四年级下册数学试题-奥数专题讲练：4 定义新运算 竞赛篇(解析版)全国通用

第四讲 定义新运算
卷Ⅰ
这一讲我们主要学习定义新运算的三大计算类型：
1、理解并熟练掌握根据新的定义运算方式进行加减乘除运算；
2、理解并熟练掌握根据计算机编程语言计算输出结果；
3、了解其它类型的定义运算．
分析：因为狼△狼＝狼，所以原式＝羊△(狼☆羊)☆羊△狼
无论前面结果如何，最后一步羊△狼或者狼△狼总等于狼，所以原式＝狼
同学们，我们已经学习了加、减、乘、除四种运算，我们知道“+”这个符号表示求两数之和，“-”表示两个数的差，“×”表示两个数的积，“÷”表示两个数的商．但是在很多情况下，特别是当代计算机程序编辑过程中，仅仅应用这四种运算是不够的，我们还需要运用到很多其他的运算方式．这些运算是由一些新定义的运算符号而导出的一种运算，如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的，这类运算就是我们常见的定义新运算问题．
定义新运算都是以一种新的面孔出现，其中的符号没有确定的运算意义，都是根据实际的需要而人为地规定．这种题型大多数都是根据题目规定的运算方式直接计算，但是还有一些与方程以及其他方面的综合．这主要考察学生的实际应用能力，我们不能死读书，要灵活运用题干信息，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算，这样才是解决这类题目的关键．
专题精讲
教学目标
羊和狼在一起时，狼要吃掉羊．所以关于羊及狼，我们规定一种运算，
用符号△表示：羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼
以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了．小朋友总是希望羊能战胜狼．所以我们规定另一种运算，用符号☆表示：
羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼， 这个运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了． 对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法规是从左到右，括号内先算．运算的结果或是羊，或是狼．
求下式的结果：羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼)
想 挑 战 吗 ？
（一） 直接运算型
【例1】 定义运算※为a ※b ＝a ×b －（a ＋b ）， （1） 求5※7，7※5； （2） 求12※（3※4），（12※3）※4；
（3） 这个运算“※”有交换律、结合律吗？
分析：（1）5※7＝5×7－（5＋7）＝35-12＝23，7※ 5＝ 7×5－（7＋5）＝35-12＝23.
（2）要计算12※（3※4），先计算括号内的数，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再计算第二步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，所以 12※（3※4）＝43.
对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※ 3）※4＝59.
（3）由于a ※b ＝a ×b －（a ＋b ）；b ※a ＝b ×a －（b ＋a ）＝a ×b －（a ＋b ）（普通加法、乘法交换律）， 所以有a ※b ＝b ※a ，因此“※”有交换律.由（2）的例子可知，运算“※”没有结合律.
[巩固]定义新的运算a b a b a b ⊕=⨯++，求： （1）62⊕，26⊕
（2）(12)3⊕⊕，1(23)⊕⊕
（3）这个运算有交换律吗？
分析：（1）62⊕=6×2+6+2=20；26⊕=2×6+2+6=20
（2）(12)3⊕⊕=（1×2+1+2）⊕3=5⊕3=5×3+5+3=23； 1(23)⊕⊕=1⊕（2×3+2+3）=1⊕11=1×11+1+11=23
（3）由于a b a b a b ⊕=⨯++=×b a b a ++（普通加法、乘法交换律），所以a b b a ⊕=⊕，即满足交换律.
[拓展]如果a 、b 、c 是三个整数，则他们满足加法交换律和结合律，即a ＋b ＝b ＋a ，（a ＋b ）＋c ＝a ＋（b ＋c ）．现在规定一种运算“*”，它对于整数a 、b 、c 、d 满足：（a ，b ）*（c ，d ）＝（a ×c ＋b ×d ，a ×c －b ×d ）．例如：（4，3）*（7，5）＝（4×7＋3×5，4×7－3×5）＝（43，13）．请你举例说明：“*”运算是否满足交换律和结合律．
分析：（7，5）*（4，3）＝（4×7＋3×5，4×7－3×5）＝（43，13），所以“*”运算满足加法交换律， （2，1）*（3，2）*（3，4）＝（2×3＋1×2，2×3－1×2）*（3，4）＝（8，4）*（3，4）＝（3×8＋4×4，3×8－4×4）＝（40，8） ；（2，1）*[（3，2）*（3，4）]＝（2，1）*[3×3＋2×4，3×3－2×4]＝（2，1）*[17，1]＝（2×17＋1×1，2×17－1×1）＝（35，33）．所以，（2，1）*（3，2）*（3，4）≠ （2，1）*[（3，2）*（3，4）]，因此 “*”不满足结合律．
【例2】 定义新运算“\”表示求两个自然数相除所得商的运算，例如：9\2＝4，10\3＝3.
(1) 求27\8,2007\81,2002\66;
(2) 试用符号“\”和已经学过的运算符号来表示求两个自然数相除所得的余数的运算.
分析：（1）27\8＝3;
2007\81＝24; 2002\66＝30;
（2）由于被除数÷除数＝商……余数， ∴余数＝被除数－除数×商，
∴a 除以b 的余数为a －b ×（a\b ）. [前铺]两个整数a 和b ，a 除以b 的余数记为a b.例如，13
5=3.根据这样定义的运算，计算：
（1）(269)
4等于多少？
（2）108（2008
19）
分析：（1）因为：26÷9=2……8，8÷4=2，所以 (26
9)
4=8
4=0 （2）因为：2008÷19=105……13，108÷13=8……2，所以 108（2008
19）=108
13=4
【例3】 如果 3*2=3＋33=36 2*3=2＋22＋222=246 1*4=1＋11＋111＋1111=1234 那么4*5=( ).
分析：4*5=4＋44＋444＋4444＋44444=49380
[巩固]规定： 6*2=6＋66=72，
2*3=2＋22＋222=246，
1*4=1＋11＋111＋1111=1234. 求7*5.
分析：7*5=7+77+777+7777+77777=86415
【例4】 定义两种运算“⊕”“⊗”，对于任意两个整数a 、b ，a ⊕b=a+b-1，a ⊗b=a ×b-1，计算：4[]⊗⊕⊕⊕（68）（35）
分析：⊕68=6+8-1=13，⊕35=3+5-1=7，137⊕=13+7-1=19，4⊗19=4×19-1=75
4[]⊗⊕⊕⊕（68）（35）=75
[巩固]规定：符号“△”为选择两数中较大的数的运算，“ ☆”为选择两数中较小的数的运算，例如，3△5=5，3☆5=3.请计算下式：[(70☆3)△5]×[ 5☆(3△7)].
分析：因为(70☆3)△5=3△5=5，5☆(3△7)=5☆7=5，所以[(70☆3)△5]×[ 5☆(3△7)]=5×5=25
【例5】
定义“*”的运算如下：对任何自然数a 、b ，如果a ＋b 是3的倍数，则a*b ＝
a b
3
+，如果a ＋b 除以3余数为1，则a*b ＝
a b-13+，如果a ＋
b 除以3余数为2，则a*b ＝a b-2
3
+. 求：（2005*2006）*（2007*2008）
分析：因为2005+2006=4011是3的倍数，所以2005*2006=4011÷3=1337，因为2007+2008=4013，4013÷3=1337…2，所以2007*2008=(4011-2）÷3=1337，因为1337+1337=2674，2674÷3=891…1，所以1337*1337=（1337+1337-1)÷3=891，所以（2005*2006）*（2007*2008）=891 [前铺]定义运算“⊙”如下：2
a b
a b +⊕=
． （1） 计算2007⊕2009，2006⊕2008 （2） 计算1⊕5⊕9，1⊕（5⊕9），
分析：（教师先告诉学生2
a b
+表示（a+b ）÷2） （1）2007⊕2009＝20072009
2
+＝2008；
2006⊕2008＝20062008
2
+＝2007
（2）1⊕5⊕9＝152+⊕9＝3⊕9＝
39
2
+＝6 1⊕（5⊕9）＝1⊕59
2
+＝1⊕7＝172+＝4；
[巩固]定义“☆”的运算如下：对任何自然数a 、b ，如果a ＋b 是偶数，则a ☆b ＝a b
2
+，如果a ＋b 是奇数，则a ☆b ＝
a b 1
2
+-． 求：(1)(1 999☆2 000)☆(2 001☆2 002)； (2)1 998☆(2 000☆2 002)☆2 004．
分析: （教师先告诉学生
2
a b
+表示（a+b ）÷2） （1）因为1999＋2000＝3999是奇数，所以1999☆2000＝199920001
19992
+-=，2001＋2002＝4003
是奇数，所以2001☆2002＝
200120021
20012
+-=，1999＋2001＝4000是偶数，
所以1999☆2001＝
19992001
20002
+=，所以(1 999☆2 000)☆(2 001☆2 002)＝2000 （3） 因为2000＋2002＝4002是偶数，2000☆2002＝20002002
20012
+=，1998＋2001＝3999是奇数，
所以1 998☆2001＝199820011
19992
+-=，1999＋2004＝4003是奇数，所以
1999☆2 004＝199920041
20012
+-=，所以1 998☆(2 000☆2 002)☆2 004＝2001
【例6】 对自然数m ，n （n ≥m ），规定m
n P ＝n ×（n －1）×（n －2）×…×（n －m ＋1）；
[(1)(1)][(1)1]m m m n m n
n n n m m m C
P P =÷=⨯-⨯⨯-+÷⨯-⨯⨯L L ．求：123456
666666,,,,,C C C C C C
分析：1
6
C
=（1
6
P
）÷（1
1
P
）=6÷1=6；2
6
C
=(6×5)÷（2×1）=15；36
C
=（6×5×4）÷（3×2×1）
=20；4
6
C
=（6×5×4×3）÷（4×3×2×1）=15；5
6
C
=（6×5×4×3×2）÷（5×4×3×2×1）=6；66
C
=
（6
6
P
）÷（66
P
）=1
[前铺]对自然数m ，n （n ≥m ），规定m n P ＝n ×（n －1）×（n －2）×…×（n －m ＋1）．例如：2
4P ＝4×3＝12．3
4P ＝4×3×2＝24．求：（1）3
4
5
555P P P ，，；（2）3
4
5
6
6666P P P P ，，，．
分析：（1）3
5P ＝5×4×3＝60，4
5P ＝5×4×3×2＝120，5
5P ＝5×4×3×2×1＝120
（2）3
6P ＝6×5×4＝120，4
6P ＝6×5×4×3＝360，5
6P ＝6×5×4×3×2＝720，6
6P ＝6×5×4×3×2×1＝720．
[总结]这类题型就是直接按照题目的要求进行运算，在运算的过程中特别要注意每个位置上对应的数字.
卷Ⅱ
（二） 反求未知数
【例7】 规定：a △b=a ＋（a ＋1）＋（a ＋2）＋…＋（a ＋b-1），其中a 、b 表示自然数。

（1）求1△100的值；
（2）已知x △10=75，求x.
分析：（1）1△100=1＋2＋3＋……＋100=5050
（2）x △10=x ＋x ＋1＋x ＋2＋……＋x ＋9=10x ＋45=75，所以x=3
[拓展]定义新运算“※”如下：对任意自然数a ，b ，a ※b=5×a-3×b ，能否找到一个自然数n ，使得5※6※n=5※（6※n ）？如果存在，求出自然数n ；如果不存在，说明理由.
分析：5※6※n=（5×5-3×6）※n=7※n=5×7-3×n ；5※（6※n ）=5※（5×6-3×n ）=5※（30-3×n ）=5×5-3×（30-3×n ）=9×n-65，因为5※6※n=5※（6※n ），所以有35-3×n=9×n-65，即12×n=100，所以没有满意的自然数n ，使得5※6※n=5※（6※n ）
【例8】 （★★★★奥数网题库）x 、y 表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny ，x △y=kxy ，其中 m 、n 、k 均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.
分析：我们要先求出 k 、m 、n 的值.通过1*2 =5可以求出m 、n 的值，通过（2*3）△4=64求出 k 的值.因为1*2=m ×1+n ×2=m+2n ，所以有m+2n=5.又因为m 、n 均为自然数，所以解出：
①当m=1，n=2时：（2*3）△4=（1×2+2×3）△4=8△4=k ×8×4=32k 有32k=64，解出k=2. ②当m=3，n=1时：（2*3）△4=（3×2+1×3）△4=9△4=k ×9×4=36k=64，k 不是自然数， 所以m=l ，n=2，k=2. （1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3=1×4+2×3=10.
[巩固一]对于任意的整数x 与y 定义新运算“△”：x △y=y mx y
x 26+⋅⋅ (其中m 是一个确定的整数).如果1
△2=2，则2△9=?
分析：已知1△2=2，根据定义得 1△2=61212
21224
m m ⨯⨯==⨯+⨯+，于是有2×(m ＋4)=12，解出m=2.所
以
62954
29=
=222911
⨯⨯⨯+⨯V
[巩固二]对整数A 、B 、C ，规定符号 等于A ×B
＋B ×C －C ÷A,例如： ＝3×5＋5×6－6÷3＝15＋30－2＝43，已知： ＝28， 那么A ＝_______.
分析：2A ＋4A －4÷2＝28， 即 6A ＝30，所以A ＝5
[总结] 这类题型给出的运算式中含有一个或多个未知数，我们不能直接根据运算式计算，首先，我们应该根据给出的运算等式将未知数求出来，再进行运算.
（三）计算机程序语言
【例9】 （★★★第九届“祖冲之杯”数学邀请赛）如下图是一个运算器的示意图，A 、B 是输入的两上数据，C 是输出的结果，右下表是输入A 、B 数据后，运算器输出C 的对应值，请你据此判断，当输入A 值是1999，输入B 值是9时，运算器输出的C 值是_____．
分析：观察表格可得：运算器输入的A是被除数，B是除数，输出的是余数
因为1999÷9＝222……1，所以C＝1．
[前铺]下图是一个运算器的示意图，A、B是输入的两上数据，C是输出的结果，右下表是输入A、B数据后，运算器输出C的对应值，请你据此判断，当输入A值是2008，输入B值是4时，运算器输出的C值是_____．
分析：运算器输入的A是被除数，B是除数，输出的是商减去1，2008÷4＝502，502-1=501，所以C＝501．
【例10】有A，B，C，D四种装置，将一个数输入一种装置后会输出另一个数.装置A∶将输入的数加上5；装置B∶将输入的数除以2；装置C∶将输入的数减去4；装置D∶将输入的数乘以3.这些装置可以连接，如装置A后面连接装置B就写成A·B，输入1后，经过A·B，输出3.
(1)输入9，经过A·B·C·D，输出几？
(2)经过B·D·A·C，输出的是100，输入的是几？
（3）输入7，输出的还是7，用尽量少的装置应怎样连接？
分析：（1）输入9经过A装置以后结果是9＋5＝14，再经过B装置以后结果是14÷2＝7，经过C装置以后结果成为7－4＝3，最后经过D装置以后，最终输出结果等于3×3＝9．
（2）最后经过装置C后结果是100，那么输入装置C的数字是100＋4＝104，那么输入A的数字是104－5＝99，输入D的数是99÷3＝33，输入B的数是33×2＝66．所以最开始输入的数是66．（3）C·D·A·B
（四）其他常见类型
【例11】（★★★★★南京市首届“兴趣杯”少年数学邀请赛）王歌暑假去非洲旅游，到了一个古老部落，看到下面几个部落的算式：
8×8＝8，9×9×9＝5，9×3＝3， (93＋8)×7＝837．
导游告诉他，部落算术中所用的符号“＋、一、×、÷、( )、＝”与我们算术中的意义相同，进位也是十进制，只是每个数字虽然与我们写法相同，但代表的数却不同．请你按古老部落的算术规则，完成下面算式：89×57＝______ ．
分析: 由部落算式“8×8＝8”知“8”是1，“9×9×9＝5”可知“9”是2，“5”是8．由“9×3＝3”知“3”是0．继而可推得“7”是5．于是可知“89×57”是12×85＝1020即“8393”．
[前铺]a、b、c代表一位数，规定a×a=a，b×b×b=c，b×d=d，问a+b+c+d=？
分析：由a ×a=a 可知a=1，由b ×b ×b=c ，可知b=2，c=8，由b ×d=d 可知，d=0，所以a+b+c+d=1+2+8+0=11
【例12】 先阅读下面材料，再解答后面各题．现代社会对保密要求越来越高，密码正在成为人们生活的一部分．有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘字母排列分解，其中Q 、W 、E 、…N 、M 这26个字母依次对应1、2、3、…、25、26这26个整数（见下表）：
Q W E R T Y U I O P A S D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 F G H J K L Z X C V B N M 14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
'(1263)32
'17(12631)31
'8(12632)3
x
x x x x x x x x x x x x x x ⎧=≤≤⎪⎪+⎪=+≤≤⎨⎪+⎪=+≤≤⎪⎩
是正整数，，被整除是正整数，，被除余是正整数，，被除余 将明文转换成密文，如：
，即R 变为L ； ，即A 变为S ．
按上述方法将明文HAK 译为密文．
分析：这是一道非常有意思的题目．明文HAK 对应16、11、18；
162
17233
++=，即H 变为V ；1118123++=，即A 变为S ；18
63
=，即K 变为Y ，所以将明文HAK 译为VSY ．
对于定义新运算，我们在以后的学习中将不再作为专题出现，但是在我们在以后的学习中又将会遇到更多的新的运算方式．同学们学习了本章的内容，对于以后的学习将会有很大的帮助．同学们，学海无涯，请继续努力！
1. （例3）如果2→（3）表示2＋3＋4＝9；5→（4）表示5＋6＋7＋8＝26，那么6→（100）的值是多少？
练习四
专题展望
分析：前面一个数表示相加的起始数，后面一个数表示连续相加的个数，所以6→（100）＝6＋7＋8＋9＋10＋11＋…＋100＋101＋102＋103＋104＋105＝（6＋105）×100÷2＝5550.
2.（例4）我们规定：a c
b d
＝ad+bc，求
25
16
40
21
的值．
分析：25
16
40
21
＝25×21+40×16＝525+640＝1165
3.（例6）定义新运算“！”如下：对于认识自然数n，n！＝n×（n－1）×（n－2）×……×3×2×1.
（1）求3！，4！，5！；
（2）证明：3×（6！）＋24×（5！）＝7！
分析：（1）3！＝3×2×1＝6； 4！＝4×3×2×1＝24；5！＝5×4×3×2×1＝120；
（2）证明：3×（6！）＋24×（5！）＝3×（6！）＋4×6×（5！）
＝3×（6！）＋4×（6！）
＝7×（6！）
＝7！
4.（例7）对于两个数a、b，a△b表示a＋b－1．
计算：（1）（7△8）△6
（2）（6△A）△A＝84，求A．
分析：（1）7△8＝7＋8－1＝14，14△6＝14＋6－1＝19；
（2）6△A＝6＋A－1＝5＋A，（5＋A）△A＝5＋A＋A－1＝2×A＋4＝84，所以A＝40．
5.（例10）有A、B、C、D四种计算装置，装置A：将输入的数乘以5；装置B：将输入的数加3；装置c：将输入的数除以4；装置D：将输入的数减
6.这些装置可以连结，如装置A后面连结装置B，写成A·B，输入4，结果是23；装置B后面连结装置A就写成B·A，输入4，结果是35.装置A·C·D连结，输入8，结果是多少？
分析：输入8经过A装置以后，结果为8×5＝40，经过C装置以后，结果为40÷4＝10，经过D装置以后，结果成为10－6＝4．所以最终结果为4．
数学知识
阿基米德
阿基米德最有名的名言，就是：「给我一个立足点，我就可以移动地球．」他一生专心研究科学上的体积和浮力问题，有一个有趣的故事，就是当时候国王叫金匠打造一顶纯金的皇冠，国王因为怀疑金匠加了杂物，就请阿基米德鉴定，阿基米德一直在想鉴定的方法，就在他走进浴缸里洗澡的时候，看见满出去的水时，悟出体积的原理，他高兴的跑出浴室，大叫：「我找到了！」一时忘了自己是光着身体呢！另外，阿基米德还有几何方面的数学成就哩！
阿基米德是第一位讲科学的工程师，在他的研究中，使用欧几理得的方法，先假设，再以严谨的逻辑推论得到结果，他不断地寻求一般性的原则而用于特殊的工程上．他的作品始终融合数学和物理，因此阿基米德成为物理学之父．
他应用杠杆原理于战争，保卫西拉斯鸠的事迹是家喻户晓的．而他也以同一原理导出部分球体的体积、回转体的体积（椭球、回转抛物面、回转双曲面），此外，他也讨论阿基米德螺线（例如：苍蝇由等速旋转的唱盘中心向外走去所留下的轨迹），圆，球体、圆柱的相关原理，其成就，在古时无人能望其项背．
阿基米德将欧几理得提出的趋近观念作了有效的运用，他提出圆内接多边形和相似圆外切多边形，当边数足够大时，两多边形的周长便一个由上，一个由下的趋近于圆周长．他先用六边形，以后逐次加倍边数，到了九十六边形，求π的估计值介于3.14163和3.14286之间．另外他算出球的表面积是其内接最大圆面积的四倍．而他最得意的杰作是导出圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二倍．这定理就刻在他的墓碑上，也成为他名垂千古的一大注记．。