2014吉林省长春市中考数学

2014年吉林省长春市中考数学试卷
（满分120分，考试时间120分钟）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。

）
1.（2014吉林省长春市，1，3分）
1
7
-的相反数是（）
A．1
7
B．
1
7
-C．7 D．-7
【答案】A
2.（2014吉林省长春市，2，3分）下列图形中，是正方体表面展开图的是（）
A．B．C．D．
【答案】C
3. （2014吉林省长春市，3，3分）计算()2
3ab的结果是（）
A．6ab B．2
6a b C．2
9ab D．22
9a b
【答案】D
4. （2014吉林省长春市，4，3分）不等式组
10
36
x
x
+
⎧
⎨
≤
⎩
＞
的解集为（）
A．x≤2B．x＞-1 C．-1＜x≤2D．-1≤x≤2
【答案】C
5. （2014吉林省长春市，5，3分）如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，
∠1=120°，∠2=45°，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转（）A．15°B．30°C．45°D．60°
第（5）题
【答案】A
6. （2014吉林省长春市，6，3分）如图，在⊙O中，AB是直径，BC是弦，点P是BC
⌒上任意一点，若AB=5，BC=3，则AP的长不可能是（）
A． 3 B． 4 C．
9
2
D．5
A
B 第（6）题
【答案】A
7. （2014吉林省长春市，7，3分）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，m）在第一象限.
若点A关于x轴的对称点B在直线y= -x+1上，则m的值为（）
A．-1 B．1 C．2
D．3
第（7）题【答案】B
8.（2014吉林省长春市，8，3分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数
k
y
x
=（k
＞0，x＞0）的图象上，⊙A与x轴相切，⊙B与y轴相切，若点B的坐标为（1，6），⊙A的半径是⊙B的半径的2倍，则点A的坐标为（）
A．(2,2) B．(2,3) C．(3,2) D．
(4,
3
2
)
第（8）题
【答案】C
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
9.（2014吉林省长春市，9，3
= .
10.（2014吉林省长春市，10，3分）为落实“阳光体育”工程，某校计划购买m个篮球和
n个排球，已知篮球每个80元，排球每个60元，购买这些篮球和排球的总费用为元. 【答案】（80m+60n）
11.（2014吉林省长春市，11，3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC
的一条角平分线.若CD=3，则△ABD的面积为.
D C
B
A
第（11）题
【答案】15
12. （2014吉林省长春市，12，3分）如图，在⊙O中，半径OA垂直弦BC于点D，若∠ACB=33°，
则∠OBC的大小为度.
第（12）题
【答案】24
13. （2014吉林省长春市，13，3分）如图，在边长为3的菱形ABCD中，点E在边CD
上，点F为BE延长线与AD延长线的交点，若DE=1,则DF的长为 .
F
E
D
C
B
A
第（13）题
【答案】3 2
14. （2014吉林省长春市，14，3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A
为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线x= -2，点C在抛物线上，且位于点A、B之间（C不与A、B重合）.若△ABC的周长为a，则四边形AOBC 的周长为 .（用含a的式子表示）.
第（14）题
【答案】a+4
三、解答题（本大题共10小题，满分78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. （2014吉林省长春市，15，6分）先化简，再求值：
2
2
9
322
x x x
x x x x
-
-
---
，其中x=10.
【答案】原式=
()()
()
33
322
x x
x x x x x x
+-
-
---
=
3
22 x x x x
+
-
--
=
3
2 x-
当x=10时，原式=
33 1028
=
-
16. （2014吉林省长春市，16，6分）在一个不透明的袋子里装有三个乒乓球，分别标有数
字1，2，3，这些乒乓球除所标数字不同外其余均相同，先从袋子里随机摸出一个乒乓球，记下标号后放回；再从袋子里随机摸出一个乒乓球记下标号，请用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的乒乓球标号乘积是偶数的概率.
【答案】
∴ P (两次摸出的乒乓球标号乘积是偶数)=
59
17.（2014吉林省长春市，17，6分）某文具厂计划加工3000套画图工具，为了尽快完成任
务，实际每天加工画图工具的数量是原计划的1.2倍，结果提前4天完成任务.求该文具厂原计划每天加工这种画图工具的数量
【答案】设该文具厂原计划每天加工x 套这种画图工具，
根据题意，得
30003000
41.2x x
-= 解得：x =125.
经检验，x =125是原方程的解，且符合题意。

答：该文具厂原计划每天加工125套这种画图工具.
18.（2014吉林省长春市，18，7分）如图，为了测量某建筑物的高度AB ，在离该建筑物底
部24米的点C 处，目测建筑物顶端A 处，视线与水平线夹角∠ADE 为39°，目高CD 为1.5米，求建筑物的高度AB .（结果精确到0.1米） 【参考数据：sin39°=0.63，cos39°=0.78，tan39°=0.81】
第（18）题
【答案】由题意知，DE =CB =24，BE =DC =1.5，
在Rt △ADE 中，∠AED =90°，∠ADE =39°
tan ∠ADE =
AE
DE
∴AE =DE ·tan ∠ADE =24·tan39°=24×0.81=19.44. ∴AB =AE +EB =19.44+1.5=20.94≈20.9(米) 答：建筑物AB 的高度约为20.9米.
19. （2014吉林省长春市，19，7分）如图，在□ABCD 中，点O 是对角线AC 、BD 的交点，
点E 是边CD 的中点，点F 在BC 的延长线上，且CF =1
2
BC ，求证：四边形OCFE 是平行四边形.
O
F
E
D
C
B
A
第（19）题
【答案】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴点O 是BD 的中点， 又∵点E 是CD 的中点，
∴OE ∥BC , OE =
12
BC . 又∵CF =1
2
BC ，
∴OE =CF .
∴四边形OCFE 是平行四边形.
20. （2014吉林省长春市，20，7分）某校学生会为了解本校学生每天做作业所用时间情况，
采用问卷的方式对一部分学生进行调查，在确定调查对象时，大家提出以下几种方案：（A ）对各班班长进行调查；（B ）对某班的全体学生进行调查；（C ）从全校每班随机抽取5名学生进行调查.在问卷调查时，每位被调查的学生都选择了问卷中适合自己的一个时间.学生会将收集到的数据整理后绘制成如下的条形统计图.
第（20）题
（1）为了使收集到的数据具有代表性，学生会在确定调查对象时选择了方案 . （填A 、B 或C ）
（2）被调查的学生每天做作业所用时间的众数为 小时.
（3）根据以上统计结果，估计该校800名学生中每天做作业用1.5小时的人数. 【答案】 （1）C
（2）1.5 （3）800×
38
304152738137
=++++(人).
所以该校800名学生中每天做作业用1.5小时的约有304人.
21.（2014吉林省长春市，21，8分）甲、乙两支清雪队同时开始清理某路段积雪，一段时
间后，乙队被调往别处，甲队又用了3小时完成了剩余的清雪任务，已知甲队每小时的清雪量保持不变，乙队每小时清雪50吨，甲、乙两队在此路段的清雪总量y （吨）与清雪时间x （时）之间的函数图象如图所示.
（1） 乙队调离时，甲、乙两队已完成的清雪总量为 吨.
O
F
E D
C
B A
（2）求此次任务的清雪总量m.
（3）求乙队调离后y与x之间的函数关系式.
第（21）题
【答案】解：（1）乙队调离时，甲、乙两队已完成的清雪总量为270 吨.
（2）乙队调离之前，甲、乙两队每小时的清雪总量为270
3
=90（吨）.
乙队每小时清雪50吨.
∴甲队每小时的清雪总量为90-50=40..
∴m=270+40×3=390.
∴此次任务的清雪总量为390吨.
（3）由（2）知，点B的坐标为（6，390）.
设乙队调离后y与x之间的函数关系式为y=kx+b (k≠0).
∵图象经过点A（3,270），B（6，390）.
∴
3270,
6390.
k b
k b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
解得
40,
150.
k
b
=
⎧
⎨
=
⎩
∴乙队离队后y与x之间的函数关系式为y=40x+150.
22.（2014吉林省长春市，22，9分）
探究：如图①，在△ABC中，AB=AC,∠ABC=60°，延长BA到点D,延长CB至点E,使BE=AD，连结CD、AE，求证：△ACE≌△CBD.
应用：如图②，在菱形ABCF中，∠ABC=60°，延长BA到点D,延长CB至点E,使BE=AD，连结CD、AE,延长EA交CD于点G.求∠CGE的度数.
图①图②
第（22）题
【答案】解：
探究：如图①，AB =AC ，∠ABC =60°， ∴△ABC 是等边三角形.
∴BC =AB =AC , ∠ACB =∠ABC . 又∵BE =AD .
∴BE +BC =AD +AB 即CE =BD
∴△ACE ≌△CBD .
图①
应用：如图②，连结AC
易知△ABC 是等边三角形 由探究可知，△ACE ≌△CBD . ∴∠E =∠D
又∵∠BAE =∠DAG
∴∠E +∠BAE =∠D +∠DAG ∴∠ABC =∠CGE 又∵∠ABC =60° ∴∠CGE =60°
图②
23. （2014吉林省长春市，23，10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2
y x bx c
=++经过点（1，-1），且对称轴为直线x =2，点P 、Q 均在抛物线上，点P 位于对称轴右侧，点Q 位于对称轴左侧，P A 垂直对称轴于点A ，QB 垂直对称轴于点B ，且QB =P A +1，设点P 的横坐标为m .
（1） 求这条抛物线所对应的函数关系式. （2） 求点Q 的坐标（用含m 的式子表示）. （3） 请探究P A +QB =AB 是否成立，并说明理由.
（4） 抛物线2111y a x b x c =++（10a ≠）经过Q 、B 、P 三点，若其对称轴把四边
形P AQB 分成面积比为1: 5的两部分，直接写出此时m 的值
.
【答案】解：
（1）∵抛物线2y x bx c =++经过点（1，-1），且对称轴为直线x =2，
∴11,
2.2
b c b ++=-⎧⎪
⎨-=⎪⎩ 解得4,2.b c =-⎧⎨=⎩
∴这条抛物线所对应的函数关系式为242y x x =-+ （2）由题意知，P (m ，2
42m m -+) ∴P A =m -2
∴QB =P A +1= m -2+1=m -1
∴Q 点的横坐标为2-（m -1）=3-m
∴Q 点的纵坐标为()()2
3432m m ---+=2
21m m --
∴Q （3-m ，2
21m m --） （3）成立
理由如下：
∵P (m ，2
42m m -+)，Q （3-m ，2
21m m --） ∴A (2，2
42m m -+)，B （2，2
21m m --） ∴AB =(2
21m m --)-(2
42m m -+)=2m -3 又 ∵ P A =m -2，QB =m -1 ∴P A +QB = m -2+m -1=2m -3 ∴P A +QB = AB （4）如图①，
图①
设抛物线2111y a x b x c =++（10a ≠）的对称轴分别交AQ 、QB 于点N 、M ， ∵MN 把四边形P AQB 分成面积比为1: 5的两部分， ∴S △QMN =
1
6
S 梯形P AQB ∴
12·QM·MN=16·1
2
· (QB+AP) ·AB
∴12
·12QB·12AB =16·12
· (QB+AP) ·AB 整理得：QB =2P A ∵QB =P A +1 ∴P A =1 ∴m -2=1 ∴m =3
24. （2014吉林省长春市，24，12分）如图，在矩形ABCD 中，AB =4，BC =3，点O 为对
角线BD 的中点，点P 从点A 出发，沿折线AD-DO -OC 以每秒一个单位长度的速度向终点C 运动，当点P 与点A 不重合时，过点P 作PQ ⊥AB 于点Q ，以PQ 为边向右作正方形PQMN ，设正方形PQMN 与△ABD 重叠部分的面积为S （平方单位），点P 运动的时间为t (秒).
（1） 求点N 落在BD 上时t 的值.
（2） 直接写出点O 在正方形PQMN 内部时t 的取值范围.
（3） 当点P 在折线AO -DO 上运动时，求S 与t 之间的函数关系式. （4） 直接写出直线DN 平分△BCD 的面积时t 的值.
第（24）题
【答案】解：
（1）当点N 落在BD 上时，如图①.
图①
PN=P A=t，DP=3
4
PN=
3
4
t .
∴t+3
4
t =3 .
解得t=12 7
∴当t=12
7
时，点N落在BD上.
（2）当点O落在MN边上时，如图②
图②
此时，AP=AM=1
2
AB=2，∴t=2
当点O落在PQ边上时，如图③
图③
此时，AD+DP=3+5
2
=
11
2
，∴t=
11
2
∴当点O在正方形PQMN内部时t的取值范围是2＜t＜11 2
.
（3）当0＜t≤12
7
时，如图④.
图④
S =S 正方形PQMN =2
PA =2
t . 当
12
7
＜t ≤3时，如图⑤.
图⑤
S =S 正方形PQMN ―S △NFE =2t -
12747-3-3434t t ⎛⎫⎛⎫
⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=2
25-
7624
t t +-. 当3＜t ≤11
2
时，如图⑥.
图⑥
S =S 梯形PQME =
()()()1333
8-8-8-22055
t t t ⎡⎤+⨯⎢⎥⎣⎦ =
()2
9840
t - =291872-+4055
t t
（4）作BC的中点E点，连结DE，如图⑦
.
图⑦∵DN平分△BCD的面积，∴点N在DE上.
作NG⊥AD于点G，EH⊥AD于点H，
∵GN∥HE, ∴△DGN∽△DHE，
∴G N D G
H E D H
=，其中，HE=AB=4，DH=CE=
1
2
BC=
3
2
设正方形的边长为m，则DG=AD-MN=3-m，
∴
3-
3
4
2
GN m
=（1）
①当点P在线段AD上时，如图⑧
.
图⑧此时，GN=AM=m，
代入（1）得，
3-
3
4
2
m m =，
解得m=24 11
.
∴AP=24 11
，
∴t=24 11
.
②当点P在线段DO上时，如图⑨.
图⑨
此时，GN=AM=AQ+QM=(AB-QB)+QM=4-4
3
PQ+QM=4-
1
3
m，
代入（1）得，
1
4-3-
3
3
4
2
m m
=，
解得m=12 7
.
∴AD+DP=3+AQ×5
4
=
36
7
，
∴t=36 7
.
③当点P在线段OC上时，如图⑩.
图⑩
此时，GN=AM=2+
34
23
m
⎛⎫
-⨯
⎪
⎝⎭
+m=
7
3
m，
代入（1）得，17
3-
3
3
4
2
m m
=，
解得m=8 5 .
∴AD+DO+OP=3+5
2
+
1
6
=
17
3
，
∴t=17 3
.
24 11或t=
36
7
或t=
17
3
.
∴当直线DN平分△BCD的面积时，t=。