人教A版必修四 二倍角的正弦、余弦、正切公式 第三课时 教案

人教A 版必修四 二倍角的正弦、余弦、正切公式 第三课时 教案
（一）复习：
1．二倍角公式
sin 22sin cos ααα=
22cos2cos sin ααα=-222cos 112sin αα=-=-
22tan tan 21tan α
αα=-
2．降幂公式：
2221cos 21cos 21cos 2sin ,cos ,tan 221cos 2α
α
α
αααα-+-===+ ．
（二）新课讲解：
例1．已知223sin 2sin 1αβ+=，3sin 22sin 20αβ-=，且，β为锐角，试求2αβ+的值。

解：∵223sin 2sin 1αβ+=， ∴23sin cos2αβ= ①
又∵3sin 22sin 20αβ-=， ∴3sin cos sin 2ααβ= ②
①②，得： tan cot 2αβ=tan(2)2π
β=-， 又∵02π
α<<，02π
β<< ∴02π
α<<，2222π
π
π
β-<-<， ∴22π
αβ=-， 从而22π
αβ+=．
例2．已知sin θ，sin 2x ，cos θ成等差数列，sin θ，sin x ，cos θ成等比数列，求cos 2x 的值。

解：由已知条件得：
2sin 2sin cos x θθ=+，2sin sin cos x θθ=，
∴224sin 212sin cos 12sin x x θθ=+=+，
224(1cos 2)(12sin )2cos22x x x -=--+=-+，
24cos 2cos 220x x --=，
解得： cos 2x =
∵221cos212sin 12sin cos (sin cos )0x x θθθθ≥=-=-=-≥，
所以，1cos 28x =．
例3．求证：333
sin 3cos cos3sin sin 44ααααα⋅+⋅=．
证明：左边22sin3cos cos cos3sin sin αααααα=+
1cos 21cos 2sin 3cos cos3sin 22αα
αααα+-
=+
1
1
(sin 3cos cos3sin )cos 2(sin 3cos cos3sin )22ααααααααα++-=
1
1
sin 4cos 2sin 222ααα=+
3
sin 44α=右边．
所以，原式成立。

例4．已知：090αβ<<< ，sin α与sin β是方程221
40)cos 4002x x -+-= 的
两个根，求cos(2)αβ-的值。

解：∵方程221
40)cos 4002x x -+-= 的两个根为
12,x =
=404022=± sin(4540)=± ．
∴1sin5x = ，2sin85x = 且由090αβ<<< 得：5α= ， 85β=
．
所以，cos(2)cos(1085)cos75αβ-=-==
五．小结：倍角公式在求值，证明题中的应用。

六．作业：
补充：1．设(tan )tan 2f x x =，求(2)f ；
2．已知：1
tan 22αβ+=，求2cos2cos2cos ()αβαβ--的值；
3．求66
cos sin 88π
π-； 4．求值sin 20(cot 5tan 5)1cos 20
-⋅+
； 5．求证：
cos sin 2(cos sin )1sin 1cos 1sin cos αααααααα
--=++++．。