2020-2021学年北师大版高中数学必修一《函数的应用》章末分层突破、考点测评及解析

最新（新课标）北师大版高中数学必修一
章末分层突破
[自我校对]
①指数函数
②对数函数
③幂函数
1. 有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
2. 确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图像研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图像的交点个数定性判断．
设g(x)＝e 2x ＋|e x －a|，x ∈[0，ln
3]，其中a ≤2 2.
(1)当a ＝1时，函数g(x)是否存在零点，若存在，求出所有零点；若不存在，说明理由；
(2)求函数g(x)的最小值．
【精彩点拨】 使用换元法和分类讨论思想求解．
【规范解答】 (1)当a ＝1时，设t ＝e x
(显然t ∈[1,3])，则h(t)＝t 2
＋t －1， 令h(t)＝t 2
＋t －1＝0，解得t ＝－1＋52或t ＝－1－5
2
都不满足t ∈[1,3]，
∴函数g(x)不存在零点．
(2)设t ＝e x ，则h(t)＝t 2＋|t －a|(显然t ∈[1,3])． 当a ≤1时，h(t)＝t 2＋t －a 在区间[1,3]上是增函数， 所以h(x)的最小值为h(1)＝2－a. 当1＜a ≤22时，
h(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧
t 2
－t ＋a (1≤t ≤a )，t 2＋t －a (a ＜t ≤3).
因为函数h(t)在区间(a,3]上是增函数，在区间[1，a]上也是增函数，又函数h(t)在[1,3]上为连续函数，
所以函数h(t)在[1,3]上为增函数， 所以h(t)的最小值为h(1)＝a.
综上可得，当a ≤1时，g(x)的最小值为2－a ； 当1＜a ≤22时，g(x)的最小值为a.
[再练一题]
1. 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧
2x
，x ≥2，
(x －1)3
，x ＜2.
若关于x 的方程f(x)＝k 有两个不同的
实根，则实数k 的取值范围是________. 【导学号：04100081】
【解析】
在同一坐标系中作出f(x)＝⎩⎨⎧
2x
，x ≥2，
(x －1)3
，x ＜2
及y ＝k 的图像(如下图)．
可知，当0＜k ＜1时，y ＝k 与y ＝f(x)的图像有两个交点，即方程f(x)＝k 有两个不同的实根．
【答案】 (0,1)
2. 根据f(a 0)·f(b 0)＜0确定初始区间，高次方程要先确定有几个解，再确定初始区间．
3. 初始区间的选定一般在两个整数间，不同初始区间结果是相同的，但二分的次数相差较大．
4. 取区间中点c ，计算中点函数值f(c)，确定新的零点区间，直到所取区间(a n ，b n )中，a n 与b n 按精度要求取值相等，这个相等的近似值即为所求近似解．
求
3
2的一个近似值．(精度为
0.01)
【精彩点拨】 利用转化与化归思想求解．
【规范解答】 设x ＝3
2，∴x 3－2＝0，令f(x)＝x 3
－2，则f(x)的零点即为3
2的近似值，下面用二分法求解．
由f(1)＝－1＜0，f(2)＝6＞0，可以把初始区间定为[1,2]，用二分法逐次计算，
列表如下：
由于
625]上的任一值皆可看做函数f(x)的零点的近似值，即3
2的一个近似值是1.265
625.
[再练一题]
2. 用二分法求5的近似值．(精度为0.1)
【解】设x＝5，则x2＝5，即x2－5＝0，
令f(x)＝x2－5.
因为f(2.2)＝－0.16＜0.f(2.4)＝0.76＞0，
所以f(2.2)·f(2.4)＜0，
说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x
，
取区间(2.2,2.4)的中点x
1
＝2.3，则f(2.3)＝0.29.
因为f(2.2)·f(2.3)＜0，∴x
∈(2.2,2.3)，
再取区间(2.2,2.3)的中点x
2
＝2.25，
f(2.25)＝0.062 5.
因为f(2.2)·f(2.25)＜0，所以x
∈(2.2,2.25)．由于|2.25－2.2|＝0.05＜0.1，所
以5的近似值可取为2.25.
1.
(1)读题；(2)建模；(3)求解；(4)还原．
其中“建模”是最关键的一步．建模就是将实际问题数学化，准确建模的前提是了解常见的函数模型．
2. 函数是重要的数学模型，对于函数模型的应用，一方面是利用已知的函数模型解决问题；另一方面是根据实际问题建立恰当的函数模型，并利用所得的函数模型解释有关现象，或对发展趋势进行预测．
提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次
函数．
(1)当0≤x ≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x ·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)
【精彩点拨】
【规范解答】 (1)由题意知： 当0≤x ≤20时，v(x)＝60； 当20≤x ≤200时，设v(x)＝ax ＋b ， 由已知得⎩
⎪⎨⎪⎧
200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，
解得⎩⎨⎧
a ＝－13
，
b ＝200
3.
故函数v(x)的表达式为
v(x)＝⎩⎨⎧
60， 0≤x ≤20，1
3(200－x )， 20≤x ≤200.
(2)依题意并由(1)可得
f(x)＝⎩⎨⎧
60x ， 0≤x ≤20，1
3x (200－x )， 20≤x ≤200.
当0≤x ≤20时，f(x)为增函数，
故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；
当20≤x≤200时，
f(x)＝1
3
x(200－x)
＝－1
3
(x－100)2＋
10 000
3
.
所以，当x＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值10 000 3
.
又1 200＜10 000
3
，所以当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值
10 000
3
≈3 333，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．
[再练一题]
3. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：
cm)满足关系：C(x)＝
k
3x＋5
(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8
万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
【解】(1)由题设，每年能源消耗费用C(x)＝
k
3x＋5
，
再由C(0)＝8，得k＝40，
因此C(x)＝
40
3x＋5
.
而建造费用为C
1
(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)＝20C(x)＋C
1(x)＝20×
40
3x＋5
＋6x
＝
800
3x＋5
＋6x(0≤x≤10)．
(2)在f(x)＝
800
3x＋5
＋6x中，
令3x＋5＝t，则3x＝t－5，
∴g(t)＝800
t
＋2t－10＝2
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
t＋
400
t
－10，
∵0≤x≤10，∴t∈[5,35]，由函数的单调性知，g(t)在t∈(0,20]上是减函数，在[20,35]上是增函数，∴g(t)在t＝20时有最小值．
∴当3x＋5＝20，即x＝5时，f(x)
min
＝70.
∴当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元.
在数学上，
多，对于五次以上的一般代数方程．一般的超越方程，以及实际生活和物理研究中的方程，我们只能求它的有理近似解．而将解方程的问题转化为函数的零点的问题，利用函数的整体性质来认识局部性质是求方程近似解的一般方法．解方程实际是求函数的零点，这样指数方程、对数方程等超越方程和五次以上的高次代数方程就可转化为函数零点的求解问题．
试判断方程3x－x2＝0的实数解的个数．
【精彩点拨】像这类含有指数函数、对数函数的方程属于超越方程，无法用公式求出它的解，所以在确定它的解的个数时，只能转化为判断函数图像的交点的个数问题来解决．
【规范解答】法一设函数f(x)＝3x－x2，用计算器作出x，f(x)的对应值表：
<0，f(0)＝1>0.
由表可知，f(－1)＝－
3
又函数的图像是连续的，∴函数在(－1,0)内有零点．
∵f(x)＝3x－x2在(－∞，0)上是增函数，
∴方程在(－1,0)内有一个实数根．
故方程3x－x2＝0只有一个实数解．
法二构造两个函数y＝3x和y＝x2，在同一坐标系内画出函数y＝3x和y＝x2的图像，如图．
由图可知两个函数图像只有一个交点，故方程3x－x2＝0只有一个实数解．[再练一题]
4. 求方程lg x－x2＋4＝0的实根个数．
【解】列表如下：
两个交点，即方程lg x－x2＋4＝0的实根个数为2.
1. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧
2－|x|，x ≤2，
(x －2)2
，x>2，函数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y ＝f(x)－g(x)的零点个数为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 【解析】 当x>2时，g(x)＝x －1，f(x)＝(x －2)2； 当0≤x ≤2时，g(x)＝3－x ，f(x)＝2－x ； 当x<0时，g(x)＝3－x 2，f(x)＝2＋x.
由于函数y ＝f(x)－g(x)的零点个数就是方程f(x)－g(x)＝0的根的个数．
x>2时，方程f(x)－g(x)＝0可化为x 2
－5x ＋5＝0，其根为x ＝5＋5
2
或x ＝
5－5
2
(舍去)； 当0≤x ≤2时，方程f(x)－g(x)＝0可化为2－x ＝3－x ，无解； 当x<0时，方程f(x)－g(x)＝0可化为x 2＋x －1＝0，其根为x ＝－1－5
2
或x ＝－1＋52
(舍去)．
所以函数y ＝f(x)－g(x)的零点个数为2. 【答案】 A
2. 某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( )
【导学号：04100082】
A ．6升
B ．8升
C ．10升
D ．12升
【解析】 因为每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的路程为35 600－35 000＝600(千米)，故每100千米平均耗油量为48÷6＝8(升)．
【答案】 B
3. (2016·天津高考) 已知函数f(x)＝sin 2
ωx 2＋12sin ωx －12
(ω＞0)，x ∈R.
若f(x)在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18
B.⎝
⎛⎦⎥⎤0，14∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫
58，1
C.⎝
⎛⎦⎥⎤0，58
D.⎝
⎛⎦⎥⎤0，18∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，58
【解析】 f(x)＝1－cos ωx 2＋12sin ωx －12＝12(sin ωx －cos ωx)＝
2
2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
ωx －π4.
因为函数f(x)在区间(π，2π)内没有零点， 所以T 2＞2π－π，即π
ω
＞π，所以0＜ω＜1.
当x ∈(π，2π)时，ωx －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ－π4，2ωπ－π4，若函数f(x)在区间(π，
2π)内有零点，则ωπ－
π4＜k π＜2ωπ－π4(k ∈Z)，即k 2＋18＜ω＜k ＋1
4
(k ∈Z)． 当k ＝0时，18＜ω＜14；当k ＝1时，58＜ω＜5
4
.
所以函数f(x)在区间(π，2π)内没有零点时，0＜ω≤18或14≤ω≤5
8.
【答案】 D
4. 若函数f(x)在定义域{x|x ∈R 且x ≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有( )
A ．一个
B ．两个
C ．至少两个
D ．无法判断
【解析】 ∵f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)＝0，故选B. 【答案】 B
5. 若函数f(x)＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是__________． 【解析】 由f(x)＝|2x －2|－b ＝0得|2x －2|＝b.
在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图像，如图所示， 则当0<b<2时，两函数图像有两个交点，从而函数f(x)＝|2x －2|－b 有两个零点．
【答案】 (0,2)
6. 函数f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
＋2x －3，x ≤0，
－2＋ln x ，x>0的零点个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【解析】 令f(x)＝0，得y 1＝x 2，y 2＝3－2x ，其图象如图(1)y 轴左侧，当x>0时，由f(x)＝0，得y 3＝ln x ，y 4＝2，其图象如图(1)y 轴右侧，∴f(x)有2个零
点．
(1) 【答案】 C。