河南省实验中学2014届高三第一次模拟考试 数学(文) 含答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷（一）
文科数学
一、选择题：（本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 已知集合2
{|320}A x x x =-+<,4
1{|log }2
B x x =>，则（ )
A ．A
B ⊆ B ．B A ⊆
C ．R A C B R =
D ．A
B =∅
2。

已知复数5
21i i z +=
，则它的共轭复数z 等于( )
A ．2i -
B ．2i -+
C ．
2i +
D ．2i --
3。

．命题“2cos sin ,,2>-⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡∈∃x x x ππ”的否定是（ )
A ．2
cos sin ,,2<-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∀x x x ππ
B ．2cos sin ,,2≤-⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∈∀x x x ππ
C ．2cos sin ,,2≤-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∃x x x ππ
D ．2cos sin ,,2<-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈∃x x x ππ 4．已知,αβ是两个不同的平面，下列四个条件中能推出//αβ的是
( ）
①在一条直线,,a a a αβ⊥⊥, ③存在两条平行直线,,,,//,//a b a b a b αββα⊂⊂;
②存在一个平面,,γγαγβ⊥⊥； ④存在两条异面直线,,,,//,//a b a b a b αββα⊂⊂。

A.①③
B.②④
C.①④
D.②③
5．已知平面向量,m n 的夹角为,6
π且3,2m n ==,在ABC ∆中，22AB m n =+，
26AC m n =-，D 为BC 中点，则AD =（ )
A.2
B.4 C 。

6 D 。

8
6．能够把圆O ：162
2
=+y x 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数",下列函数不是．．
圆O 的“和谐函数"的是（ ) A ．3
()4f x x
x =+
B ．5()15x f x n x
-=+ C ．()x
x f x e
e -=+
D ．()tan 2
x f x =
7.已知sin α＋错误!cos α＝错误!，则tan α＝( ) A ．错误! B ．错误! C ．－ 错误! D ．－错误! 8．已知等比数列{}n
a 的前An 项和为n
S ,且13
52
a a +=,245
4
a
a +=
，则n n S a =（ ）
A ．1
4n - B ．41n
- C ．12n - D ．21n
-
9.执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则P 的取值范围是 （ ）
A ． 715816P <≤ B.15
16P >
C ． 715816
P ≤< D. 37
4
8P <≤
1 0．已知实数
,x y 满足210210
1x y x y x y -+≥⎧⎪
--≤⎨⎪+≤⎩
，则
347
x y +-的最大值为（ ）
A ．11
B ．12
C ．13
D ．14 11．设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2,使11
A B =2
2
A B ，其中A 1,B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
(A)2323⎛⎤ ⎥ ⎝⎦
(B)2323⎡⎫
⎪⎢⎪⎣⎭
（C)33⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭ (D ）233⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭ 12．已知函数
()3111,0,36221,,11
2x x f x x x x ⎧⎡⎤-+∈⎪⎢⎥⎣⎦⎪
=⎨⎛⎤⎪∈ ⎥
⎪+⎝⎦⎩,函数()()sin 220,6g x a x a a π⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭若存在[]12,0,1x x ∈,使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A 。

2,13⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
B 。

14,23⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ C.
43,32⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D 。

1,23⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
第Ⅱ卷（非选择题 共90分)
二．填空题（每题5分，共20分。

把答案填在答题纸的横线上） 13．已知函数2()sin 21
x f x x =++，则(2)(1)(0)(1)(2)f f f f f -+-+++= ．
14。

已知球的直径PQ=4,A 、B 、C 是该球球面上的三点,∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°，ABC 是正三角形,则棱锥P-ABC 的体积为_________________。

15。

一个多面体的直观图、主视
图、左视图、俯视图如下，M 、N 分别为1
A B 、11
B C 的中点.下列结论中正确的题号．．
有
①直线MN 与1
A C 相交。

②MN BC ⊥.③MN //平面
11
ACC A . ④三棱锥
1N A BC
-的体积为
13
16
N A BC V a -=。

16. 某城市为促进家庭节约用电，计划制定阶梯电价,阶梯电价按年月均用电量从低到高分为一、二、三、四档，属于第一档电价的家庭约占10，属于第二档电价的家庭约占40,属于第三档电价的家庭约占30,
属于第四档电价的家庭约占20.为确定各档之间的界限，从该市的家庭中抽查了部分家庭,调查了他们上一年度的年月均用电量（单位：千瓦时）,由调查结果得下面的直方图
由此直方图可以做出的合理判断是 ①．年月均用电量不超过80千瓦时的家庭属于第一档
②．年月均用电量低于200千瓦时，且超过80千瓦时的家庭属于第二档
③．年月均用电量超过240千瓦时的家庭属于第四档
④．该市家庭的年月均用电量的平均数大于年月均用电量的中位数
三、解答题（本大题共8小题，共70分，17-—-21必做，每题12
分；22、23、24选做，每题10分，多选以第一题为准，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,写在答题纸的相应位置)
17。

（本小题满分12分）若)0(cos sin cos 3)(2
>-=a ax ax ax x f 的图像与直线
)0(>=m m y 相切，并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列。

（1）求a 和m 的值;
（2) ⊿ABC 中a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边。

若
)2
3
2
，（A 是函数)(x f 图象的一个对称中心，且a=4，求⊿ABC 周长的取值范
围。

18．（本小题满分12分）“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度时，给出的区间]10 ,0[内的一个数，该数越接近10表示越满意．为了解某大城市市民的幸福感，随机对该城市的男、女各500人市民进行了调查，调查数据如下表所示：
（1）完成频率分布直方图,并根据频率分布直方图估算该城市市民幸福感指数的平
均值；
（参考数据：6469257305403312=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯)
（2）如果市民幸福感指数达到6，则认为他幸福．试在犯错误概率不超过01.0的前提下能否判定该市市民幸福与否与性别有关？
参考公式：
)
)()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=
)(02k K P ≥
0。

10 0.01
0。

001 0k
2.706 6。

635 10.828
19(本小题满分12分）
如图1，在Rt△ABC 中，∠ABC =90°,D 为AC 中点，AE BD ⊥于E (不同于点D ），延长AE 交BC 于F ，将△ABD 沿BD 折起，得到三棱锥1
A BCD -，如图2所示。

（1)若M 是FC 的中点，求证：直线DM //平面1
A EF ;
（2）求证：BD ⊥1
A F ； (3）若平面1
A BD ⊥平面BCD ,试判断直线1A
B 与直线CD 能否垂直？并说明理由.
20．
（本小题满分12分)
已知抛物线2
2(0)x py p => 上的一点（m ，1)到焦点的距离为54
.点00
(,)P x y 是
抛物线上任意一点(除去顶点），过点1
(0,1)M -与P 的直线和抛物线交于点1
P ,过点2(0,1)M 与的P 直线和抛物线交于点2P .分别以点1P ，2
P 为切点的抛物线的切线交于点P ′. （I ）求抛物线的方程；
（II ）求证：点P ′在y 轴上。

21．（本小题满分12分）对于函数))((D x x f ∈，若D x ∈时,恒有()f x '＞()f x 成立，则称函数()f x 是D 上的J 函数．
（Ⅰ）当函数x me x f x
ln )(=是定义域上的J 函数时，求m 的取值范围； (Ⅱ）若函数)(x g 为（0，＋∞）上的J 函数,
①
试比较)(a g 与)1(1
g e a -的大小； ② 求证:对于任意大于
1
的实数n
x x x x ,,,,3
2
1
⋯均有
)(ln )(ln )(ln ))(ln(2
1
2
1
n
n
x g x g x g x x x g +++>+++ .
请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22．（本小题满分10分） 如图,圆O 1与圆O 2相交于A ，B 两点，AB 是圆O 2的直径，过A 点作圆O 1的切线交圆O 2于点E,并与BO 1的延长线交于点P ，PB 分别与⊙O 1、⊙O 2交于C ，D 两点．
求证: (1）PA•PD=PE•PC； （2）AD=AE ． 23．(本小题满分10分）选修4─4：坐标系与参数方程选讲．
已知曲线C 的参数方程为3cos 2sin x y θ
θ
=⎧⎨
=⎩（θ为参数）,在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换1
3
12
x x y y ⎧'=⎪⎪⎨
⎪'=⎪⎩得到曲线C '． (1)求曲线C '的普通方程；
（2）若点A 在曲线C '上,点B (3,0),当点A 在曲线C '上运动时，求AB 中
点P 的轨迹方程．
24．(本小题满分10分）选修4─5：不等式证明选讲． 已知函数2
2
()69816f x x x x x =-+++．
（1）求
()f x (4)f 的解集; (2）设函数()(3),g x k x =-k ∈R ,若()()f x g x >对任意的x ∈R 都成立,求k 的取
值范围．
≥
2014年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷（一）
文科数学答案
一、选择题：
D CB C A CAD D DA B
二、填空题13. 5 14。

43
915。

②③④16.
①③④
18.
19。

【解析】
试题解析：（1）因为D，M分别为,AC FC中点,所以DM//EF2分
又1
⊄平面
DM A EF
EF A EF
⊂平面,1
所以1
DM A EF
平面。

4分
//
（2)因为1A E BD
⊥，EF BD
⊥且1A E EF E=
所以1
⊥平面7分
BD A EF
又11
⊂平面
A F A EF
所以1
⊥8分
BD A F
(3）直线1
A B 与直线CD 不能垂直 9分
因为1
A BD BCD ⊥平面平面，1
A BD
BCD BD
=平面平面，EF BD ⊥,
EF CBD ⊂平面，
所以1
EF A BD ⊥平面。

10分
因为1
1
A B A BD ⊂平面，所以1
A B EF ⊥，
又因为//EF DM ，所以1
A B DM ⊥.
假设1
A B CD ⊥,
因为1A B DM ⊥，CD
DM D =，
所以1
A B BCD ⊥平面， 11分 所以1
A B BD ⊥，
这与1
A BD ∠为锐角矛盾
所以直线1
A B 与直线CD 不能垂直. 12分
考点：线面平行判定定理，线面垂直判定定理
20．解：（Ⅰ）由题意得 512
4
p +=,12
p =
所以抛物线的方程为2
y x =…………4分
（II ）设111222
(,),(,)P x y P x y , 因为'
2y x =
则以点1
P 为切点的抛物线的切线方程为
1112()y y x x x -=- 又21
1
y x =,所以21
1
2y x x x =-……………6分 同理可得以点2P 为切点的抛物线的切线方程为2
22
2y x x x
=-
由
2
11222
22y x x x y x x x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩解得
12
2
x x x +=
………………………………………8分
又过点0
(,)P x y 与1
(0,1)M -的直线的斜率为010
1
y k
x +=
所以直线1
PM 的方程为0
1
1y
y x x +=-
由00
211y y x x y x +⎧=-⎪⎨⎪=⎩
得200
110y x x x +-+= 所以011x x
=，即10
1x x =
……10分
同理可得直线2
PM 的方程为0
1
1y y x x -=+
由00211y y x x y x -⎧=+⎪⎨⎪=⎩
得200
110y x x x ---=
所以02
1x x =-，即20
1x x =-
则1
2
00
11
()0x x x x +=
+-=，即P ′得横坐标为0, 所
以点
P
′
在
y
轴
上………………………………………………12分
21解：(Ⅰ)由()e ln x
f x m x =，可得
因为函数()f x 是J 函数，所以
因为
，所以
m >,即m
的取值范围为
(0,)+∞。

(3)
分
，可得()h x 为()0,+∞上的增函数,
当1a >时，()()1h a h >，即，得()()1
e
1a g a g ->;
当01a <<时，()()1h a h <,
得()()1
e
1a g a g -<；
当1a =时，()()1h a h =,，得()()1
e
1a g a g -=.…………………6分
②因为1
2
1n x x
x x ++
+>，所以()121ln ln n x x x x ++
+>，
由①可知()()()1
2
1ln ln n h x x
x h x ++
+>，
))
)
n n x x +++
+>
))2n n x x x ++>++ ())
1212ln n n x x x x x x ++
+>++
+))
2n n
x x x +
+>+
+
把上面n 个不等式同向累加可得【全，品…中＆高＊考*网】
()()()()()1212ln ln ln ln n n g x x x g x g x g x ++
+>++
+。

……………………12分
22、
（1）的割线分别是圆2
,O PB PE
PB PD PE PA •=•∴ ①……………………2分
的切线与割线分别是圆又1,O PB PA
PB PC PA •=∴2
②……………………4分 由 ①②得
.PC PE PD PA •=• (5)
分
（2）连接AC,DE 。

的直径是圆1
O BC ，
90=∠∴CAB 。

由(1）知，,,//,DE AB ED AC PD
PC PE
PA ⊥∴∴=……………………8分
AB 是圆2
O 的直径 ∴弧AD=弧AE AE AD =∴ (10)
分
23。

【解析】（1）将3cos 2sin x y θ
θ=⎧⎨
=⎩ 代入1
312
x x y y ⎧'=⎪⎪⎨
⎪'=⎪⎩ ，得C '的参数方程为cos sin x y θ
θ
=⎧⎨
=⎩ ∴曲线C '
的普通方程为
221x y +=． ………5分
（2）设(,)P x y ，0
(,)A x y ，又(3,0)B ,且AB 中点为P
所以有：00
23
2x x y y =-⎧⎨=⎩
又点A 在曲线C '上，∴代入C '的普通方程220
01x
y +=得22(23)(2)1x y -+=
∴动点
P
的轨迹方程为
2231
()24
x y -+=． ………10分
24.【解析】（
1)()f x =
|3||4|x x ==-++
∴()(4)f x f ≥即|3||4|x x -++9≥ ∴4349
x x x ≤-⎧⎨
---≥⎩① 或43
349
x x x -<<⎧⎨
-++≥⎩② 或3
349
x x x ≥⎧⎨
-++≥⎩③
解得不等式①:5x ≤-；②：无解 ③：4x ≥ 所
以
()(4)
f x f ≥的解集为
{|5
x x ≤-或
4}x ≥． ………5分
(2）()()f x g x >即()|3||4|f x x x =-++的图象恒在()(3)g x k x =-图象的上方
21,4
()|3||4|7,4321,3x x f x x x x x x --≤-⎧⎪
=-++=-<<⎨⎪+≥⎩
()(3)g x k x =-图象为恒过定点P (3,0)，且斜率k
变化的一条直线作函数(),()y f x y g x ==图象如图，其
中2
PB
k
=，
(4,7)A -，∴1PA k =-
由图可知，要使得()f x 的图象恒在()g x 图象的上方 ∴实数k 的取值范围为12k -<≤． ………10分。