新人教版数学九上课件：二次函数与一元二次方程

二次函数y=ax2+ bx+c的图象与 x轴的公共点个数 有 两 个公共点
有 一 个公共点 没有 公共点
一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的情况
有 两个不相等 的实数根
有 两个相等 的实数根 没有 实数根探究点一源自二次函数的图象与坐标轴的交点及其应用
【例1】 如图,抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A,B两点.
(1)求A,B两点的坐标;
【导学探究】 1.令y=0,根据一元二次方程
x2-2x-3=0
的解来确定A,B两点的坐标.
解:(1)令y=0,则x2-2x-3=0,
解得x1=-1,x2=3. 所以A(-1,0),B(3,0).
(2)P为抛物线上的点,且满足S△PAB=8,求点P的坐标. 【导学探究】 2.设点P的坐标为(x,y),由S△PAB=8,可得y= ±4 .
1.抛物线y=2x2-2 2 x+1与坐标轴的交点个数是( C ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 2.小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图,则关于x的方程x2+ax+b=0的解是( D ) (A)无解 (B)x=1 (C)x=-4 (D)x1=-1,x2=4
3.(2017镇江)若二次函数y=x2-4x+n的图象与x轴只有一个公共点,则实数n= 4 . 4.抛物线y=x2-4x+c与x轴交于A,B两点,已知点A的坐标为(1,0),则线段AB的长度为
22.2 二次函数与一元二次方程
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的 横坐标
就是一元二次方程
ax2+bx+c=0的根.
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的根
的关系
判别式b2-4ac
b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
探究点二:二次函数的图象与x轴的交点个数问题
【例2】 (1)若二次函数y=2x2+8x+m的图象与x轴只有一个公共点,求常数m的值;
(2)已知二次函数y=-x2+(m-2)x+m+1,试说明:不论m取任何实数,这个二次函数的
图象与x轴有两个交点.
【导学探究】 1.由Δ = 0,可求得m的值. 2.证明二次函数的图象与x轴有两个交点,只需证 Δ≥0
2.
5.已知二次函数y=-x2+2x+k+2与x轴有两个交点. (1)求k的取值范围; (2)当k=6时,求抛物线与x轴的交点坐标; (3)在(2)的条件下,请你利用大致图象直接写出,当x取何值时,函数值大于0.
解:(1)因为二次函数y=-x2+2x+k+2与x轴有两个交点, 所以Δ=b2-4ac=22-4×(-1)×(k+2)>0,解得k>-3. (2)当k=6时,二次函数是y=-x2+2x+8, 令y=0,得-x2+2x+8=0.即x2-2x-8=0, 则(x+2)(x-4)=0,解得x1=-2,x2=4. 所以抛物线与x轴的交点坐标为(-2,0),(4,0). (3)二次函数y=-x2+2x+8的大致图象,如图所示, 所以由图象可知:当-2<x<4时,函数值大于0.
解:(2)因为 A(-1,0),B(3,0),所以 AB=4. 设点 P 的坐标为(x,y),根据题意,得
S = △PAB 1 ×4×|y|=8. 2
所以|y|=4.所以 y=±4. 当 y=4 时,x2-2x-3=4.解得 x1=1+2 2 ,x2=1-2 2 . 当 y=-4 时,x2-2x-3=-4.解得 x1=x2=1. 所以点 P 的坐标为(1+2 2 ,4)或(1-2 2 ,4)或(1,-4).
即可.
(1)解:因为二次函数y=2x2+8x+m的图象与x轴只有一个公共点, 所以Δ=b2-4ac=64-8m=0,解得m=8. 即常数m的值为8. (2)证明:因为Δ=(m-2)2-4×(-1)×(m+1)=m2+8.因为m2≥0,所以m2+8>0,即Δ>0. 所以不论m取任何实数,二次函数y=-x2+(m-2)x+m+1的图象与x轴都有两个交点.