高中数学 第一章 集合 1.2 第1课时 子集、真子集学案 苏教版必修1(2021年最新整理)

2018版高中数学第一章集合1.2 第1课时子集、真子集学案苏教版必修1
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1．2 第1课时子集、真子集
1．理解集合间包含与相等的含义、能识别给定集合间是否有包含关系．（重点）2．能通过分析元素的特点判断集合间的关系．(难点)
3．能根据集合间的关系确定一些参数的取值．(难点、易错点）
［基础·初探]
教材整理1 子集的概念及其性质
阅读教材P8开始至例1，完成下列问题．
1．子集
定义如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集
符号
表示
A⊆B(或B⊇A）
读法集合A包含于集合B（或集合B包含集合A)
图示
2
（1)A⊆A，即任何一个集合是它本身的子集．
（2）∅⊆A，即空集是任何集合的子集．
（3）若A⊆B,B⊆C，则A⊆C，即子集具备传递性．
3．集合相等
若A⊆B且B⊆A，则A＝B.
1．判断(正确的打“√” ，错误的打“×")
(1）{2，3}⊆｛x|x2－5x＋6＝0｝．( )
（2）∅⊆｛0}．（）
(3)∅⊆{∅｝．（)
【解析】(1)x2－5x＋6＝0的根为x＝2，3，故（1）正确．因∅是任何集合的子集，故(2）（3）正确．
【答案】（1)√(2)√(3)√
2．｛1,a}⊆{1,2，3}，则a＝________.
【解析】因为｛1，a｝⊆{1，2,3｝，所以a必定是集合｛1，2,3｝中的一个元素，故a ＝2或3.
【答案】2或3
教材整理2 真子集的概念及性质
阅读教材P8例1后一段至P9第一行，完成下列问题．
1．真子集的概念
如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记为A B或B A,读作“A真包含于B”或“B真包含A"．
2．性质
(1)∅是任一非空集合的真子集．
（2）若A B，B C，则A C.
集合A＝｛x|x2－1＝0}，B＝{－1，0,1}，则A与B的关系是________．
【解析】∵x2－1＝0，∴x＝±1,∴A＝{1,－1}．
显然A B.
【答案】A B
[小组合作型］
集合关系的判断
指出下列各对集合之间的关系:
（1）A＝{－1，1｝，B＝{x∈N｜x2＝1｝；
（2）A＝｛－1，1｝，B＝｛（－1，－1），(－1,1)，(1，－1），（1，1）}；
（3)P＝{x｜x＝2n，n∈Z}，Q＝{x｜x＝2(n－1)，n∈Z}；
(4）A＝{x|x是等边三角形｝，B＝{x|x是三角形｝;
（5)A＝{x｜－1<x<4},B＝｛x｜x－5〈0｝．
【精彩点拨】分析集合中元素及元素的特征，用子集、真子集及集合相等的概念进行判断．
【自主解答】（1）用列举法表示集合B＝｛1｝，故B A.
（2)集合A的代表元素是数,集合B的代表元素是实数对,故A与B之间无包含关系．（3)∵Q中n∈Z，∴n－1∈Z,Q与P都表示偶数集,
∴P＝Q。

（4）等边三角形是三边相等的三角形，故A B。

(5）集合B＝｛x｜x<5｝，用数轴表示集合A，B,如图所示，由图可发现A B.
判断两个集合A，B的关系，应由集合中元素入手，依据集合间关系的定义得出结论．由A B可推出A⊆B，但由A⊆B推不出A B。

[再练一题］
1．下列各组的集合中，两个集合之间具有包含关系的是________，其中A为S真子集的是________．(填序号)
（1)S＝{－2，－1,1,2｝,A＝｛－1,1｝；
（2)S＝R，A＝{x｜x≤0,x∈R｝；
(3)S＝｛x|x为江苏人｝，A＝｛x|x为中国人｝．
【解析】(1）中A⊆S,且A S；（2)中A⊆S且A S；(3)中S⊆A且S A。

【答案】（1)(2）（3）（1)(2)
有关子集个数的计数
问题
（1）写出集合M＝{1，2，3｝的子集，并说明其中真子集的个数为多少．（2）若集合｛1，2｝⊆M{1,2，3，4}，试写出满足条件的所有的集合M。

【精彩点拨】对于确定子集或(个数）的题目,可以将子集逐一列举出来再计数．
【自主解答】（1）按子集中包含元素的个数来写：
含元素个数子集子集个数
0∅1
1｛1｝｛2｝{3｝3
2{1,2｝{1，3｝{2，3}3
3{1，2,3}1
（2)M中必有1，2两个元素，但3,4可以没有，也可以只有一个，但不能两个都在M中．M的可能情况为｛1,2}，｛1,2,3｝，｛1,2，4｝．
1．求解有限集合的子集问题，关键有三点
（1)确定所求集合；
（2）合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出;
(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．
2．一般地,若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个,非空真子集有2n－2个．
［再练一题］
2．集合M满足｛4，5｝⊆M⊆｛1,2,3,4，5｝，则这样的M共有________个。

【解析】易知M中必含有4，5两个元素，但1,2，3可有可无,故M的个数与｛1,2，3}的子集的个数相同,共8个．
【答案】8个
［探究共研型］
集合之间的包含关
系
探究1 A⊆B N⊆M成立吗？
【提示】A⊆B表示集合A中所有的元素都在集合B中．借助数轴表示出M,N两集合，易见N⊆M.
探究2 若集合M＝{x｜x≤1｝，N＝｛x|x<1｝，则M⊆N成立吗?
【提示】不成立，因为1∈M但1∉N,故M⊆N错误．
探究3 集合M＝｛x|2a〈x〈a＋1｝可能是空集吗？此时a应满足什么条件？
【提示】M可以是空集，此时只需要2a≥a＋1，即a≥1.
已知集合A＝｛x|－3≤x≤4}，B＝｛x｜2m－1〈x〈m＋1},且B⊆A,求实数m的取值范围．
【精彩点拨】讨论集合B→列关于m的不等式(组)→求m的取值范围
【自主解答】∵B⊆A,
（1)当B＝∅时，m＋1≤2m－1,解得m≥2。

(2）当B≠∅时，有错误!
解得－1≤m<2，
综上得m≥－1.
1．对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围（值）时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答．
2．两个易错点
（1)当B⊆A时，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论；
（2）列不等关系式时,应注意等号是否成立．
[再练一题]
3．已知集合A＝｛x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值集合．
【解】（1）若B＝∅，则m＋1>2m－1,即m〈2，此时，总有B⊆A，故m〈2。

(2）若B≠∅，则m＋1≤2m－1，
即m≥2。

由B⊆A,得错误!解得－3≤m≤3,
故得2≤m≤3.
综合（1）(2)可知m的取值集合是{m|m≤3｝。

1．设x，y∈R,A＝{（x,y）|y＝x},B＝错误!，则A，B的关系是________．
【解析】∵B＝错误!＝｛(x，y）|y＝x，且x≠0}，故B A.
【答案】B A
2．集合A＝｛－1，0,1｝的子集中，含有元素0的子集共有________个
【解析】根据子集定义，集合A的子集为∅，｛－1}，{0}，{1}，{－1，0｝，｛－1,1｝,｛0,1｝，｛－1，0,1}，显然含有元素0的子集共有4个.
【答案】4
3．已知集合A＝｛0，1,2｝，B＝{1，m}．若B⊆A，则实数m的值是________．
【解析】因为B⊆A,那么m∈{0，2}，所以m的值是0或2.
【答案】0或2
4．满足条件｛1,2，3}M｛1,2，3,4,5，6}的集合M的个数是________.
【解析】集合M可以是{1，2,3,4｝，{1，2，3,5｝,｛1,2，3,6｝，{1，2,3，4,5｝，{1,2，3,4，6}，{1,2,3,5,6｝．
【答案】6
5．已知集合A＝{1,3，－x3}，B＝｛x＋2,1｝，是否存在实数x，使得B是A的子集?若存在，求出集合A，B；若不存在,请说明理由．
【解】因为B是A的子集,
所以B中元素必是A中的元素,
若x＋2＝3，则x＝1,符合题意．
若x＋2＝－x3,则x3＋x＋2＝0，
所以（x＋1）(x2－x＋2)＝0.
因为x2－x＋2≠0，所以x＋1＝0，所以x＝－1,
此时x＋2＝1，集合B中的元素不满足互异性．
综上所述，存在实数x＝1,使得B是A的子集，此时A＝｛1，3,－1｝，B＝{1,3}．。