2019年人教版高中数学必修二课件：1.3空间几何体的表面积与体积2

的距离为:d= R 2 r 2 .
【跟踪训练】
1.直径为6的球的表面积和体积分别是
A.144π ，144π C.36π ，144π B.144π ，36π D.36π ，36π
(
)
【解析】选D.由题意得，球的半径r=3，根据球的
表面积和体积公式可得:球的表面积为S=4π r2=
4π ×32=36π ，球的体积为V= 4 π r3= 4 π ×33=36π .
【解题指南】(1)正方体的体对角线的长即为外接球
的直径. (2)根据球的直径等于圆柱的高和圆柱的底面直径求
解.
【解析】(1)设正方体棱长为a，则6a2=18⇒a2=3 ，外
接球直径为2R= 答案: 9
2 V r (2)设球半径为r，则 1 2r 3 . 4 3 V2 2 r 3 答案: 3 2
体或过球心作截面.
【跟踪训练】
1.(2018·恩施高一检测)《九章算术》是我国古代内 容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有阳
马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思
为:“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱
锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问
它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱 锥的外接球的表面积为 ( )
3 3 3
(2)选D.球中，V 4 R 3 4 ( D )3 D3 k1D3，
所以k1= ;
6
3
3
2
6
等边圆柱中，V ( D )2 D D3 k 2 D3， 所以k2= ;
2 4 4
正方体中，V=D3=k3D3，所以k3=1;
3 6 所以k1∶k2∶k3= ∶ ∶1=1∶ ∶ . 6 2 4
【对点训练】
1.已知球O的表面积为16π ，则球O的体积为
(
)
4 A. 3
8 B. 3
16 C. 3
32 D. 3
【解析】选D.因为球O的表面积是16π ，所以球O的半
径为2，所以球O的体积为 4 23 32 .
3 3
2.如果一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都
3 3
2.(2018·重庆高二检测)若球的体积与其表面积数值
相等，则球的大圆(过球心的圆)面积等于
A.π B.3π C.6π D.9π
(
)
【解析】选D.由题意得: 4 π R3=4π R2，所以R=3，
3
则球的大圆面积等于9π .
【补偿训练】 如图所示，某几何体的三视图是三个半径均为1的 圆，且每个圆中的直径垂直，则它的体积为 ( )
心的距离为球半径的一半，且AB=BC=CA=2，求球的表 面积和体积.
【解析】设球心为O，截面圆心为O′，连结O′A， 设球半径为R， 则O′A= 2 3 2 2 3 ，
3 2 3
在Rt△O′OA中，OA2=O′A2+O′O2，
4 所以R2= ( 2 3 )2 1 R2，所以R= ，
A. 6
B. 3
4 C. 3
2 D. 3
【解析】选D.由题意可知几何体是一个球，
被2个经过球心的垂直平面所截，上面保留
2个相对的
1 的球体，下部保留2个相对 8
1 的 的球体，剩余几何体的体积是原几何体的一 8 2 3 2 半， 1 . 3 3
类型二
与球有关的组合体的体积、表面积问题
1.3.2 球的体积和表面积
主题
球的体积和表面积
1.底面半径和高都是R的圆锥和圆柱的体积分别是什
么？根据这些你猜想半球的体积是什么？
提示:圆锥的体积V= 1π R3，
3
圆柱的体积V=π R3，
猜想半球的体积V= 2 π R3.
3
2.如图，以“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥
体”近似地看成棱锥，那么这些小棱锥的底面和高近
4 A. 3
(
32 B. 3
)
32 2 C. 3 64 D. 3
(2)17世纪日本数学家们对于数学关于体积方法的 问题还不了解，他们将体积公式“V=kD3”中的常 数k称为“立圆术”或“玉积率”，创用了求“玉 积率”的独特方法“会玉术”，其中，D为直径， 类似地，对于等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱叫 做等边圆柱)、正方体也有类似的体积公式V=kD3，
(2)由已知中的三视图可得:该几何体上部是一个半球,
下部是一个四棱锥,半球的直径为棱锥的底面对角线, 设球半径为R,由棱锥的底面边长为1,可得2R= 2 .故
R= 2 ,故半球的体积为: 2 ( 2 )3 2 ， 棱锥的底面
1 面积为1,高为1,故棱锥的体积V= ,故组合体的体积 3 1 2 为 3 + π. 6
是半径等于5的圆，那么这个空间几何体的表面积等
于 ( )
100 B. 3
A.100π
C.25π
25 D. 3
【解析】选A.易知该几何体为球，半径为5，则表面
积为S=4π R2=100π .
类型一
球的体积和表面积的计算
【典例1】(1)已知球面上有A，B，C三点，且AB=AC = 2 ，BC=2，球心到平面ABC的距离为 3 ，则球的 体积为
形，球心到截面ABC的距离正好是球心到BC中点的距
离，从而求出半径，即可求得球的体积. (2)根据球、等边圆柱、正方体的体积公式分别求出
k1，k2，k3的值，即得结论.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【解析】(1)选B.由AB=AC= 2 ，BC=2，可得∠BAC=
90°，又由球心到截面ABC的距离为 3 ，正好是球心
到BC的中点的距离，所以球的半径为R= 12 32 =2， 所以球的体积为V= 4 R 3 4 23 32 .
其中，在等边圆柱中，D表示底面圆的直径;在正方体 中，D表示棱长.假设运用此“会玉术”求得的球、等
边圆柱、正方体的“玉积率”分别为k1，k2，k3，那
么，k1∶k2∶k3= (
A. ∶ ∶1 4 6 C.1∶3∶12
)
B. ∶ ∶2 4 6 3 6 D.1∶ ∶ 2
【解题指南】(1)根据条件可得三角形ABC为直角三角
的底面圆内，若正方体棱长为 6 ，求球的表面积和 体积.
【解析】作轴截面如图所示， CC 6，AC 2 6 2 3，
设球半径为R，则R2=OC2+CC′2=( 3 )2+( 6 )2=9， 所以R=3，所以S球=4π R2=36π ，V球= 4 π R3=36π .
3
【补偿训练】已知过球面上A，B，C三点的截面和球
【典例3】(1)(2017·天津高考)已知一个正方体的所
有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18， 则这个球的体积为 ________.
(2)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、
下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1，球O的
V1 体积为V2，则 的值是__________. V2
A.142π 平方尺
C.138π 平方尺
B.140π 平方尺
D.128π 平方尺
【解析】选C.可以把该四棱锥补成一个长方体，长、
宽分别为7尺和5尺，高为8尺，四棱锥的外接球就是 长方体的外接球，其直径为 72 52 82 138 尺，
所以表面积为138π 平方尺.
2.半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球
【跟踪训练】 1.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ( )
5 A. 6
5 B. 3
1 C. 3
2 1 D. 3
【解析】选C.此几何体是由四分之一球和三棱锥组合
而成，球的半径是1，三棱锥的底面是等腰直角三角
1 形，斜边为2，三棱锥的高是1，则V= π r 3+ 1 × 3 3 1 ×2×1×1= 1 . 2 3 3
4 3 4 27 9 3a 3，V R . 3 3 8 2
2
【方法总结】常见的几何体与球的切、接问题的解决
策略 (1)解决球与几何体的切、接问题的关键是根据“切
点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为
平面问题来计算.
(2)具体作法
①内切球问题:找过切点和球心的截面. ②外接球问题:由球心和几何体顶点抽象得出新几何
【方法总结】求球的体积与表面积的策略
(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过
条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解. (2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，
计算球的表面积或体积的相关题目也就简单了.
球的截面特点
(1)当截面过球心时，截面圆的半径即为球的半径.
(2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面. (3)若球的半径为R，截面圆半径为r，则球心到截面
【解题指南】(1)分别求出两部分的体积求比值. (2)由三视图确定半球、四棱锥中的有关量，再利用
体积公式求解.
【解析】(1)选C.由图可知半球的半径为2，所以半球
的体积为: 1 4 23 16 ，圆锥的底面半径为2，
8 1 2 高为2，所以圆锥的体积为: ×π ×2 ×2= π . 3 3 则剩余部分的体积为: 16 8 8 . 3 3 3 8 挖去部分的体积为 π .所求体积比为:1∶1. 3 2 3 3
【典例2】(1)(2018·张掖高一检测)如图为一个半球
挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖 去部分的体积之比为 ( )
A.3∶1
B.2∶1
C.1∶1
D.1∶2
(2)(2018·天津高一检测)由一个半球和四棱锥组成的 几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为 __________.
似地看成什么？它们的体积之和近似地等于多少？
提示:小棱锥的底面可近似地看成小平面四边形面，
高近似地等于半径，体积之和近似地等于球的体积.
结论:球的表面积及体积公式:
4 3 R 1.球的体积公式:V= _____ (R为球的半径). 3
2 4 π R 2.球的表面积公式:S=_____ (R为球的半径).
2.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的
是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
(
)
A.
16 3
11 B. 2
C.
17 3
D.
35 6
【解析】选A.由三视图可知该几何体是一个组合体:
1 在一个半球上叠加一个 圆锥，且挖掉一个相同的 4 1 圆锥，所以该几何体的体积和半球的体积相等， 4 2 16 因此该几何体的体积V= r 3 . 3 3
3
所以S=4πR2=
64 256 4 π，V= πR3= π. 9 81 3
4
3
【知识思维导图】
2
3
2
6
1 答案: + 2π 3 6
【方法总结】解决与球有关的组合体问题的解题技巧
(1)与球有关的组合体问题:解题时要认真分析图形， 明确切点位置，明确有关元素间的数量关系，并且作 出合适的截面图. (2)球与旋转体的组合，通过作它们的轴截面解题. (3)球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球 心、切点或接点作出截面图.