3.1.3 组合和组合数( 组合和组合数的性质)(课件)高二数学(人教B版2019选择性必修第二册)
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的选择方式？
对于（1），可分为两步：第一步，完成（2）中的事情，即选择两所学校；
第二步，讲选出的学校进行全排列（有22 种方法）.因为（1）的答案为23 ，
所以如果设问题（2）的答案是x，那么就能得到
23 =x22
从而得到 =
23
.
22
二 组合数
组合数的定义
从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取
这个问题可以用我们本节所学的组合知识来解。
03 新知探索
一、组合
【尝试与发现】下面这两个问题的答案一样吗？
（1）小张要在三所大学中选择2所，分别作为自己的第一志愿和第二志愿，校长
共有多少种不同的选择方式？
（2）小张要在三所大学中选择2所，作为自己的努力的目标，小张有多少种不同
的选择方式？
选择合适的符号，分别表示出上述两题中所有的选择方式，并总结两者之间
02 新知导入
02 新知导入
【情境与问题】
高考不分文理科后，思想整理、历史、地理、物理、化学、生物这6科是选考的，
考生可以从中任选3科作为自己的高考科目，那么选考的组合方式一共有多少种
可能得情况呢？
如果用{思想政治、地理、历史}表示其中一种选考组合，你能用类似的方法表示
出所有的组合方式吗？你有更简单的表示方法吗？
【答案】D
D．5或7
四 课堂练习
【练习3】某校拟从2名教师和4名学生共6名党史知识学习优秀者中随机选取3名
，组成代表队，参加市党史知识竞赛，则要求代表队中既有教师又有学生的选法
共有
种．
【答案】16
四 课堂练习
【练习4】
【解析】
四 课堂练习
【练习5】
【解析】
05 课堂总结
05 课堂总结
1.知识清单：
(1)从10人中选4人①参加座谈会；②分赴四地搞调查．共有多少种不同的选法
？
(2)从1，2，3，4，5，6中任取两数①构成对数或指数；②相加或相乘．可得到
多少个不同的数？
(3)三个人互相①问好；②送礼品．共有多少种不同的方法？
(4)由正四面体4个顶点①可形成多少个向量；②形成多少对异面直线．
一、组合
二 组合数
注意
(1)Cnm 中m≤n，且 m，n∈N＋；
(2)组合数公式的展开式中分子是从n开始m个正整数相乘，分母是m的阶乘.
二、组合数
【例2】 已知Cn2 ＝10，则n=
【解析】
。
n(n－1)
2
由Cn ＝
＝10，得n2－n－20＝0，解得n＝5或n＝－4(舍).
2×1
二、组合数
【练习2】（1） 7C63－4C74的值为________．
A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作
B．从1、2、3、4这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数
C．从全班同学中选出3名同学参加学校运动会开幕式
D．从全班同学中选出2名同学分别担任班长、副班长
【答案】C
四 课堂练习
+2
2−5
【练习2】已知12
=12
，则可能取值为（ ）
A．4 B．4 C．6或7
【解析】①从10名教师中选2名去参加会议的选法数，就是从10个不同的元素中
2
取出2个元素的组合数，因此不同的选法有10
=
10×9
＝45(种)．
2×1
②从6名男教师中选2名的选法有62 种，从4名女教师中选2名的选法有42 种，根
据分步乘法计数原理，因此共有不同的选法62 42 ＝90(种)．
(1)组合与组合数的定义.
(2)排列与组合的区别与联系.
(3)组合数的计算与证明.
(4)组合数公式的简单应用.
2.方法归纳：枚举法、公式法.
3.常见误区：分不清“排列”还是“组合”.
06 作业布置
3.1.3 基本计数原理（第1课时）（分层练习）
高二数学
第三章 排列、组合和二项式定理
3.1.3 组合和组合数
第1课时 组合和组合数的性质
高二选择性必修第二册（2019人教B版）
01 学习目标
01 学习目标
1.理解组合数的定义，正确认识组合和排列的区别和联系。（重点）
2.掌握组合数公式并会用组合数公式进行计算.（难点）
核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算
的关系。
一、组合
排列的定义
一般地，从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象并成一组，称为从n个不同对象中
取出m个对象的一个组合．
一、组合
注意：排列和组合的关系
相同点
两者都是从n个对象中取出m（m≤n）个对象
不同点
排列问题中对象有顺序，组合问题中对象没有顺序。
一、组合
【例1】 判断下列问题是排列还是组合问题．
出m个对象的组合数，用符号 表示．
组合数公式
组合数性质
（1）
=
（1） = −
(−1)…[−(−1)]
（2） = =
×(−1)×⋯×2×1
!
(−)!!
规定：0 =1
=
+1
（2）+1 + =+1
(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？
【解析】由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案种数为
��
＝12 376.
三 组合数公式的简单应用
（ 2 ） 如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少
种方式做这件事情？
【解析】分两步
一、从17人中选11人上场，共
种选法；
二、从选出的11人中选出一人做守门员，有种 选法；
所以，共
=136136种选法。
三 组合数公式的简单应用
【练习3】现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．
①现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？
②现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？
【解析】 (1)①是组合问题，②是排列问题．
(2)①是排列问题，②是组合问题．
(3)①②都是排列问题．
(4)①是排列问题，②是组合问题．
一、组合
【练习1】 判断下列问题是排列还是组合问题．
（1）四支足球队进行单循环比赛，共需要多少场比赛？
无排序，是组合。
（2）四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？
(2)计算
时常用公式
=
!
.
(−)!!
=
(−)…[−(−)]
有关的问题时常用公式
=
.证明与
×(−)×⋯××
三 组合数公式的简单应用
【 例 3 】 一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛.
按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人.问：
6×5×4
7×6×5
－4×
＝140－140＝0.
3×2×1
3×2×1
【解析】7C63－4C74＝7C63－4C73＝7×
二、组合数
【练习2】（2）
【解析】
二、组合数
【练习2】（3）
【解析】
二、组合数
【练习2】（4）
【解析】
二 组合数
总结：
(1)在涉及
时，要充分运用(或要时刻注意)m≤n且m∈N，n∈N*来解题．
有排序，是排列。
（3）从全班同学里选出三人去打扫卫生。
无排序，是组合。
（4）从全班同学里选出三人，分别扫地、拖地、擦黑板。
有排序，是排列。
二、组合数
回顾尝试与发现中的问题
（1）小张要在三所大学中选择2所，分别作为自己的第一志愿和第二志愿，校长
共有多少种不同的选择方ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ？
（2）小张要在三所大学中选择2所，作为自己的努力的目标，小张有多少种不同
总结
解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的
根本区别在于排列问题与取出的元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的
顺序无关.其次要注意两个基本计数原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在
分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏.
04 课堂练习
四 课堂练习
【练习1】下列四个问题属于组合问题的是（ ）
对于（1），可分为两步：第一步，完成（2）中的事情，即选择两所学校；
第二步，讲选出的学校进行全排列（有22 种方法）.因为（1）的答案为23 ，
所以如果设问题（2）的答案是x，那么就能得到
23 =x22
从而得到 =
23
.
22
二 组合数
组合数的定义
从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取
这个问题可以用我们本节所学的组合知识来解。
03 新知探索
一、组合
【尝试与发现】下面这两个问题的答案一样吗？
（1）小张要在三所大学中选择2所，分别作为自己的第一志愿和第二志愿，校长
共有多少种不同的选择方式？
（2）小张要在三所大学中选择2所，作为自己的努力的目标，小张有多少种不同
的选择方式？
选择合适的符号，分别表示出上述两题中所有的选择方式，并总结两者之间
02 新知导入
02 新知导入
【情境与问题】
高考不分文理科后，思想整理、历史、地理、物理、化学、生物这6科是选考的，
考生可以从中任选3科作为自己的高考科目，那么选考的组合方式一共有多少种
可能得情况呢？
如果用{思想政治、地理、历史}表示其中一种选考组合，你能用类似的方法表示
出所有的组合方式吗？你有更简单的表示方法吗？
【答案】D
D．5或7
四 课堂练习
【练习3】某校拟从2名教师和4名学生共6名党史知识学习优秀者中随机选取3名
，组成代表队，参加市党史知识竞赛，则要求代表队中既有教师又有学生的选法
共有
种．
【答案】16
四 课堂练习
【练习4】
【解析】
四 课堂练习
【练习5】
【解析】
05 课堂总结
05 课堂总结
1.知识清单：
(1)从10人中选4人①参加座谈会；②分赴四地搞调查．共有多少种不同的选法
？
(2)从1，2，3，4，5，6中任取两数①构成对数或指数；②相加或相乘．可得到
多少个不同的数？
(3)三个人互相①问好；②送礼品．共有多少种不同的方法？
(4)由正四面体4个顶点①可形成多少个向量；②形成多少对异面直线．
一、组合
二 组合数
注意
(1)Cnm 中m≤n，且 m，n∈N＋；
(2)组合数公式的展开式中分子是从n开始m个正整数相乘，分母是m的阶乘.
二、组合数
【例2】 已知Cn2 ＝10，则n=
【解析】
。
n(n－1)
2
由Cn ＝
＝10，得n2－n－20＝0，解得n＝5或n＝－4(舍).
2×1
二、组合数
【练习2】（1） 7C63－4C74的值为________．
A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作
B．从1、2、3、4这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数
C．从全班同学中选出3名同学参加学校运动会开幕式
D．从全班同学中选出2名同学分别担任班长、副班长
【答案】C
四 课堂练习
+2
2−5
【练习2】已知12
=12
，则可能取值为（ ）
A．4 B．4 C．6或7
【解析】①从10名教师中选2名去参加会议的选法数，就是从10个不同的元素中
2
取出2个元素的组合数，因此不同的选法有10
=
10×9
＝45(种)．
2×1
②从6名男教师中选2名的选法有62 种，从4名女教师中选2名的选法有42 种，根
据分步乘法计数原理，因此共有不同的选法62 42 ＝90(种)．
(1)组合与组合数的定义.
(2)排列与组合的区别与联系.
(3)组合数的计算与证明.
(4)组合数公式的简单应用.
2.方法归纳：枚举法、公式法.
3.常见误区：分不清“排列”还是“组合”.
06 作业布置
3.1.3 基本计数原理（第1课时）（分层练习）
高二数学
第三章 排列、组合和二项式定理
3.1.3 组合和组合数
第1课时 组合和组合数的性质
高二选择性必修第二册（2019人教B版）
01 学习目标
01 学习目标
1.理解组合数的定义，正确认识组合和排列的区别和联系。（重点）
2.掌握组合数公式并会用组合数公式进行计算.（难点）
核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算
的关系。
一、组合
排列的定义
一般地，从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象并成一组，称为从n个不同对象中
取出m个对象的一个组合．
一、组合
注意：排列和组合的关系
相同点
两者都是从n个对象中取出m（m≤n）个对象
不同点
排列问题中对象有顺序，组合问题中对象没有顺序。
一、组合
【例1】 判断下列问题是排列还是组合问题．
出m个对象的组合数，用符号 表示．
组合数公式
组合数性质
（1）
=
（1） = −
(−1)…[−(−1)]
（2） = =
×(−1)×⋯×2×1
!
(−)!!
规定：0 =1
=
+1
（2）+1 + =+1
(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？
【解析】由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案种数为
��
＝12 376.
三 组合数公式的简单应用
（ 2 ） 如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少
种方式做这件事情？
【解析】分两步
一、从17人中选11人上场，共
种选法；
二、从选出的11人中选出一人做守门员，有种 选法；
所以，共
=136136种选法。
三 组合数公式的简单应用
【练习3】现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．
①现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？
②现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？
【解析】 (1)①是组合问题，②是排列问题．
(2)①是排列问题，②是组合问题．
(3)①②都是排列问题．
(4)①是排列问题，②是组合问题．
一、组合
【练习1】 判断下列问题是排列还是组合问题．
（1）四支足球队进行单循环比赛，共需要多少场比赛？
无排序，是组合。
（2）四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？
(2)计算
时常用公式
=
!
.
(−)!!
=
(−)…[−(−)]
有关的问题时常用公式
=
.证明与
×(−)×⋯××
三 组合数公式的简单应用
【 例 3 】 一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛.
按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人.问：
6×5×4
7×6×5
－4×
＝140－140＝0.
3×2×1
3×2×1
【解析】7C63－4C74＝7C63－4C73＝7×
二、组合数
【练习2】（2）
【解析】
二、组合数
【练习2】（3）
【解析】
二、组合数
【练习2】（4）
【解析】
二 组合数
总结：
(1)在涉及
时，要充分运用(或要时刻注意)m≤n且m∈N，n∈N*来解题．
有排序，是排列。
（3）从全班同学里选出三人去打扫卫生。
无排序，是组合。
（4）从全班同学里选出三人，分别扫地、拖地、擦黑板。
有排序，是排列。
二、组合数
回顾尝试与发现中的问题
（1）小张要在三所大学中选择2所，分别作为自己的第一志愿和第二志愿，校长
共有多少种不同的选择方ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ？
（2）小张要在三所大学中选择2所，作为自己的努力的目标，小张有多少种不同
总结
解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的
根本区别在于排列问题与取出的元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的
顺序无关.其次要注意两个基本计数原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在
分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏.
04 课堂练习
四 课堂练习
【练习1】下列四个问题属于组合问题的是（ ）