 满足约束条件5,3212,03,0 4.
x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨
⎪⎪⎩≤≤≤≤≤≤目标函数65z x y =+的最大值等
于 ． 【答案】27 【解析】
试题分析：根据题中所给的约束条件画出相应的可行域，经过分析,可知该题中所求的最优解为(2,3),所以目标函数的最大值为
max
625327z 。

考点：线性规划。

12.已知双曲线
2
2
1
2
y x -=的焦点为1
F 、2
F ，点M 在双曲线上且12
MF MF
⋅=，则
点M 到x 轴的距离等于 ． 【答案】3
32
【解析】
试题分析：根据题意可知12FMF 的面积121
212
2
S
MF MF ,1
2
4MF
MF ，
所以有所求的距离为423
d
3
3
2. 考点：双曲线的焦点三角形的面积公式，等级转化。

13.已知函数[]
11,
2,0()2(2),(0,)
x x f x f x x ⎧-+∈-⎪=⎨
-∈+∞⎪⎩,若方程()f x x a -=在区间[]2,4-内有3个不
等实根，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】{}{}102| <<-a a 【解析】
试题分析：结合题中所给的函数解析式，作出函数()y f x 与y
x a 的
图像，利用两个图形的交点个数问题确定a 的取值范围，结合图形可
以确定a 的取值范围是{}{}102| <<-a a 。

考点:函数的零点与方程根的关系，方程根的个数的应用，函数与方程的思想,数形结合解决问题。

14。

若数列{}n
a 满足：存在正整数T ,对于任意正整数n 都有n T
n
a
a +=成立，
则称数列{}n
a 为周
期数列，周期为T ．已知数列{}n
a 满足1
(0)a m m =>，1
1
11
01n n n n n
a a a
a a +->⎧⎪=⎨<⎪⎩≤有以下
结论：
①若4
5m =，则5
3
a
=;②若3
2
a
=，则m 可以取3个不同的值;③若2m =则{}
n
a 是周期为3的数列；④存在m Q ∈且2m ≥，数列{}n
a 是周期数列．其中正确结论的序号是
（写出所有正确命题的序号）． 【答案】①②③
考点:数列的
递推公式,数列的性质。

二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。

15.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是………………………………（ ） A ．3
,y x x R =-∈ B 。

sin ,y x x R
=∈ C ．,y x x R =∈ D 。

1,2x y x R ⎛⎫
=∈ ⎪⎝⎭
【答案】A 【解析】
试题分析：B 项在定义域上不是单调的，D 项不具备奇偶性,C 项是增函数，只有A 项满足条件，故选A 。

考点：函数的奇偶性,函数的单调性. 16。

设
n
S 是等差数列
{}
n a 的前
n
项和,若
3613
S S =，则
6
12
S S =………………………………（ )
A ．3
10
B ．13
C ．18
D ．19
【答案】A
【解析】
试题分析：根据等差数列的性质，结合着题的条件，设3
,S r 则63S r ，
从而有6
3
2S
S r ,结合着等差数列的性质,可知36396129,,,S S S S S S S 成以r
为首项,以r 为公差的等差数列，故可以得出6
3S r ,1210S r ，
所以有612S S 3
10
,
故选A.
考点：等差数列的性质。

17。

在下列四个几何体中，它们的三视图（主视图、左视图、俯视图）中有且仅有两个相同，而一 个不同的几何体是……………………………………………………………………（ ）
A ．（1）（2）（3）
B ． (2）（3)（4）
C ．（1)（3)（4)
D ．(1）（2）（4)
【答案】B 【解析】 试题分析：
试题解析:因为正方体的三视图都是一样的,故（1）不对，所以选B 。

（2）底面直径和高均为1的圆柱
(1)棱长为1的正方体 （3)底面直径和高均为1的圆锥 （4）底面边长为1、高为2的正四棱柱
令解：正方体的三视图都是一样的，故（1）不满足条件,圆柱的正视图和侧视图是相同的长方形,而俯视图是圆，所以（2）满足条件，对于圆锥，正视图和侧视图都是相同的等腰三角形,俯视图是圆，故（3）满足条件，正四棱柱的正视图和侧视图是相同的长方形,而俯视图是正方形，故（4)满足条件，故选B 。

考点：几何体的三视图.
18.设函数()f x 的图像关于点(1,2)对称，且存在反函数1
()
f x -，若(4)0f =，
则1
(4)f
-=
( ）
A ．0
B ．4
C ．2-
D ．2 【答案】C 【解析】
试题分析：根据题意可知点(4,0)在函数()f x 的图像上，结合着图像的对称性,可知点(2,4)在函数的图像上，
所以有(2)4f ，所以有1(4)f -=2，故选C 。

考点：函数的图像的对称性，反函数.
三、解答题 （本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19。

(本题满分12分）本题共有2小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分． 已知函数
2())2sin ()()
612
f x x x x R ππ
-+-∈．
（1）化简并求函数()f x 的最小正周期； （2)求使函数()f x 取得最大值的x 集合． 【答案】（1)T π= （2）
5
|,12
x x k
k Z
【解析】
试题分析：第一问应用余弦的倍角公式和辅助角公式，将函数的解析式化简，应用函数解析式中的参数与函数的性质的关系，从而确定出函数的最小正周期，第二问注意正弦值在角的终边落在什么地方时，注意将角当做一个整体，求出角的集合，注意整体思维的运用。

试题解析：（1）2()3sin(2)2sin ()3sin(2)1cos(2)
6
12
6
6
f x x x x x π
π
π
π
=-
+-
=-
+--
2sin(2)1
3x π
=-+，
所以函数()f x 的最小正周期T π=;
（2）当22,32
x k k Z ππ
π-=+∈，即5,12
x k k Z ππ=+∈时，函数取得最大值, 所以使函数()f x 取得最大值的x 集合为5{|,}
12
x x k k Z ππ=+∈.
考点:余弦的倍角公式,辅助角公式，函数的周期，函数取最大值时自变量的取值情况。

20。

（本题满分14分)本题共有2小题，第(1）小题满分6分,第（2)小题满分8分．
如图,在长方体11
1
1
ABCD A B C D -中，1
1AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动．
（1)当E 为AB 的中点时,求四面体1
E ACD -的体积；
（2）证明:1
1
D E A D ⊥．
【答案】(1）16
(2）略
考点：三棱锥的体积的求法,空间的垂直关系的转换。

21。

（本题满分14分)本题共有2小题，第（1）小题满分6分,第(2）小题满分8分．
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位:万元)与隔热层厚度x （单位：cm)满足关系：()35k C x x =+(010)x ≤≤，若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元,设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． （1)求k 的值及()f x 的表达式；
(2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求最小值． 【答案】（1)800()6,01035
f x x x x
（2)隔热层修建为5厘米时，总费用最小，且最小值为70万元 【解析】
试题分析:解决该问题的关键是要明确变量之间的关系，注意利用题中所给的解析式，找出k 所满足的等量关系，从而求得k 的值，下一步找出各项费用做和即可，注意自变量的取值范围，对于第二问，
相当于求函数的最值，将式子进行构造，应用基本不等式求解即可，注意基本不等式中等号成立的条件. 试题解析:（1）依题意得：8,
405
k k =∴=
所以40800
()6206,0103535
f x x x x x x =+⋅=+≤≤++
(2）800800()62(35)1010703535f x x x x x =+
=++-≥=++
当且仅当800
2(35)35
x x +=+,即5x =时等号成立， 而5[0,10]∈,所以隔热层修建为5厘米时，总费用最小,且最小值为70万元。

考点:函数的应用题，基本不等式求最值。

22。

（本题满分16分）本题共有3小题,第（1）小题满分4分,第(2）小题满分6分,第(3)小题满 分6分．
已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F 与x 轴不垂直的直线交椭圆于,P Q 两点． （1）求椭圆的方程；
(2)当直线l 的斜率为1时，求POQ ∆的面积；
（3)在线段OF 上是否存在点(,0)M m ，使得以,MP MQ 为邻边的平行四边形是菱形?
若存在,求出m 的取值范围；若不存在,请说明理由．
【答案】（1）12
22=+y x
（2）3
2=
∆OPQ
S
（3)存在
2
10<
<m 【解析】
试题分析：第一问应用题中所给的条件，设出相应的椭圆的方程，根据其短轴长，可以确定b 的值，根据焦点和短轴的端点为一个正方形的顶点，从而确定出b
c ，进一步求得a 的值，从而确定出椭圆的
方程，第二问根据直线的斜率和过右焦点，将直线的方程写出来，与椭圆方程联立，应用点到直线的距离求得三角形的高，应用弦长公式求得三角形的底，应用面积公式求得结果，第三问关于是否存在类问题,都是假设存在，根据菱形的条件，从而求得结果,再转化为函数的值域问题求解，从而确定出m 的取值范围.
试题解析：（1）设椭圆方程为)0(1
2222>>=+b a b
y a x ，
根据题意得1==c b ， 所以2222
=+=c b a
，
所以椭圆方程为12
22
=+y x ;
(2）根据题意得直线方程为1:-=x y l ，
解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+1
1
222
x y y x
得Q P ,坐标为)3
1,34(),1,0(-，
计算324=PQ , 点O 到直线PQ 的距离为
2
2，
所以，3
2
=
∆OPQ
S
; (3）假设在线段OF 上存在点)10)(0,(<<m m M ,使得以,MP MQ 为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x 轴不垂直,所以设直线的方程为
)0)(1(≠-=k x k y ．
Q P ,坐标为),(),,(2211y x y x ,
由⎩⎨⎧-==+)
1(2222x k y y x 得,0224)21(2222=-+-+k x k x k ，
2
2
2212221212,214k
k x x k k x x +=⋅+=+-, 计算得：),(),,(2211y m x MQ y m x MP -=-=，其中021
≠-x x
,
由于以,MP MQ 为邻边的平行四边形是菱形，所以MP MQ
，
计算得4
2
1
x x
m +=，
即2
2
21214k k x x m +=+=，)0(≠k ,
所以2
10<<m .
考点:椭圆的方程,直线与椭圆相交问题,是否存在类问题.
23.本题共有3小题，第（1)小题满分4分，第（2)小题满分6分,第（3)小题满 分8分．
已知数列{}n
a 是首项为３，公比为(01)q q <<的无穷等比数列，且数列{}n
a 各
项的和等于9．对给定的(1,2,3,,)k k n =⋅⋅⋅，设()
k T 是首项为k
a ，公差为21
k
a
-的
等差数列．
（1）求数列{}n
a 的通项n
a ；
（2）求数列(2)
T 的前10项之和；
（3)设i
b 为数列()
i T 的第i 项，12n
n
S
b b b =+++，求n
S ，并求正整数(1)m m >，
使得lim n
m
n S
n →∞
存在且不等于零．
【答案】（1）1)3
2
(3-⨯=n n
a
(2）155 （3）2
【解析】
试题分析:第一问根据等比数列的各项和的公式,从而得到关于数列的首项和公比的等量关系式，从而求得其同项公式，第二问根据题
中的条件，确定好等差数列的首项和公差,从而求得结果，第三问先确定好i
b ，从而求得n
b ，进一步求得n
S ，根据极限的求法，从而确定
出相应的正整数m 的值。

试题解析：（1）根据题意有913=-q
，解得，32=q ,所以1)32
(3-⨯=n n a ；
(2）312,222
=-==a d a
，
数列)
2(T 的前10项之和等于15532
910210=⨯⨯+⨯；
(3）2(1)(21)(21)(1)3(21)()
(1)3
i
i
i
i
i
b a i a i a i i i =+--=---=---，
所以12n
n
S b b b =+++，
所以
2(1)
45(1845)()32lim n n m m n n n n S n n
→∞--+-=，
计算得,当2=m 时，2(1)
45(1845)()132lim 2
n n m m n n n n S n n →∞--+-==-；2m >时,lim n
m
n S n →∞
=0，
所2=m 。

考点：等比数列的各项和，等差数列的求和公式，极限。