1.4.2+空间向量的应用课2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
则P 3,0,1 ，Q 0,2,2 ，R 3,2,0 ，S 0,4,1 ，PQ = −3,2,1 ，
RS = −3,2,1 ，
∴ PQ = RS，∴ PQ//RS，即PQ//RS .
1
1
（法二）RS = RB + BC + CS = DC − DA + DD1 ，
2
2
1
2
1
2
PQ = PA1 + A1 D1 + D1 Q = DD1 − DA + DC ，
y轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系（图略），不妨设正方体的棱长为1，则
A 1,0,0
∴ AE =
1
1
，Eሺ0，0， ሻ，C1 0,1,1 ，Fሺ1，1， ሻ ，
2
2
1
1
1
ሺ−1，0， ሻ，FC1 = ሺ−1，0， ሻ，EC1 = ሺ0，1， ሻ，AF
2
2
2
∴ AE = FC1 ，EC1 = AF，∴ AE//FC1 ，EC1 //AF .
【解析】如图，设PD = a，PE = b，PF = c，则PA = 2a，PB = 2b，PC = 2c .
设平面DEF的法向量为n，则n ⋅ DE = 0，n ⋅ DF = 0 ，
∴ n ⋅ b − a = 0，n ⋅ c − a = 0 .
又n ⋅ AB = n ⋅ PB − PA = n ⋅ 2b − 2a = 0 ，
→
设平面A1 BD的法向量为n1 = x1 , y1 , z1 ，则
n1 ⋅ A1 D = 0,
→
n1 ⋅ A1 B = 0
−x1 − z1 = 0,
⇒
y1 − z1 = 0,
令z1 = 1，得x1 = −1，y1 = 1 ，
∴ 平面A1 BD的一个法向量为n1 = −1,1,1 .设平面CD1 B1 的法向量为n2 = x2 , y2 , z2 ，
随堂检测
1. 已知向量=(+1,0,2)，=(6,2−1,2)，若//，则 与 的值可以是( A ) .
1
1 1
A.2，
B. ，
C.−3 ，2
D.2，2
2
3
2
2. 已知平面α ，β 的法向量分别为n1 = x, 1, −1 ，n2 = 6, y, 3 ，且α//β ，则
x + y = ( D) .
轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱
长为1，则A1 1,0,1 ，B 1,1,0 ，D1 0,0,1 ，B1 1,1,1 ，
C 0,1,0 ，D 0,0,0 ，∴ A1 D = −1,0, −1 ，A1 B = 0,1, −1 ，
D1 B1 = 1,1,0 ，D1 C = 0,1, −1 .
反思感悟
方法总结
证明两平面平行时，分别找（或求）出两个平面的法向量，，验证// 成立.
新知运用
跟踪训练3 如图所示，在正方体ABCD − A1 B1 C1 D1 中，O为底面ABCD的中心，P是DD1
的中点，设Q是CC1 上的点，问:当解析】如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为x轴、y轴、z 轴，建立空间
又∵ F ∉ AE，F ∉ EC1 ，∴ AE//FC1 ，EC1 //AF ，
∴ 四边形AEC1 F是平行四边形.
1
2
= ሺ0，1， ሻ ，
反思感悟
方法总结
(1)两直线平行⇒ 两直线的方向向量共线.
(2)两直线的方向向量共线⇒ 两直线平行或重合，所以由两直线的方向向量共线证明
两直线平行时，必须指出两直线不重合.
第一章 空间向量及其运算
1.4空间向量的应用
课时2 空间中直线、平面的平行
新知生成
知识点一 空间直线与直线平行
设u1 ，u2 分别是不重合的直线l1 ，l2 的方向向量，则ሺl1 //l2 ⇔ u1 //u2 ⇔ ∃λ
∈ Rሻ ，使得u1 = λu2 .
若两条不重合的直线l1 ，l2 的方向向量分别为u1 = a1 , b1 , c1 ，u2 = a2 , b2 , c2 ，
上是否存在点，使得1 //平面1 ？
新知生成
知识点三 空间平面与平面平行
设n1 ，n2 分别是不重合的平面α ，β 的法向量，则 α//β ⇔ n1 //n2 ⇔ ∃λ ∈ R ，
使得n1 = λn2 .
线线平行 l1 //l2 ⇔ u1 //u2 ⇔ ∃λ ∈ R，使得u1 = λu2 .
新知运用
跟踪训练1 在长方体ABCD − A1 B1 C1 D1 中，AB = 4，AD = 3，AA1 = 2，P，Q，R，S
分别是AA1 ，D1 C1 ，AB，CC1 的中点.求证：PQ//RS .
【解析】（法一）以D为坐标原点，DA，DC，DD1 所在直线分
别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，
平行 线面平行 l//α ⇔ u ⊥ n ⇔ u · n = 0.
面面平行 α//β ⇔ n1 //n2 ⇔ ∃λ ∈ R，使得n1 = λn2 .
三、空间平面与平面平行
例题3 如图所示，在正方体ABCD − A1 B1 C1 D1 中，求证：平面A1 BD//平面CD1 B1 .
【解析】以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1 所在直线为x
∴ PQ = RS，∴ PQ//RS，即PQ//RS .
新知生成
知识点二 空间直线与平面平行
设u是直线l的方向向量，n是平面α 的法向量，l ⊄ α ，则
l//α ⇔ u ⊥ n ⇔ u ⋅ n = 0 .
二、空间直线与平面平行
例题2 如图，在棱长为2的正方体ABCD − A1 B1 C1 D1 中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中
2
2
1
1
于是DA1 = 1,0,1 ，DB = 1,1,0 ，MN = ሺ ，0， ሻ .
2
2
设平面A1 BD的法向量为n = x, y, z ，
→
→
则
n ⊥ DA1 ,
→
即
n ⋅ DA1 = x + z = 0,
→
n ⋅ DB = x + y = 0,
n ⊥ DB,
令x = 1，则y = −1，z = −1 ，
1
1
∴ 平面A1 BD的一个法向量为n = 1, −1, −1 .又MN ⋅ n = ሺ ，0， ሻ ⋅ 1, −1, −1 = 0 ，
2
且MN ⊄ 平面A1 BD，∴ MN ⊥ n ，∴ MN//平面A1 BD .
2
新知运用
课本P30 如图，在长方体 − 1 1 1 1 中， = 4， = 3，1 = 2.线段1
则 l1 //l2 ⇔ u1 //u2 ⇔ a1 , b1 , c1 = λሺa2 , b2 , c2 ሻ .
一、空间直线与直线平行
例题1 如图所示，在正方体ABCD − A1 B1 C1 D1 中，E，F分别为DD1 ，BB1 的中点.求证：
四边形AEC1 F是平行四边形.
【解析】以D为坐标原点，DA，DC，DD1 的方向分别为x 轴、
新知运用
跟踪训练2 在正方体ABCD − A1 B1 C1 D1 中，M，N分别是CC1 ，B1 C1 的中点.求证：MN//
平面A1 BD .
【解析】如图，以D为原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为x
轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
1
1
则D 0,0,0 ，A1 1,0,1 ，B 1,1,0 ，Mሺ0，1， ሻ，Nሺ ，1，1ሻ ，
即⋅=0 .
(2)根据线面平行的判定定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个
向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.
(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个
向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平
行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示.
→
则
n2 ⋅ D1 B1 = 0,
→
⇒
x2 + y2 = 0,
y2 − z2 = 0,
令y2 = 1，得x2 = −1，z2 = 1 ，
n2 ⋅ D1 C = 0
∴ 平面CD1 B1 的一个法向量为n2 = −1,1,1 ，
又n1 = n2 ，即n1 //n2 ，而平面A1 BD与平面CD1 B1 不重合，
点.求证：D1 F//平面A1 EC1 .
【解析】以A为坐标原点，AB,AD,AA1 所在直线分别为x轴、y
轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系,
则A1 0,0,2 ,B 2,0,0 ,C 2,2,0 ,D 0,2,0 ,C1 2,2,2 ,D1 0,2,2 ，
因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以E 2,1,0 ，
则AP = −1,0,
1
2
1
2
，BQ = −1,0, z ，当z = 时，AP = BQ，即AP//BQ，又AP ∩ OP = P ，
BQ ∩ BD1 = B，AP，OP ⊂ 平面PAO，BQ，BD1 ⊂ 平面D1 BQ ，则有平面PAO//平面D1 BQ ，
∴ 当Q为CC1 的中点时，平面D1 BQ//平面PAO .
得m = 2, −2,1 ，
因为D1 F ⋅ m = 2 − 2 = 0，所以D1 F ⊥ m .
因为D1 F ⊄ 平面A1 EC1 ，所以D1 F//平面A1 EC1 .
反思感悟
方法总结
向量法证明线面平行的三个思路
(1)设直线的方向向量是(⊄)，平面 的法向量是，则要证明// ，只需证明⊥，
F 1,2,0 ，
所以D1 F = 1,0, −2 ,A1 C1 = 2,2,0 ,A1 E = 2,1, −2 .
设平面A1 EC1的法向量为m = x1 , y1 , z1 ，
→
则
m ⋅ A1 C1 = 2x1 + 2y1 = 0,
→
令x1 = 2，则y1 = −2,z1 = 1 ,
m ⋅ A1 E = 2x1 + y1 − 2z1 = 0,
4
A.
B.1
C.−3
D.−5
3
3.若直线l的方向向量a = 2,2, −1 ，平面α 的法向量μ = −6,8,4 ，则直线l与平面α
l ⊂ α 或l//α
的位置关系是_____________.
随堂检测
4.已知三棱锥−，，，分别为棱，，的中点，求证：平面// 平
面 .
直角坐标系.设正方体ABCD − A1 B1 C1 D1 的棱长为1，
则O
∴ OP
1 1
1
, , 0 ，P 0,0, ，A 1,0,0 ，B 1,1,0 ，D1 0,0,1 ，
2 2
2
1
1 1
= − , − , ，BD1 = −1, −1,1 ，∴ OP//BD1 ，∴ OP//BD1
2
2 2
.
设点Q的坐标为 0,1, z ，
n ⋅ AC = n ⋅ PC − PA = n ⋅ 2c − 2a = 0 ，
∴ n ⊥ AB，n ⊥ AC ，
∴ n是平面ABC的法向量，而平面DEF与平面ABC 不重合，
∴ 平面DEF//平面ABC .
课堂小结
1.知识清单：
(1)空间直线与直线平行；
(2)空间直线与平面平行；
(3)空间平面与平面平行.
RS = −3,2,1 ，
∴ PQ = RS，∴ PQ//RS，即PQ//RS .
1
1
（法二）RS = RB + BC + CS = DC − DA + DD1 ，
2
2
1
2
1
2
PQ = PA1 + A1 D1 + D1 Q = DD1 − DA + DC ，
y轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系（图略），不妨设正方体的棱长为1，则
A 1,0,0
∴ AE =
1
1
，Eሺ0，0， ሻ，C1 0,1,1 ，Fሺ1，1， ሻ ，
2
2
1
1
1
ሺ−1，0， ሻ，FC1 = ሺ−1，0， ሻ，EC1 = ሺ0，1， ሻ，AF
2
2
2
∴ AE = FC1 ，EC1 = AF，∴ AE//FC1 ，EC1 //AF .
【解析】如图，设PD = a，PE = b，PF = c，则PA = 2a，PB = 2b，PC = 2c .
设平面DEF的法向量为n，则n ⋅ DE = 0，n ⋅ DF = 0 ，
∴ n ⋅ b − a = 0，n ⋅ c − a = 0 .
又n ⋅ AB = n ⋅ PB − PA = n ⋅ 2b − 2a = 0 ，
→
设平面A1 BD的法向量为n1 = x1 , y1 , z1 ，则
n1 ⋅ A1 D = 0,
→
n1 ⋅ A1 B = 0
−x1 − z1 = 0,
⇒
y1 − z1 = 0,
令z1 = 1，得x1 = −1，y1 = 1 ，
∴ 平面A1 BD的一个法向量为n1 = −1,1,1 .设平面CD1 B1 的法向量为n2 = x2 , y2 , z2 ，
随堂检测
1. 已知向量=(+1,0,2)，=(6,2−1,2)，若//，则 与 的值可以是( A ) .
1
1 1
A.2，
B. ，
C.−3 ，2
D.2，2
2
3
2
2. 已知平面α ，β 的法向量分别为n1 = x, 1, −1 ，n2 = 6, y, 3 ，且α//β ，则
x + y = ( D) .
轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱
长为1，则A1 1,0,1 ，B 1,1,0 ，D1 0,0,1 ，B1 1,1,1 ，
C 0,1,0 ，D 0,0,0 ，∴ A1 D = −1,0, −1 ，A1 B = 0,1, −1 ，
D1 B1 = 1,1,0 ，D1 C = 0,1, −1 .
反思感悟
方法总结
证明两平面平行时，分别找（或求）出两个平面的法向量，，验证// 成立.
新知运用
跟踪训练3 如图所示，在正方体ABCD − A1 B1 C1 D1 中，O为底面ABCD的中心，P是DD1
的中点，设Q是CC1 上的点，问:当解析】如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为x轴、y轴、z 轴，建立空间
又∵ F ∉ AE，F ∉ EC1 ，∴ AE//FC1 ，EC1 //AF ，
∴ 四边形AEC1 F是平行四边形.
1
2
= ሺ0，1， ሻ ，
反思感悟
方法总结
(1)两直线平行⇒ 两直线的方向向量共线.
(2)两直线的方向向量共线⇒ 两直线平行或重合，所以由两直线的方向向量共线证明
两直线平行时，必须指出两直线不重合.
第一章 空间向量及其运算
1.4空间向量的应用
课时2 空间中直线、平面的平行
新知生成
知识点一 空间直线与直线平行
设u1 ，u2 分别是不重合的直线l1 ，l2 的方向向量，则ሺl1 //l2 ⇔ u1 //u2 ⇔ ∃λ
∈ Rሻ ，使得u1 = λu2 .
若两条不重合的直线l1 ，l2 的方向向量分别为u1 = a1 , b1 , c1 ，u2 = a2 , b2 , c2 ，
上是否存在点，使得1 //平面1 ？
新知生成
知识点三 空间平面与平面平行
设n1 ，n2 分别是不重合的平面α ，β 的法向量，则 α//β ⇔ n1 //n2 ⇔ ∃λ ∈ R ，
使得n1 = λn2 .
线线平行 l1 //l2 ⇔ u1 //u2 ⇔ ∃λ ∈ R，使得u1 = λu2 .
新知运用
跟踪训练1 在长方体ABCD − A1 B1 C1 D1 中，AB = 4，AD = 3，AA1 = 2，P，Q，R，S
分别是AA1 ，D1 C1 ，AB，CC1 的中点.求证：PQ//RS .
【解析】（法一）以D为坐标原点，DA，DC，DD1 所在直线分
别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，
平行 线面平行 l//α ⇔ u ⊥ n ⇔ u · n = 0.
面面平行 α//β ⇔ n1 //n2 ⇔ ∃λ ∈ R，使得n1 = λn2 .
三、空间平面与平面平行
例题3 如图所示，在正方体ABCD − A1 B1 C1 D1 中，求证：平面A1 BD//平面CD1 B1 .
【解析】以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1 所在直线为x
∴ PQ = RS，∴ PQ//RS，即PQ//RS .
新知生成
知识点二 空间直线与平面平行
设u是直线l的方向向量，n是平面α 的法向量，l ⊄ α ，则
l//α ⇔ u ⊥ n ⇔ u ⋅ n = 0 .
二、空间直线与平面平行
例题2 如图，在棱长为2的正方体ABCD − A1 B1 C1 D1 中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中
2
2
1
1
于是DA1 = 1,0,1 ，DB = 1,1,0 ，MN = ሺ ，0， ሻ .
2
2
设平面A1 BD的法向量为n = x, y, z ，
→
→
则
n ⊥ DA1 ,
→
即
n ⋅ DA1 = x + z = 0,
→
n ⋅ DB = x + y = 0,
n ⊥ DB,
令x = 1，则y = −1，z = −1 ，
1
1
∴ 平面A1 BD的一个法向量为n = 1, −1, −1 .又MN ⋅ n = ሺ ，0， ሻ ⋅ 1, −1, −1 = 0 ，
2
且MN ⊄ 平面A1 BD，∴ MN ⊥ n ，∴ MN//平面A1 BD .
2
新知运用
课本P30 如图，在长方体 − 1 1 1 1 中， = 4， = 3，1 = 2.线段1
则 l1 //l2 ⇔ u1 //u2 ⇔ a1 , b1 , c1 = λሺa2 , b2 , c2 ሻ .
一、空间直线与直线平行
例题1 如图所示，在正方体ABCD − A1 B1 C1 D1 中，E，F分别为DD1 ，BB1 的中点.求证：
四边形AEC1 F是平行四边形.
【解析】以D为坐标原点，DA，DC，DD1 的方向分别为x 轴、
新知运用
跟踪训练2 在正方体ABCD − A1 B1 C1 D1 中，M，N分别是CC1 ，B1 C1 的中点.求证：MN//
平面A1 BD .
【解析】如图，以D为原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为x
轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
1
1
则D 0,0,0 ，A1 1,0,1 ，B 1,1,0 ，Mሺ0，1， ሻ，Nሺ ，1，1ሻ ，
即⋅=0 .
(2)根据线面平行的判定定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个
向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.
(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个
向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平
行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示.
→
则
n2 ⋅ D1 B1 = 0,
→
⇒
x2 + y2 = 0,
y2 − z2 = 0,
令y2 = 1，得x2 = −1，z2 = 1 ，
n2 ⋅ D1 C = 0
∴ 平面CD1 B1 的一个法向量为n2 = −1,1,1 ，
又n1 = n2 ，即n1 //n2 ，而平面A1 BD与平面CD1 B1 不重合，
点.求证：D1 F//平面A1 EC1 .
【解析】以A为坐标原点，AB,AD,AA1 所在直线分别为x轴、y
轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系,
则A1 0,0,2 ,B 2,0,0 ,C 2,2,0 ,D 0,2,0 ,C1 2,2,2 ,D1 0,2,2 ，
因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以E 2,1,0 ，
则AP = −1,0,
1
2
1
2
，BQ = −1,0, z ，当z = 时，AP = BQ，即AP//BQ，又AP ∩ OP = P ，
BQ ∩ BD1 = B，AP，OP ⊂ 平面PAO，BQ，BD1 ⊂ 平面D1 BQ ，则有平面PAO//平面D1 BQ ，
∴ 当Q为CC1 的中点时，平面D1 BQ//平面PAO .
得m = 2, −2,1 ，
因为D1 F ⋅ m = 2 − 2 = 0，所以D1 F ⊥ m .
因为D1 F ⊄ 平面A1 EC1 ，所以D1 F//平面A1 EC1 .
反思感悟
方法总结
向量法证明线面平行的三个思路
(1)设直线的方向向量是(⊄)，平面 的法向量是，则要证明// ，只需证明⊥，
F 1,2,0 ，
所以D1 F = 1,0, −2 ,A1 C1 = 2,2,0 ,A1 E = 2,1, −2 .
设平面A1 EC1的法向量为m = x1 , y1 , z1 ，
→
则
m ⋅ A1 C1 = 2x1 + 2y1 = 0,
→
令x1 = 2，则y1 = −2,z1 = 1 ,
m ⋅ A1 E = 2x1 + y1 − 2z1 = 0,
4
A.
B.1
C.−3
D.−5
3
3.若直线l的方向向量a = 2,2, −1 ，平面α 的法向量μ = −6,8,4 ，则直线l与平面α
l ⊂ α 或l//α
的位置关系是_____________.
随堂检测
4.已知三棱锥−，，，分别为棱，，的中点，求证：平面// 平
面 .
直角坐标系.设正方体ABCD − A1 B1 C1 D1 的棱长为1，
则O
∴ OP
1 1
1
, , 0 ，P 0,0, ，A 1,0,0 ，B 1,1,0 ，D1 0,0,1 ，
2 2
2
1
1 1
= − , − , ，BD1 = −1, −1,1 ，∴ OP//BD1 ，∴ OP//BD1
2
2 2
.
设点Q的坐标为 0,1, z ，
n ⋅ AC = n ⋅ PC − PA = n ⋅ 2c − 2a = 0 ，
∴ n ⊥ AB，n ⊥ AC ，
∴ n是平面ABC的法向量，而平面DEF与平面ABC 不重合，
∴ 平面DEF//平面ABC .
课堂小结
1.知识清单：
(1)空间直线与直线平行；
(2)空间直线与平面平行；
(3)空间平面与平面平行.