湖北省巴东一中高二数学教案必修四任意角的三角函数

1.2.1任意角的三角函数(一)
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；（4）掌握并能初步运用公式一；（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.
2、过程与方法
初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题，总结方法，巩固练习.
3、情态与价值
任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值”来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突，而且“比值”需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解.
本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系.
二、教学重、难点
重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.
难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.
三、学法与教学用具
任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系.
另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，
这就为后续内容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了.
教学用具:投影机、三角板、圆规、计算器
四、教学设想
第一课时任意角的三角函数（一）
【创设情境】
提问：锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示？y
P（a，b）
r
错误!未找到引用源。

借助右图直角三角形，复习回顾.
数,
你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?
如图,设锐角错误!未找到引用源。

的顶点与原点错误!未找到引用源。

重合,始边与错误!未找到引用源。

轴的正半轴重合,那
么它的终边在第一象限.在错误!未找到引用源。

的终边上任取一点错误!未找到引用源。

,它与原点的距离错误!未找到引用源。

.过错误!未找到引用源。

作错误!未找到引用源。

轴的垂线,垂足为错误!未找到引用源。

,则线段错误!未找到引用源。

的长度为错误!未找到引用源。

,线段错误!未找到引用源。

的长度为错误!未找到引用源。

.则错误!未找到引用源。

;
错误!未找到引用源。

; 错误!未找到引用源。

.
思考：对于确定的角错误!未找到引用源。

，这三个比值是否会随点错误!未找到引用源。

在错误!未找到引用源。

的终边上的位置的改变而改变呢？
显然，我们可以将点取在使线段错误!未找到引用源。

的长错误!未找到引用源。

的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：
错误!未找到引用源。

; 错误!未找到引用源。

; 错误!未找到引用源。

. 思考：上述锐角错误!未找到引用源。

的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数. 【探究新知】
1.探究:结合上述锐角错误!未找到引用源。

的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?
显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点错误!未找到引用源。

为圆心,以单位长度为半径的圆.
2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?
如图,设错误!未找到引用源。

是一个任意角,它的终边与单位圆交于点错误!未找到引用
源。

,那么:
(1)错误!未找到引用源。

叫做错误!未找到引用源。

的正弦(sine),记做错误!未找到引用
源。

,即错误!未找到引用源。

；
（2）错误!未找到引用源。

叫做错误!未找到引用源。

的余弦(cossine),记做错误!未找到引用源。

,即错误!未找到引用源。

；
（3）
错误!未找到引用源。

叫做错误!未找到引用源。

的正切(tangent),记做错误!未找到
引用源。

,即
错误!未找到引用源。

.
注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点错误!未找到引用源。

，从而就必然能够最终算出三角函数值.
3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?
前面我们已经知道,三角函数的值与点错误!未找到引用源。

在终边上的位置无关，仅与
角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离
错误!未找到引用源。

,那么
错误!未找到引用源。

,错误!未找到引用源。

,
错误!未找到引用源。

.所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.
4.例题讲评
例1.求
错误!未找到引用源。

的正弦、余弦和正切值.
例2．已知角错误!未找到引用源。

的终边过点
错误!未找到引用源。

，求角错误!未找到引用源。

的正弦、余弦和正切值.
教材给出这两个例题，主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其他方法:
如例2:设错误!未找到引用源。

则
错误!未找到引用源。

.
于是
错误!未找到引用源。

,
错误!未找到引用源。

,
错误!未找到引用源。

.
5.巩固练习
错误!未找到引用源。

第1,2,3题
6.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：
7．例题讲评
例3．求证：当且仅当不等式组
错误!未找到引用源。

成立时，角错误!未找到引用源。

为第三象限角.
8.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系?
显然: 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:
错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

(其中错误!未找到引用源。

)
错误!未找到引用源。

9.例题讲评
例4.确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证:
(1)错误!未找到引用源。

; (2)
错误!未找到引用源。

; (3)错误!未找到引用源。

; (4)错误!未找到引用源。

例5.求下列三角函数值:
(1)错误!未找到引用源。

; (2)
错误!未找到引用源。

; (3)
错误!未找到引用源。

利用公式一,可以把求任意角的三角函数值, 转化为求错误!未找到引用源。

到错误!未找
到引用源。

(或错误!未找到引用源。

到错误!未找到引用源。

)角的三角函数值. 另外可以直接利用计算器求三角函数值,但要注意角度制的问题.
10.巩固练习
第4,5,6,7题
错误!未找到引用源。

11.学习小结
(1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同?
(2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗?
(3)请写出各三角函数的定义域；
(4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗?
五、评价设计
1．作业：习题1.2 A组第1,2题．
2．比较角概念推广以后,三角函数定义的变化.思考公式一的本质是什么?要做到熟练应用.另外,关于三角函数值在各象限的符号要熟练掌握,知道推导方法.
第二课时任意角的三角函数（二）
【复习回顾】
1、三角函数的定义；
2、三角函数在各象限角的符号；
3、三角函数在轴上角的值；
4、诱导公式（一）：终边相同的角的同一三角函数的值相等；
5、三角函数的定义域.
要求：记忆.并指出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，所以，凡是碰到轴上角时，要结合定义进行分析；并要求在理解的基础上记忆.
【探究新知】
1．引入：角是一个图形概念，也是一个数量概念（弧度数）.作为角的函数——三角函数是一个数量概念（比值），但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢？
2．[边描述边画]以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）.当角错误!
错误!未找到引用源。

，过点错误!未找到引用源。

作错误!未找到
引用源。

轴交错误!未找到引用源。

轴于点错误!未找到引用源。

，
则请你观察:
根据三角函数的定义：错误!未找到引用源。

；错误!未找到引
用源。

随着错误!未找到引用源。

在第一象限内转动，错误!未找到引用源。

、错误!未找到引用源。

是否也跟着变化？
3．思考：（1）为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段错误!未找到引用源。

、错误!未找到引用源。

规定一个适当的方向，使它们的取值与点错误!未找到引用源。

的坐标一致？
（2）你能借助单位圆，找到一条如错误!未找到引用源。

、错误!未找到引用源。

一样的
线段来表示角错误!未找到引用源。

的正切值吗？
我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角错误!未找到引用源。

的终边不在坐标轴时,以错误!未找到引用源。

为始点、错误!未找到引用源。

为终点，规定：当线段错误!未找到引用源。

与错误!未找到引用源。

轴同向时，错误!未找到引用源。

的方向为正向，且有正值错误!未找到引用源。

；当线段错误!未找到引用源。

与错误!未找到引用源。

轴反向时，错误!未找到引用源。

的方向为负向，且有正值错误!未找到引用源。

；其中错误!未找到引用源。

为错误!未找到引用源。

点的横坐标.这样,无论那种情况都有
错误!未找到引用源。

同理,当角错误!未找到引用源。

的终边不在错误!未找到引用源。

轴上时,以错误!未找到引用源。

为始点、错误!未找到引用源。

为终点，规定：
当线段错误!未找到引用源。

与错误!未找到引用源。

轴同向时，错误!未找到引用源。

的方向为正向，且有正值错误!未找到引用源。

；当线段错误!未找到引用源。

与错误!未找到引
用源。

轴反向
时，错误!未找到引用源。

的方向为负向，且有正值错误!未找到引用源。

；其中错误!未找到
引用源。

为错误!未找到引用源。

点的横坐标.这样,无论那种情况都有
错误!未找到引用源。

4.像错误!未找到引用源。

这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段（direct line segment）.
5.如何用有向线段来表示角错误!未找到引用源。

的正切呢?
如上图,过点错误!未找到引用源。

作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与错误!未找到引用源。

的终边交于点错误!未找到引用源。

,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段错误!未找到引用源。

,我们有
错误!未找到引用源。

我们把这三条与单位圆有关的有向线段错误!未找到引用源。

,分别叫做角错误!未找到引用源。

的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.
6.探究：（1）当角错误!未找到引用源。

的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？
（2）当错误!未找到引用源。

的终边与错误!未找到引用源。

轴或错误!未找到引用源。

轴重合时，又是怎样的情形呢？
7.例题讲解
例1．已知错误!未找到引用源。

，试比较错误!未找到引用源。

的大小.
处理:师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质. 8.练习错误!未找到引用源。

第1,2,3,4题
9学习小结
(1)了解有向线段的概念.
(2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角错误!未找到引用源。

的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.
(3)体会三角函数线的简单应用. 【评价设计】
1． 作业：
比较下列各三角函数值的大小(不能使用计算器)
(1)错误!未找到引用源。

、错误!未找到引用源。

（2）错误!未找到引用源。

、错误!未找到引用源。

（3）
错误!未找到引用源。

、错误!未找到引用源。

2．练习三角函数线的作图.
1.2.2同角三角函数的基本关系
一、教学目标：
1、知识与技能
(1) 使学生掌握同角三角函数的基本关系；(2)已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；(3)利用同角三角函数关系式化简三角函数式；(4)利用同角三角函数关系式证明三角恒等式；（5）牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；（6）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；（7）掌握恒等式证明的一般方法.
2、过程与方法
由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三角函数之间的关系；学习已知一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；利用同角三角函数关系式化简三角函数式；利用同角三角函数关系式证明三角恒等式等.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.
3、情态与价值
通过本节的学习，牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；进一步树立化归思想方法和证明三角恒等式的一般方法.
二、教学重、难点
的推导及运用：（1）已知某任重点：公式错误!未找到引用源。

及
错误!未找到引用源。

意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；（2）化简三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式.
难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式.
三、学法与教学用具
利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式: 错误!未找到引用源。

及
错误!
,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,证明三角恒等式等.
未找到引用源。

教学用具:圆规、三角板、投影
四、教学设想
【创设情境】
与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．Array【探究新知】
1.探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何
性质出发,讨论一
下同一个角不同三角函数之间的关系吗?
如图:以正弦线错误!未找到引用源。

,余弦线错误!未找到引用源。

和半
径错误!未找到引用源。

三者的长构成直角三角形,而且错误!未找到引用源。

.由勾股定理由错误!未找到引用源。

,因此错误!未找到引用源。

,即错误!未找到引用源。

.
根据三角函数的定义,当
错误!未找到引用源。

时,有
错误!未找到引用源。

.
这就是说,同一个角错误!未找到引用源。

的正弦、余弦的平方等于1，商等于角错误!未
找到引用源。

的正切.
2.例题讲评
例6.已知
错误!未找到引用源。

,求错误!未找到引用源。

的值.
错误!未找到引用源。

三者知一求二,熟练掌握.
3. 巩固练习
错误!未找到引用源。

页第1,2,3题
4.例题讲评
例7.求证:
错误!未找到引用源。

.
通过本例题,总结证明一个三角恒等式的方法步骤.
5.巩固练习
错误!未找到引用源。

页第4,5题
6.学习小结
（1）同角三角函数的关系式的前提是“同角”，因此错误!未找到引用源。

，
错误!未找到引用源。

．
（2）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．
五、评价设计
(1)作业：习题1.2A组第10,13题.
(2)熟练掌握记忆同角三角函数的关系式,试将关系式变形等,得到其他几个常用的关
系式;注意三角恒等式的证明方法与步骤.。