2019年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理(山东卷,包括解析)

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2019年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.
（1
）设函数A ，函数y=ln(1-x)的定义域为B,则
A B =
（A ）（1,2） （B ）⎤⎦(1,2 （C ）（-2,1） （D ）[-2,1) 【答案】D
【解析】由240x -≥得22x -≤≤，由10x ->得1x <，故
A B={|22}{|1}{|21}x x x x x x -≤≤⋂<=-≤<，选D.
（2）已知a R ∈,i
是虚数单位，若,4z a z z =+⋅=，则a= （A ）1或-1 （B
（C ）
（D
【答案】A
【解析】由4z a z z =+⋅=得234a +=，所以1a =±，故选A.
（3）已知命题p:()x x ∀+＞0,ln 1＞0；命题q ：若a ＞b ，则a b 22＞，下列命题为真命题的是
（A ） p q ∧ （B ）
p q ⌝
∧ （C ）
p q ⌝
∧ （D ）p q ⌝⌝∧
【答案】
B
（4）已知x,y 满足x y 3x y ⎧-+≤⎪
+≤⎨⎪+≥⎩
30
+5030x ，则z=x+2y 的最大值是
（A ）0 （B ） 2 （C ） 5 （D ）6 【答案】C
【解析】由x y 3x y ⎧-+≤⎪
+≤⎨⎪+≥⎩
30+5030x 画出可行域及直线20x y +=如图所示，平移20x y +=发现，
当其经过直线3x +y 50=+与x -3=的交点(3,4)-时，2z x y =+最大为3245z =-+⨯=，选C. （5）为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名
学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆy
bx a =+．已知10
1
225i
i x
==∑，10
1
1600i i y ==∑，ˆ4b
=．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为 （A ）160 （B ）163 （C ）166 （D ）170 【答案】C
【解析】22.5,160,160422.570,42470166x y a y ==∴=-⨯==⨯+= ,选C.
（6）执行两次右图所示的程序框图，若第一次输入的x 的值为7，第二次输入的x 的值为9，则第一次、第二次输出的a 的值分别为
（A ）0，0 （B ）1，1 （C ）0，1 （D ）1，0
【答案】D
【解析】第一次2
2
7,27,3,37,1x b a =<=>= ；第二次2
2
9,29,3,39,0x b a =<===，选D.
（7）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是
（A ）()21log 2a b a a b b +<<+ （B ）()21log 2a b a b a b
<+<+ （C ）()21log 2
a b
a a
b b +<+< （D ）()21log 2a b a b a b +<+<
【答案】B
【解析】221,01,1,log ()log 1,2a
b
a b a b ><<∴
<+>= 1
211
2log ()a b
a a
b a a b b b
+>+
>+⇒+>+ ，所以选B. （8）从分别标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 （A ）
518 （B ）49 （C ）5
9
（D ）79 【答案】C
【解析】
12
5425
989
C C =⨯ ,选C. （9）在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若C ∆AB 为锐角三角形，且满足
()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A ，则下列等式成立的是
（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A =B （D ）2B =A 【答案】A
【解析】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+ 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.
（10）已知当[]0,1x ∈时，函数()2
1y mx =-的图象与y m =
的图象有且只有一个交点，则正实数m
的取值范围是 （A ）(]
)
0,123,⎡+∞⎣
（B ）(][)0,13,+∞
（C ）(
)
23,⎡+∞⎣
（D ）(
[)3,+∞
【答案】B
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
（11）已知()13n
x +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = . 【答案】4
【解析】()1C 3C 3r
r r r r
r n n x x +T ==⋅⋅，令2r =得：22C 354n ⋅=，解得4n =．
（12）已知12,e e 12-e 与12λ+e e 的夹角为60，则实数λ的值是 .
【解析】
)()
22
1212112122333e e e e e e e e e λλλλ-⋅+=+⋅-⋅-=，
(
)
2
22
1233232e e e e e e e -=-=-⋅+=，
()
22
2
2
1221e e e e e e e e λλλλ+=
+=+⋅+=+
2cos601λ==+，解得：λ=
． (13)由一个长方体和两个1
4
圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 .
【答案】22
π
+
【解析】该几何体的体积为21V 112211242
π
π=
⨯⨯⨯+⨯⨯=+． （14）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右支与焦点为F 的抛物线()
220x px p =>交于,A B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 .
【答案】2
y x =±
（15）若函数()x e f x （ 2.71828e =是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具
有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .
①()2x f x -=
②()3x f x -=
③()3f x x =
④()22f x x =+
【答案】①④
【解析】①()22x
x x x e e f x e -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递增，故()2x
f x -=具有M 性质；
②()33x
x x x e e f x e -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭
在R 上单调递减，故()3x
f x -=不具有M 性质；
③()3
x
x
e f x e x =⋅，令()3
x
g x e x =⋅，则()()3
2
232x
x
x
g x e x e x x e
x '=⋅+⋅=+，∴当2x >-时，
()0g x '>，当2x <-时，()0g x '<，∴()3x x e f x e x =⋅在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递
增，故()3
f x x =不具有M 性质；
④()()
22x x e f x e x =+，令()()
22x g x e x =+，则()()()2
2
22110x
x x g x e
x
e x e x ⎡⎤'=++⋅=++>⎣⎦
，
∴()()22x x e f x e x =+在R 上单调递增，故()22f x x =+具有M 性质．
三、解答题：本大题共6小题，共75分。

16.设函数()sin()sin()62f x x x π
πωω=-+-，其中03ω<<.已知()06
f π
=.
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移
4
π
个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值.
【答案】（Ⅰ）2ω=.（Ⅱ）得最小值3
2
-.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得())3
f x x π
=-
所以()))4312
g x x x π
ππ
=+-=-. 因为3[,
]44x ππ
∈-， 所以2[,]12
3
3x π
ππ
-∈-，
当12
3
x π
π
-
=-
，
即4
x π
=-
时，()g x 取得最小值3
2
-
. 17.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120︒得到的，G 是DF 的中点.
（Ⅰ）设P 是CE 上的一点，且AP BE ⊥，求CBP ∠的大小； （Ⅱ）当3AB =，2AD =，求二面角E AG C --的大小.
【答案】（Ⅰ）30CBP ∠=︒.（Ⅱ）60︒. 【解析】解：（Ⅰ）因为AP BE ⊥，AB BE ⊥，
AB ，AP ⊂平面ABP ，AB
AP A =，
所以BE ⊥平面ABP ， 又BP ⊂平面ABP ，
所以BE BP ⊥，又120EBC ∠=︒， 因此30CBP ∠=︒ （Ⅱ）解法一：
取EC 的中点H ，连接EH ，GH ，CH . 因为120EBC ∠=︒， 所以四边形BEHC 为菱形，
解法二：
以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意得(0,0,3)A (2,0,0)E
，G
，(C -，故(2,0,3)AE =-
，AG =，
(2,0,3)CG =，
设111(,,)m x y z =是平面AEG 的一个法向量.
由00
m AE m AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
可得1111230,0,x z x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩
取12z =，可得平面AEG
的一个法向量(3,2)m . 设222(,,)n x y z =是平面ACG 的一个法向量.
由00
n AG n CG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
可得22220,
230,x x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩
取22z =-，可得平面ACG
的一个法向量(3,2)n =-. 所以1
cos ,||||2
m n m n m n ⋅<>=
=⋅.
因此所求的角为60︒.
（18）（本小题满分12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙中心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，
A 5，A 6和4名
B 1，B 2，
B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示。

（I ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 3的频率。

（II ）用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望EX 。

【答案】（I ）
5
.
(II)X 的分布列为
X 的数学期望是2EX =.
【解析】解：（I ）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含3B 的事件为M ，则485105
().18
C P M C ==
(II)由题意知X 可取的值为：0,1,2,3,4.则
565101
(0),
42
C P X C ===
41645105
(1),
21
C C P X C ===
326451010
(2),
21C C P X C ===
23645105
(3),
21C C P X C ===
14645101
(4),
42
C C P X C ===
因此X 的分布列为
X 的数学期望是
0(0)1(1)2(2)3(3)4(4)EX P X P X P X P X P X =⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯==
151******** 2.4221212142
⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯= （19）（本小题满分12分）
已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2 （Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；
（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)…P n+1(x n+1, n+1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y =0，x =x i （x {x n }）所围成的区域的面积n T
.
【答案】(I)1
2.n n x -=（II ）(21)21
.2
n n n T -⨯+=
【解析】解：(I)设数列{}n x 的公比为q ，由已知q>0.
由题意得1121132
x x q x q x q +=⎧⎨-=⎩，所以2
3520q q --=，
因为q>0,所以12,1q x ==，
因此数列{}n x 的通项公式为1
2.n n x -=
①-②得
121132(22......2)(21)2n n n T n ----=⨯++++-+⨯=1132(12)(21)2.212
n n n ---+-+⨯- 所以(21)21.2
n n n T -⨯+= （20）（本小题满分13分）
已知函数()22cos f x x x =+，()()cos sin 22x g x e x x x =-+-，其中 2.71828e =是自然对数的底数. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()(),f x π处的切线方程；
（Ⅱ）令()()()()h x g x af x a R =-∈，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.
【答案】（Ⅰ）222y x ππ=--.
（Ⅱ）综上所述：
当0a ≤时，()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，
函数()h x 有极小值，极小值是()021h a =--；
当01a <<时，函数()h x 在(),ln a -∞和()0,ln a 和()0,+∞上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，
极大值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦
极小值是()021h a =--；
当1a =时，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值；
当1a >时，函数()h x 在(),0-∞和()ln ,a +∞上单调递增，
在()0,ln a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，
极大值是()021h a =--；
极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.
【解析】解：（Ⅰ）由题意()22f ππ=-
又()22sin f x x x '=-，
所以()2f ππ'=，
因此 曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程为
()()222y x πππ--=-，
即 222y x ππ=--.
（Ⅱ）由题意得 ()()()
22cos sin 222cos h x e x x x a x x =-+--+， 因为()()()()cos sin 22sin cos 222sin x x h x e x x x e x x a x x '=-+-+--+--
()()2sin 2sin x e x x a x x =---
()()2sin x e a x x =--，
令()sin m x x x =-
则()1cos 0m x x '=-≥
所以()m x 在R 上单调递增.
所以 当0x >时，()m x 单调递减，
当0x >时，()0m x <
(2)当0a >时，()()()ln 2sin x a h x e e x x '=--
由 ()0h x '=得 1ln x a =，2=0x
①当01a <<时，ln 0a <，
当(),ln x a ∈-∞时，()ln 0,0x a e e h x '-<>，()h x 单调递增；
当()ln ,0x a ∈时，()ln 0,0x a e e h x '-><，()h x 单调递减；
当()0,x ∈+∞时，()ln 0,0x a e e h x '->>，()h x 单调递增.
所以 当ln x a =时()h x 取得极大值.
极大值为()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦，
当0x =时()h x 取到极小值，极小值是 ()021h a =--；
②当1a =时，ln 0a =，
所以 当(),x ∈-∞+∞时，()0h x '≥，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值；
极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.
综上所述：
当0a ≤时，()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，
函数()h x 有极小值，极小值是()021h a =--；
当01a <<时，函数()h x 在(),ln a -∞和()0,ln a 和()0,+∞上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，
极大值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦
极小值是()021h a =--；
当1a =时，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值； 当1a >时，函数()h x 在(),0-∞和()ln ,a +∞上单调递增， 在()0,ln a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值， 极大值是()021h a =--；
极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.
（21）（本小题满分13分）
在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b
+=()0a b >>，焦距为2. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）如图，动直线l ：1y k x =交椭圆E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且
12k k =，M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M 的半径为MC ，,OS OT 是M 的两条切线，切点分别为,S T .求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率.
【答案】（I ）2
212
x y +=.
（Ⅱ）SOT ∠的最大值为3
π，取得最大值时直线l 的斜率为1k =.
【解析】解：（I ）由题意知 c e a =
=，22c =，
所以
1a b ==，
因此 椭圆E 的方程为2
212x y +=. （Ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y ，
联立方程2
211,2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
得(
)
22114210k x x +--=， 由题意知0∆>，
且()12122111221x x x x k +=-+， 所以
121AB x =-=.
由题意知12k k =
，
所以21k =
由此直线OC
的方程为1
y =.
联立方程2
21
1,2,x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 得22
21221181,1414k x y k k ==++， 因此
OC ==
由题意可知 1sin 21SOT r OC r OC r ∠==++，
而1OC
r =
= 令2112t k =+， 则()11,0,1t t
>∈， 因此
1OC
r ===≥， 当且仅当112
t =，即2t =
时等号成立，此时1k =， 所以 1sin 22SOT ∠≤， 因此26SOT π∠≤， 所以 SOT ∠最大值为3
π. 综上所述：SOT ∠的最大值为
3π，取得最大值时直线l
的斜率为1k =.。