8字模型与飞镖模型

8字模型与飞镖模型模型1：角的8字模型
如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC ．结论：∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ．
O
D
C B
A
（1）因为这个图形像数字8，所以我们往往把这个模型称为8字模型． （2）8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到．
【模型实例】
观察下列图形，计算角度：
（1）如图①，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝________；
图图①
F
D C
B
A
E E
B
C
D
A
图③
2
1
O A
B
E
图④
G F 12
A
B E
（2）如图②，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝________．
图②
F
D
C B
A
E
E
312图⑤
P O
Q
A B
F C D
图⑥
2
1E
D
C
F
O
B
A
【练习】
1．（1）如图①，求：∠CAD ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝ ；
图
图①
O
O
E
E
D
D
C
C
B
B
A
A
（2）如图②，求：∠CAD ＋∠B ＋∠ACE ＋∠D ＋∠E ＝ ．
图②
O
E
D
C
B
A
2．如图，求：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H ＝ ．
H
G
F
E
D
C
B
A
模型2：角的飞镖模型
如图所示，有结论：∠D ＝∠A ＋∠B ＋∠C ．
A
D
C
图①
4
3
2
1A
D 图②
4
32
1A
D
（1）因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为飞镖模型． （2）飞镖模型在几何综合题目中推导角度时使用． 【模型实例】
如图，在四边形ABCD 中，AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，AM 与CM 交于M ，探究∠AMC 与∠B 、∠D 间的数量关系．
M
A
B
2
1
43M
B
A
练习：
1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .
E 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D= .
A
A
模型3 边的“8”字模型
如图所示，AC、BD相交于点O，连接AD、BC．结论AC+BD>AD+BC．
B C
A
【模型实例】
如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O。

求证：(1) AB+BC+CD+AD>AC+BD；
(2) AB+BC+CD+AD <2AC+2BD.
B
模型4 边的飞镖模型
如图所示有结论：
AB+AC> BD+CD.
B
【模型实例】
如图，点O 为三角形内部一点．
求证：(1) 2 (AO+BO+CO)>AB+BC+AC ；
(2) AB+BC+AC>AO+BO+CO.
B
B
【练习】观察图形并探究下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由．
(1)如图①，△ABC 中，P 为边BC 一点，请比较BP+PC 与AB+AC 的大小，并说明理由．
(2)如图②，将(1)中的点P 移至△ABC 内，请比较△BPC 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由．
(3)图③将(2)中的点P 变为两个点1P 、2P ，请比较四边形12BPP C 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由.
P 2
P 1
B
C
C
B C
B P
三角形的折角模型
一、三角形的折角模型：三角形某角折叠后在三角形内所产生的角度等量关系 条件：ABC ∆沿
DE 折叠使
A ∠在三角形内
二、三角形某角折叠后在三角形外所产生的角度等量关
系 条件：
ABC ∆沿
DE 折叠使
A ∠在三角形外
三、三角形某角折叠后在三角形外所产生的角度等量关系 条件：ABC ∆沿
DE 折叠使
A ∠在三角形外
1．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 和AC 上的点，将△ABC 纸片沿DE 折叠，点
A 落到点F 的位置．如果DF ∥BC ，∠
B ＝60°，∠CEF ＝40°，则∠F ＝ ．
2．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 上一点，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在边BC 上．若∠A ＝55°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ 度．
3．（1）如图①，把△ABC 纸片沿DE 折叠，使点A 落在四边形BCED 内部点A ′的位置．试写出∠A 与∠1+∠2之间的关系，并说明理由；
（2）如果把△ABC 纸片沿DE 折叠，使点A 落在四边形BCED 外部点A ′的位置，如图②所示．此时∠A 与∠1、∠2之间存在什么样的关系？直接写出 ．
（3）如果把四边形ABCD 沿EF 折叠，使点A 、D 分别落在四边形BCFE 内部点A ′、D ′的位置，如图③所示．直接写出∠A ′、∠D ′、∠1与∠2之间的关系 ．
三角形的角平分线模型
一、三条内角角平分线的交点与两个顶点连线的夹角=2
1
900
剩余角 条件：BP 、CP 是任意△ABC 中∠B 、∠C 的角平分线
结论：
二、外角平分线所成夹角=
2
1
剩余角 条件：B D 是∠A BC 的角平分线,CD 是△A BC 的外角平分线
结论：
三、两个角的外角平分线的交点与这两个角的顶点连线的夹角=2
1
900
剩余角 条件：已知△ABC 的∠B 和∠C 的外角平分线交于D
结论： 【练习】
1．如图,在三角形A BC 中,∠A=42°,∠ABC 和∠ACB 的三等分线分别交于D 、E, 求∠BDC 的度数
2．如图，在△ABC 中，∠A ＝α，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1，∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得∠A 2，…，∠A 2013BC 的平分线与∠A 2013CD 的平分线交于点A 2014，得∠A 2014CD ，则∠A 2014＝ ．
4．如图，BP 、CP 是任意△ABC 中∠B 、∠C 的角平分线，可知∠BPC ＝90°+
∠A ，把图中的△ABC 变成图中的四边形ABCD ，
BP ，CP 仍然是∠B ，∠C 的平分线，猜想∠BPC 与∠A 、∠D 的数量关系是 ．
平行倒角
【模型实战】阅读材料：如图1，若//AB CD ，则B D BED ∠+∠=∠．
理由：如图，过点E 作//EF AB ，
则B BEF ∠=∠．
因为
//AB CD ， 所以//EF CD ，
所以D DEF ∠=∠，
所以BED BEF DEF
B D =+=+∠∠∠∠∠．
交流：（1）若将点E 移至图2所示的位置，//AB CD ，此时B 、D ∠、E ∠之间有什么关系？请说明理由．
探究：（2）在图3中，//AB CD ，E G +∠∠、B F D ++∠∠∠又有何关系？
应用：（3）在图4中，若
//AB CD ，又得到什么结论？请直接写出该结论．
由简单图形到复杂图形的演变
1．已知：如左图，线段AB 、CD 相交于点O ，连接AD 、CB ，如右图，在左图的条件下，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和
CP 相交于点P ，并且与CD 、AB 分别相交于M 、N ．试解答下列问题：
（1）在左图中，请直接写出∠A 、∠B 、∠C 、∠D 之间的数量关系： ； （2）在右图中，若∠D ＝50°，∠B ＝40°，试求∠P 的度数；（写出解答过程）
（3）如果右图中∠D 和∠B 为任意角，其他条件不变，试写出∠P 与∠D 、∠B 之间数量关系．（直接写出结论）
2．（2019春•常熟市月考）将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置．
（1）如果A′落在四边形BCDE的内部（如图1），∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
（2）如果A′落在四边形BCDE的外部（如图2），这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系？并说明理由．
3．如图，∠AOB＝90°，点C、D分别在射线OA、OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于点F．
（1）当∠OCD＝50°（图1），试求∠F．
（2）当C、D在射线OA、OB上任意移动时（不与点O重合）（图2），∠F的大小是否变化？若变化，请说明理由；
若不变化，求出∠F．
4．（2019春•姑苏区期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，∠C＝60°．
（1）如图1，若∠ADC和∠ABC的平分线交于点O，求∠BOD的度数；
（2）如图2，若∠ABC的平分线与四边形ABCD的外角∠EDC的平分线交于点P，求∠BPD的度数；
（3）如图3，若DG、BH分别是四边形ABCD的外角∠CDE、∠CBF的平分线，判断DG与BH是否平行，并说明理由．
5．（2019春•常熟市期中）在△ABC中，点D为边BC上一点，请回答下列问题：
（1）如图1，若∠DAC＝∠B，△ABC的角平分线CE交AD于点F．试说明∠AEF＝∠AFE；
（2）在（1）的条件下，如图2，△ABC的外角∠ACQ的角平分线CP交BA的延长线于点P，∠P与∠CFD有怎样的数量关系？为什么？
（3）如图3，点P在BA的延长线上，PD交AC于点F，且∠CFD＝∠B，PE平分∠BPD，过点C作CE⊥PE，垂足为E，交PD于点G，试说明CE平分∠ACB．
6．如图，四边形ABCD的内角∠BAD、∠CDA的角平分线交于点E，∠ABC、∠BCD的角平分线交于点F．（1）若∠F＝70°，则∠ABC+∠BCD＝°；∠E＝°；
（2）探索∠E与∠F有怎样的数量关系，并说明理由；
（3）给四边形ABCD添加一个条件，使得∠E＝∠F，所添加的条件为．。