2014-2015年山东省青岛市高三(上)期末数学试卷(文科)及参考答案
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2014-2015学年山东省青岛市高三(上)期末数学试卷(文科)
一、选择题:本题共10个小题,每小题5分,共50分;在每小题给出的四个
选项只有一个是符合题目要求的.
1.(5分)已知集合M={y|y=3﹣x2,x∈R},N={x|y=},则M∩(∁U N)=()
A.(﹣∞,0)B.[0,3)C.(0,3]D.∅
2.(5分)若复数是纯虚数,则实数a的值为()
A.2B.﹣C.﹣2D.﹣1
3.(5分)圆(x﹣1)2+y2=1和圆x2+y2+2x+4y﹣4=0的位置关系为()A.相交B.相切
C.相离D.以上都有可能
4.(5分)已知函数f(x)=e|lnx|,则函数y=f(x+1)的大致图象为()A.B.
C.D.
5.(5分)下列命题:
①k>4是方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示圆的充要条件;
②把y=sinx的图象向右平移单位,再保持纵坐标不变,横坐标变为原来的,
得到函数y=sin(2x﹣)的图象;
③函数f(x)=sin(2x+)在[0,]上为增函数;
④椭圆+=1的焦距为2,则实数m的值等于5.
其中正确命题的序号为()
A.①③④B.②③④C.②④D.②
6.(5分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()
A.2B.C.D.
7.(5分)如果执行如图的程序框图,那么输出的值是()
A.2016B.2C.D.﹣1
8.(5分)函数f(x)=ln(x+1)﹣(x>0)的零点所在的大致区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,e)D.(3,4)9.(5分)已知x>0,y>0,若恒成立,则实数m的取值范围是()
A.m≥4或m≤﹣2B.m≥2或m≤﹣4C.﹣2<m<4
D.﹣4<m<2
10.(5分)已知函数f(x+1)是偶函数,当1<x1<x2时,[f(x2)﹣f(x1)](x2﹣x1)>0恒成立,设a=f(﹣),b=f(2),c=f(3),则a,b,c的大小关系为()
A.b<a<c B.c<b<a C.b<c<a D.a<b<c
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11.(5分)设非负实数x,y满足x﹣y+1≥0且3x+y﹣3≤0,则z=4x+y的最大值为.
12.(5分)观察式子1+<,1++<,1+++<…则可归纳出关于正整数n(n∈N*,n≥2)的式子为.
13.(5分)椭圆+=1与双曲线﹣=1有公共的焦点F1,F2,则双曲线的渐近线方程为.
14.(5分)若平面向量=(log2x,﹣1),=(log2x,2+log2x),则•<0的实数x的集合为.
15.(5分)f(x)=ax3﹣x2+x+1在(﹣∞,+∞)上恒为单调递增函数,则实数a的取值范围.
三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明
过程或演算步骤.
16.(12分)已知直线两直线l1:xcosα+y﹣1=0;l2:y=xsin(α+),△ABC 中,内角A,B,C对边分别为a,b,c,a=2,c=4,且当α=A时,两直线恰好相互垂直;
(Ⅰ)求A值;
(Ⅱ)求b和△ABC的面积.
17.(12分)如图为某校语言类专业N名毕业生的综合测评成绩(百分制)分布直方图,已知80~90分数段的学员数为21人.
(Ⅰ)求该专业毕业总人数N和90~95分数段内的人数n;
(Ⅱ)现欲将90~95分数段内的n名人分配到几所学校,从中安排2人到甲学校去,若n人中仅有两名男生,求安排结果至少有一名男生的概率.
18.(12分)如图,ABCD为梯形,PD⊥平面ABCD,AB∥CD,∠BAD=∠ADC=90°,DC=2AB=2a,DA=a,PD=a,E为BC中点
(Ⅰ)求证:平面PBC⊥平面PDE;
(Ⅱ)线段PC上是否存在一点F,使PA∥平面BDF?若有,请找出具体位置,并进行证明;若无,请分析说明理由.
19.(12分)已知S n是等差数列{a n}的前n项和,数列{b n}是等比数列,b1=,
a 5﹣1恰为S4与的等比中项,圆C:(x﹣2n)2+(y﹣)2=2n2,直线l:
x+y=n,对任意n∈N*,直线l都与圆C相切.
(Ⅰ)求数列{a n},{b n}的通项公式;
(Ⅱ)若对任意n∈N*,c n=a n b n,求{c n}的前n项和T n的值.
20.(13分)已知g(x)=bx2+cx+1,f(x)=x2+ax﹣lnx+1,g(x)在x=1处的切线为y=2x
(Ⅰ)求b,c的值;
(Ⅱ)若a=﹣1,求f(x)的极值;
(Ⅲ)设h(x)=f(x)﹣g(x),是否存在实数a,当x∈(0,e],(e≈2.718,为自然常数)时,函数h(x)的最小值为3.
21.(14分)已知抛物线C1:y2=2px(p>0)的焦点F以及椭圆C2:的
上、下焦点及左、右顶点均在圆O:x2+y2=1上.
(Ⅰ)求抛物线C1和椭圆C2的标准方程;
(Ⅱ)过点F的直线交抛物线C1于A、B两不同点,交y轴于点N,已知
,求证:λ1+λ2为定值.
(Ⅲ)直线l交椭圆C2于P、Q两不同点,P、Q在x轴的射影分别为P′、Q′,
,若点S满足:,证明:点S在椭圆C2上.
2014-2015学年山东省青岛市高三(上)期末数学试卷(文
科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本题共10个小题,每小题5分,共50分;在每小题给出的四个
选项只有一个是符合题目要求的.
1.(5分)已知集合M={y|y=3﹣x2,x∈R},N={x|y=},则M∩(∁U N)=()
A.(﹣∞,0)B.[0,3)C.(0,3]D.∅
【解答】解:M={y|y=3﹣x2,x∈R}={y|y≤3},N={x|y=}={x|x≤0},则∁U N={x|x>0},
即M∩(∁U N)={x|0<x≤3},
故选:C.
2.(5分)若复数是纯虚数,则实数a的值为()
A.2B.﹣C.﹣2D.﹣1
【解答】解:∵=是纯虚数,
∴,解得:a=﹣2.
故选:C.
3.(5分)圆(x﹣1)2+y2=1和圆x2+y2+2x+4y﹣4=0的位置关系为()A.相交B.相切
C.相离D.以上都有可能
【解答】解:圆x2+y2+2x+4y﹣4=0的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=9,
则圆心为A(﹣1,﹣2).半径r=3,
则圆(x﹣1)2+y2=1的圆心坐标为B(1,0),半径R=1,
则AB==,
则3﹣1<AB<3+1,
即两圆相交,
故选:A.
4.(5分)已知函数f(x)=e|lnx|,则函数y=f(x+1)的大致图象为()A.B.
C.D.
【解答】解:f(x)=e|lnx|=,f(x)的图象如图:
函数y=f(x+1)可由函数y=f(x)的图象向左平移1个单位得到,
选项D对应的图象为函数f(x)平移后的图象,
故选:D.
5.(5分)下列命题:
①k>4是方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示圆的充要条件;
②把y=sinx的图象向右平移单位,再保持纵坐标不变,横坐标变为原来的,
得到函数y=sin(2x﹣)的图象;
③函数f(x)=sin(2x+)在[0,]上为增函数;
④椭圆+=1的焦距为2,则实数m的值等于5.
其中正确命题的序号为()
A.①③④B.②③④C.②④D.②
【解答】解:①方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0化为(x+k)2+(y+2)2=k2﹣3k﹣8,由k2﹣3k﹣4>0,解得k>4或k<﹣1,
因此k>4或k<﹣1是方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示圆的充要条件,因此不正确;
②把y=sinx的图象向右平移单位可得y=,再保持纵坐标不变,横
坐标变为原来的,得到函数y=sin(2x﹣)的图象,正确;
③x∈[0,],可得∈,因此函数f(x)=sin(2x+)
在[0,]上不为增函数,不正确;
④椭圆+=1的焦距为2,则4﹣m=1或m﹣4=1,解得m=3或5.因此不正
确.
综上可得:只有②正确.
故选:D.
6.(5分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()
A.2B.C.D.
【解答】解:由图可知该几何体是一个四棱锥
其底面是一个对角线为2的正方形,面积S=×2×2=2,高为1
则V==
故选:C.
7.(5分)如果执行如图的程序框图,那么输出的值是()
A.2016B.2C.D.﹣1
【解答】解:执行程序框图,可得
S=2,k=0
满足条件k<2016,S=﹣1,k=1
满足条件k<2016,S=,k=2
满足条件k<2016,S=2,k=3
满足条件k<2016,S=﹣1,k=4
…
观察可知S的取值周期为3,由2016=672×3
满足条件k<2016,S=,k=2015
满足条件k<2016,S=2,k=2016
不满足条件k<2016,退出循环,输出S的值为2.
故选:B.
8.(5分)函数f(x)=ln(x+1)﹣(x>0)的零点所在的大致区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,e)D.(3,4)
【解答】解:由于函数f(x)=ln(x+1)﹣(x>0)在其定义域(0,+∞)上是增函数,f(1)=ln2﹣2<0,f(2)=ln3﹣1>0,
∴f(1)•f(2)<0,故函数f(x)=ln(x+1)﹣(x>0)的零点所在的大致区间是(1,2),
故选:B.
9.(5分)已知x>0,y>0,若恒成立,则实数m的取值范围是()
A.m≥4或m≤﹣2B.m≥2或m≤﹣4C.﹣2<m<4
D.﹣4<m<2
【解答】解:≥2=8
若恒成立,则使8>m2+2m恒成立,
∴m2+2m<8,求得﹣4<m<2
故选:D.
10.(5分)已知函数f(x+1)是偶函数,当1<x1<x2时,[f(x2)﹣f(x1)](x2﹣x1)>0恒成立,设a=f(﹣),b=f(2),c=f(3),则a,b,c的大小关系为()
A.b<a<c B.c<b<a C.b<c<a D.a<b<c
【解答】解:解:∵当1<x1<x2时,[f(x2)﹣f(x1)](x2﹣x1)>0恒成立,∴当1<x1<x2时,f (x2)﹣f (x1)>0,
即f (x2)>f (x1),
∴函数f(x)在(1,+∞)上为单调增函数,
∵f(1+x)=f(1﹣x),
∴函数f(x)关于x=1对称,
∴a=f(﹣)=f(),
又函数f(x)在(1,+∞)上为单调增函数,
∴f(2)<f()<f(3),
即f(2)<f(﹣)=<f(3),
∴a,b,c的大小关系为b<a<c.
故选:A.
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11.(5分)设非负实数x,y满足x﹣y+1≥0且3x+y﹣3≤0,则z=4x+y的最大值为4.
【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:
由z=4x+y得y=﹣4x+z,平移直线y=﹣4x+z,由图象可知当直线经过点A(1,0)时,直线的截距最大,此时z最大,
代入z=4x+y得最大值为z=4.
故答案为:4
12.(5分)观察式子1+<,1++<,1+++<…则可归纳出关于正整数n(n∈N*,n≥2)的式子为1++…+<.
【解答】解:根据规律,左边是正整数n的平方的倒数和,右边是分子是正奇数,分母是正整数n,
可以猜想的结论为:当n∈N且n≥2时,恒有1++…+<.
故答案为:1++…+<
13.(5分)椭圆+=1与双曲线﹣=1有公共的焦点F1,F2,则双曲线的渐近线方程为y=x.
【解答】解:椭圆+=1的焦点为(±2,0),
则双曲线的c=2,
即有3+b2=4,解得,b=1.
则双曲线﹣y2=1的渐近线方程为y=x.
故答案为:y=x.
14.(5分)若平面向量=(log2x,﹣1),=(log2x,2+log2x),则•<0的实数x的集合为(,4).
【解答】解:∵•=﹣﹣2<0,
∴(﹣2)(+1)<0,
∴﹣1<<2,
∴<x<4,
故答案为:(,4).
15.(5分)f(x)=ax3﹣x2+x+1在(﹣∞,+∞)上恒为单调递增函数,则实数a的取值范围[1,+∞).
【解答】解:∵函数f(x)=ax3﹣x2+x+1在(﹣∞,+∞)上单调递增,
∴f′(x)=3ax2﹣2x+≥0,在x∈R恒成立,
∴a>0,△=4﹣4×3a×≤0,
∴a≥1,
故答案为:[1,+∞).
三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明
过程或演算步骤.
16.(12分)已知直线两直线l1:xcosα+y﹣1=0;l2:y=xsin(α+),△ABC 中,内角A,B,C对边分别为a,b,c,a=2,c=4,且当α=A时,两直线
恰好相互垂直;
(Ⅰ)求A值;
(Ⅱ)求b和△ABC的面积.
【解答】解:(Ⅰ)当α=A时,直线l1:xcosα+y﹣1=0;l2:y=xsin(α+)的斜率分别为k1=﹣2cosA,k2=sin(A+),
∵两直线相互垂直,
∴k1k2=﹣2cosAsin(A+)=﹣1,即cosAsin(A+)=,
整理得:cosA(sinA+cosA)=,即sinAcosA+cos2A=,
化简得:sin2A+=,即sin2A+cos2A=sin(2A+)=,
∵0<A<π,即0<2A<2π,
∴<2A+<,
∴2A+=,即A=;
(Ⅱ)∵a=2,c=4,A=,
∴由余弦定理得:a2=b2+c2﹣2bccos,即12=b2+16﹣4b,
解得:b=2,
=bcsinA=×4×2×=2.
则S
△ABC
17.(12分)如图为某校语言类专业N名毕业生的综合测评成绩(百分制)分布直方图,已知80~90分数段的学员数为21人.
(Ⅰ)求该专业毕业总人数N和90~95分数段内的人数n;
(Ⅱ)现欲将90~95分数段内的n名人分配到几所学校,从中安排2人到甲学校去,若n人中仅有两名男生,求安排结果至少有一名男生的概率.
【解答】解:(Ⅰ)80~90分数段频率为P1=(0.04+0.03)×5=0.35,
此分数段的学员总数为21人所以毕业生,
的总人数N为N==60,
90~95分数段内的人数频率为P1=1﹣(0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01)×5=0.1所以90~95分数段内的人数n=60×0.1=6,
(Ⅱ)90~95分数段内的6人中有两名男生,4名女生
设男生为1,2;女生为3,4,5,6,设安排结果中至少有一名男生为事件A
从中取两名毕业生的所有情况(基本事件空间)为12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56共15种组合方式,
每种组合发生的可能性是相同的,其中,至少有一名男生的种数为12,13,14,15,16,23,24,25,26共9种
所以,P(A)==
18.(12分)如图,ABCD为梯形,PD⊥平面ABCD,AB∥CD,∠BAD=∠ADC=90°,DC=2AB=2a,DA=a,PD=a,E为BC中点
(Ⅰ)求证:平面PBC⊥平面PDE;
(Ⅱ)线段PC上是否存在一点F,使PA∥平面BDF?若有,请找出具体位置,并进行证明;若无,请分析说明理由.
【解答】(本小题满分12分)
(Ⅰ)证明:连结BD,∠BAD=∠ADC=90°,AB=a,DA=,
所以BD=DC=2a,E为BC中点,
所以BC⊥DE,…(3分)
又因为PD⊥平面ABCD,所以BC⊥PD,
因为DE∩PD=D,…(4分),所以BC⊥平面PDE,…(5分)
因为BC⊂平面PBC,所以平面PBC⊥平面PDE.…(6分)
(Ⅱ)解:当点F位于PC三分之一分点(靠近P点)时,
PA∥平面BDF,…(7分)
连结AC,BD交于O点,AB∥CD,所以△AOB∽△COD,AB=DC,
所以△CPA中,AO=AC,…(10分)
而PF=,所以OF∥PA,…(11分)
而OF⊂平面BDF,PA⊄平面BDF,
所以PA∥平面BDF.…(12分)
19.(12分)已知S n是等差数列{a n}的前n项和,数列{b n}是等比数列,b1=,
a 5﹣1恰为S4与的等比中项,圆C:(x﹣2n)2+(y﹣)2=2n2,直线l:
x+y=n,对任意n∈N*,直线l都与圆C相切.
(Ⅰ)求数列{a n},{b n}的通项公式;
(Ⅱ)若对任意n∈N*,c n=a n b n,求{c n}的前n项和T n的值.
【解答】解:(Ⅰ)圆C:(x﹣2n)2+(y﹣)2=2n2的圆心为(),半径为,对任意n∈N*,直线l:x+y=n都与圆C:(x﹣2n)2+(y﹣)
2=2n2相切.
∴圆心()到直线l:x+y﹣n=0的距离d为.
∴,得.
∴,n∈N*,
当n=1时,a1=S1=1;
当n≥2时,.
综上,对任意n∈N*,a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣1.
设等比数列{b n}的公比为q,∴,
a5﹣1恰为S4与的等比中项,a5=9,S6=16,,
∴,解得.
∴;
(Ⅱ)∵,
∴.
两式相减得.
即:.
=.
=
∴.
20.(13分)已知g(x)=bx2+cx+1,f(x)=x2+ax﹣lnx+1,g(x)在x=1处的切线为y=2x
(Ⅰ)求b,c的值;
(Ⅱ)若a=﹣1,求f(x)的极值;
(Ⅲ)设h(x)=f(x)﹣g(x),是否存在实数a,当x∈(0,e],(e≈2.718,为自然常数)时,函数h(x)的最小值为3.
【解答】解:(1)g(x)=bx2+cx+1的导数为g′(x)=2bx+c,
g(x)在x=1处的切线斜率为2b+c,
由g(x)在x=1处的切线为y=2x,
则2b+c=2,b+c+1=2,
解得b=1,c=0;
(Ⅱ)若a=﹣1,则f(x)=x2﹣x﹣lnx+1,定义域为(0,+∞),
∴f′(x)=2x﹣1﹣==,
令f′(x)=0,解得x=1,
当x>1,f′(x)>0,f(x)递增;
当0<x<1时,f′(x)<0,f(x)递减.
=f(1)=1,
即有x=1处,f(x)取得极小值,且为f(x)
极小
(Ⅲ)h(x)=f(x)﹣g(x)=x2+ax﹣lnx+1﹣(x2+1)=ax﹣lnx,
假设存在实数a,使h(x)=ax﹣lnx,x∈(0,e],h有最小值3,
h′(x)=a﹣,
①当a≤0时,h′(x)<0,
∴h(x)在(0,e]上单调递减,h(x)min=h(e)=ae﹣1=3,解得a=(舍去),②当a>0时,h′(x)=a﹣=,
(i)当0<a≤时,≥e,h′(x)<0在(0,e]上恒成立,
所以(x)在(0,e]上单调递减,h(x)min=h(e)=ae﹣1=3,解得a=(舍去),(ii)当a>时,0<<e,当0<x<时,h′(x)<0,所以h(x)在(0,)上递减,
当<x<e时,h′(x)>0,h(x)在(,e)上递增,
所以,h(x)min=h()=1+lna=3,
所以a=e2满足条件,
综上,存在a=e2使当x∈(0,e],(e≈2.718,为自然常数)时,函数h(x)的最小值为3.
21.(14分)已知抛物线C1:y2=2px(p>0)的焦点F以及椭圆C2:的
上、下焦点及左、右顶点均在圆O:x2+y2=1上.
(Ⅰ)求抛物线C1和椭圆C2的标准方程;
(Ⅱ)过点F的直线交抛物线C1于A、B两不同点,交y轴于点N,已知
,求证:λ1+λ2为定值.
(Ⅲ)直线l交椭圆C2于P、Q两不同点,P、Q在x轴的射影分别为P′、Q′,
,若点S满足:,证明:点S在椭圆C2上.
【解答】(Ⅰ)解:由C1:y2=2px(p>0)的焦点F(,0)在圆O:x2+y2=1上,得:,解得p=2,
∴抛物线C1:y2=4x;
由椭圆C2:的上、下焦点(0,c),(0,﹣c)及左、右顶点(﹣a,0),
(a,0)均在圆O:x2+y2=1上,
可得:a2=1,c2=1,
∴a=c=1,
则b==,
∴椭圆C2:;
(Ⅱ)证明:设直线AB的方程为y=k(x﹣1),A(x1,y1),B(x2,y2),则N(0,﹣k),
直线与抛物线联立,消元可得k2x2﹣(2k2+4)x+k2=0,
∴x1+x2=,x1x2=1,
∵,
∴λ1(1﹣x1)=x1,λ2(1﹣x2)=x2,
∴,,
∴λ1+λ2==﹣1为定值;
(Ⅲ)证明:设P(x3,y3),Q(x4,y4),则P′(x3,0),Q′(x4,0),∵,
∴S(x3+x4,y3+y4),
∵,
∴2x3x4+y3y4=﹣1 ①,
∵P,Q在椭圆上,
∴②,
③,
由①+②+③得(x3+x4)2+=1.
∴点S在椭圆C2上.。